TD : Lentilles minces
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TD : Lentilles minces Questions de cours ☎ ✞ ✝SP1-Q1 ✆Quelles sont les relations de conjugaison d’une lentille ? Expressions du grandissement transversal ? ☎ ✞ ✝SP1-Q2 ✆Comment construire le rayon émergent correspondant à un rayon incident quelconque (pour une lentille convergente ou divergente donnée) ? De même comment construire le rayon incident correspondant à un rayon émergent quelconque ? ✞ ☎ ✞ ☎ ′ ✝SP1-Q3 ✆Quelle est la condition sur f pour obtenir une image réelle d’un objet réel ? ✝SP1-Q4 ✆ Où se trouve l’objet (et quelle est sa nature) pour obtenir une image virtuelle à partir d’une lentille convergente ? Où se trouve l’objet (et quelle est sa nature) pour obtenir une image réelle à partir d’une lentille convergente ? ✞ ☎ ✝SP1-Q5 ✆Quel est le modèle de l’œil hémétrope (normal) ? Qu’appelle-t-on le punctum proxi- mum et le pucntum remorum ? Exercices ☎ ✞ ✝SP5-E1 ✆Tracés de rayons et caractérisation des lentilles 1 ? (L) ? (L) 2 (∆) A O (∆) O 3 ? (R1) 4 (L) (L) A O ? (∆) (R2) O (∆) 1) Dans les quatre situations représentées ci-dessus, à l’aide d’une série de constructions graphiques qu’il faudra justifier : - déterminer la position du foyer objet F et du foyer image F ′ de chaque lentille - conclure quant à la nature de chaque lentille (et compléter sa représentation graphique). 2) Sur la figure 2, quelle est la nature et la position de l’image A′ de A à travers (L) ? 3) Même question pour la figure 3. 4) Compléter la figure 4 en représentant le rayon émergeant provenant du rayon incident (R2 ) (sur le schéma (R2 ) est parallèle à (R1 )). PTSI | Exercices – Optique géométrique : Lentilles minces ✞ ☎ SP5-E2 ✝ ✆Formule des opticiens Comment réaliser simplement un système optique convergent, de distance focale +10 cm à partir d’une lentille divergente de distance focale −6 cm ? Rép : Accoler une lentille convergente à la len′ tille divergente avec fconv = 3, 7 cm .✞ 2016-2017 ✦ Rappel : Lentilles accolées ✦ Lorsqu’on accole deux lentille minces sphériques de vergence V1 et V2 , on obtient un système équivalent à une seule lentille mince sphérique de vergence V = V1 + V2 ☎ ✝SP5-E3 ✆Diamètre angulaire et Détermination d’une distance focale À l’aide d’une lentille, on regarde un objet très éloigné (considéré comme à l’infini de la lentille en supposant qu’il est à une distance très grande devant la focale). Le pied de cet objet peut être considéré sur l’axe optique de la lentille. Le sommet de cet objet est vu à l’œil nu sous un angle de 10◦ . L’image, obtenue sur un écran, mesure 8 cm de haut. Quelle est la nature et distance focale de la lentille utilisée ? ′ = +45, 4 cm Rép : fconv ✞ ☎ ✝SP5-E4 ✆lentille simple Un objet AB de taille 1, 0 cm est placé 5, 0 cm avant le centre optique O d’une lentille convergente, de distance focale f ′ = 2, 0 cm (AB est perpendiculaire à l’axe optique). 1) Calculer la vergence de la lentille et préciser son unité. 2) Construire l’image A′ B ′ de AB en utilisant les trois rayons « utiles ». Mesurer A′ B ′ et OA′ . 3) Retrouver OA′ et A′ B ′ par le calcul. 4) Calculer le grandissement Gt . Que peut-on dire de l’image ? 5) Nommer et rappeler les conditions d’utilisation des expressions précédentes. Rép : 1) V = 50 δ ; 2) OA′ ≃ +3, 3 cm et A′ B ′ ≃ −0, 7 cm ; 3) OA′ = A′ B ′ = OA f ′ ≃ +3, 3 cm ; et OA + f ′ 2 AB f ′ A′ B ′ OA′ ≃ −0, 67 cm ; 4) Gt = = = − ≃ −0, 67 < 0 : image renversée ; 5) Condito de ′ 3 OA + f AB OA Gauss. ✞ ☎ SP5-E5 ✝ ✆ Est-ce une bonne idée en focométrie de diaphragmer la lentille pour améliorer le stigmatisme et la précision des mesures en augmentant la netteté des images ? ☎ ✞ SP5-E6 ✝ ✆Projection à l’aide d’une lentille convergente On désire projeter, à l’aide d’une lentille mince convergente, l’image d’un petit objet AB sur un écran E parallèle à AB. La distance de AB à E est donnée et égale à D. On souhaite obtenir un grandissement égal à a en valeur absolue. Quelle distance focale f ′ doit avoir la lentille utilisée ? A.N. : a = 10 et D = 2 m. Rép : f ′ = 1 a D aD = ≃ 16, 5 cm. (1 + a)2 +2+a ☎ ✞ SP5-E7 ✝ ✆Test de la vue Pour tester la vue du conducteur, on lui demande d’observer un objet noté AB. Pour cela, on utilise un banc optique sur lequel peuvent glisser un support porte-objet et un support portelentille. L’objet et œil sont placés respectivement à gauche et à droite de la lentille. L’œil est placé au point S à 10 cm du centre optique O de la lentille. L’observateur utilise une lentille mince divergente de vergence −0, 5 δ (1 δ = 1 m−1 ). On déplace l’objet AB, la lentille restant fixe : l’observateur perçoit une image nette quand l’objet se trouve à une distance comprise entre 2 m et 5, 1 cm de la lentille. 1) Faire un schéma simple du système optique. 2) Déterminer la position du punctum remotum (PR) et du punctum proximum (PP) en donnant les valeurs SPR et SPP . Rappel : Le PR est le point objet situé le plus loin vu nettement par l’œil au repos (sans accommodation). Le PP est le point objet situé le plus près vu nettement par l’œil avec une accommodation maximale. 2 http://atelierprepa.over-blog.com/ [email protected] 2016-2017 Exercices – Optique géométrique : Lentilles minces | PTSI 3) On se propose de corriger la myopie de cet œil, hors du banc optique, par le port d’un verre correcteur assimilé à une lentille mince dont le centre optique O′ est situé à 2 cm en avant de S. L’axe optique de l’œil et celui de la lentille sont confondus. Le PR est alors rejeté à l’infini. a) Déterminer la nature de la lentille correctrice. b) Calculer la distance focale image de la lentille. c) À quelle distance, comptée à partir de O′ , se trouve le nouveau PP de l’œil ainsi corrigé ? ′ = −1, 08 m ; 3.c) O′ PP = −14, 8 cm Rép : 2) SPR = −1, 1 m et SPP = −15 cm ; 3.b) fcorr ✞ ☎ ✝SP5-E8 ✆Pouvoir séparateur L’expérience montre que deux images ponctuelles A′ et B ′ sur la rétine ne sont différenciées par le cerveau que si elles sont écartées au moins d’une distance minimum d. Les points objets correspondants ne sont donc différenciés que si l’angle sous lequel l’œil les voit est supérieur à une valeur limite ǫ (le pouvoir séparateur). Sachant que ǫ est de l’ordre d’une minute d’angle (soit 3.10−4 rad), déterminer la distance minimale AB des deux points A et B que peut distinguer un œil normal de PP = 25 cm ; quel est dans ce cas la distance focale f du cristallin et la distance d = A′ B ′ des images ? Calculer également AB pour un œil myope de PP = 7, 5 cm et conclure. Donnée : distance entre le cristallin et le fond de l’œil : δ = 1, 52 cm Rép : dnormal = 4, 6 µm et dnormal = 22, 5 µm ✞ ☎ SP5-E9 ✝ ✆Loupe (*) Pour examiner un petit objet AB à l’œil nu, en observant le maximum de détails, on doit l’approcher le plus près possible de l’œil. L’expérience montre cependant qu’il existe une distance minimale de vision distincte, notée dm , en dessous de laquelle l’œil ne peut plus accommoder. Le plus grand angle sous lequel on peut voir à l’œil nu l’objet AB est donc : α = AB/dm (nous supposons l’objet assez petit pour pouvoir B confondre l’angle et sa tangente). a Pour un œil normal, dm est de l’ordre de 25 cm. Le point A correspondant A dm est appelé punctum proximum (P.P.). Toutefois l’observation rapprochée est fatigante, car l’œil doit accommoder ; l’observation idéale correspond à un objet éloigné (objet à l’infini) – alors, l’oeil n’accommode plus et on dit que l’objet observé est au punctum remotum (P.R.) de l’oeil. Il est possible d’obtenir cette condition, tout en augmentant l’angle sous lequel on voit l’objet AB ; il suffit en effet de placer AB dans le plan focal objet d’une lentille convergente de focale f ′. L’image est alors à l’infini. On appelle α′ l’angle sous lequel cette image est observée. 0, 25 α′ de la loupe vaut . 1) Montrer que le grossissement G = α f′ A.N. : G = 2. Calculer la distance focale puis la vergence (ou puissance) de la loupe. 2) Mettre au point, c’est amener l’image dans le champ de vision de l’œil entre le punctum remotum (qui est à l’infini) et le punctum proximum. Le petit déplacement correspondant de l’ensemble {loupe-œil} s’appelle la latitude de mise au point. → Calculer la latitude de mise au point d’une loupe constituée par une lentille mince convergente de 3 cm de distance focale pour un œil restant au foyer image de la loupe. Rép : 1) Faire un schéma de la lentille utilisée comme loupe avec un objet AB placé dans son plan focal objet. Faire apparaître le trajet de 2 rayons incidents issus de B : (1) celui qui arrive sur la lentille parallèlement à l’axe optique et (2) celui qui passe par le centre optique O. Où se trouve α′ sur le schéma ? Exprimer α′ en fonction de AB et de f ′ en se souvenant qu’on travaille dans les conditions de Gauss ; idem pour α tel que défini dans l’énoncé. En déduire G. On trouve V = +8 δ. 2) Latitude de mise au point ∆p : sur le même schéma, comprendre où doivent se trouver les deux positions extrêmes A1 et A2 de A pour que : (1) A′ B ′ soit observée à l’infini (P.R. = +∞ pour un œil idéal) ou (2) A′ B ′ soit observée à la distance minimale d’observation (P.P. = dm ). f ′2 ≃ +4 mm. On trouve ∆p = OA1 − OA2 = F A2 = dm [email protected] http://atelierprepa.over-blog.com/ 3 PTSI | Exercices – Optique géométrique : Lentilles minces 2016-2017 ✞ ☎ SP5-E10 ✝ ✆Principe du microscope (*) Un objectif, assimilé à une lentille mince L1 de distance focale f1′ , donne d’un objet réel situé en avant de son foyer objet F1 , très proche de celui-ci, une image réelle A1 B1 . Cette image est agrandie par l’oculaire, assimilé à une lentille mince L2 , jouant le rôle d’une loupe de distance focale f2′ . Si A1 B1 est située dans le plan focal objet de l’oculaire, l’image définitive A′ B ′ est rejetée à l’infini et l’œil n’accommode pas. Rq : Dans la réalité, objectif et oculaire sont formés de nombreuses lentilles. Soit un microscope pour lequel f1′ = 5 mm, f2′ = 20 mm, la distance F1′ F2 (intervalle optique) est de 18 cm. L’observateur met au point de façon à observer l’image définitive à l’infini. 1) Faire une figure sur laquelle on mettra en évidence la direction de A′ et de B ′ et l’angle α′ sous lequel l’observateur voit l’image définitive. 2) Calculer la puissance du microscope, rapport de l’angle α′ à la taille de l’objet AB. 3) Les rayons lumineux issus des différents points de l’objet se concentrent après la traversée du microscope dans un cercle voisin du plan focal image de l’oculaire. Si la pupille de l’œil est placée au niveau de ce cercle, appelé cercle oculaire, elle reçoit un maximum de lumière. Sachant que c’est l’objectif qui diaphragme le faisceau lumineux, représenter le trajet des rayons extrêmes pour les deux faisceaux issus de A et de B, puis hachurer les deux faisceaux. L’intersection des faisceaux émergents définit le cercle oculaire. Propriété : Constater, à l’aide de la construction graphique, et retenir, que ce cercle oculaire est l’image de l’objectif par l’oculaire. Rép : Rép : P = α′ e = ′ ′ = 1 800 δ. AB f1 f2 ✞ ☎ SP5-E11 ✝ ✆Principe de la lunette astronomique ou du viseur à l’infini (doublet afocal) Un objectif de grande focale f1′ donne d’un objet AB éloigné (considéré comme à l’infini) une image dans son plan focal. Un oculaire joue le rôle de loupe et donne une image à l’infini de l’image donnée par l’objectif. L’objectif et l’oculaire sont assimilés à des lentilles minces convergentes L1 et L2 . Soit une petite lunette astronomique pour laquelle L1 et L2 ont pour convergences C1 = 2 δ (dioptries) et C2 = 50 δ. L’interstice entre les deux lentilles est e = 52 cm. Où se trouve l’image définitive ? Faire une figure et noter, sur cette figure, α (angle sous lequel est vu un rayon incident issu de B) et α′ (angle sous lequel émerge la lumière une fois qu’elle a traversé la lunette). f′ α′ = 1′ . Calculer ce grossissement. Montrer que le grossissement de la lunette est G = α f2 Rque : l’énoncé appelle convergence, notée C, ce que nous appelons dans le cours vergence, notée V . Il s’agit bien de la même notion. ☎ ✞ ✝SP5-E12 ✆Étude d’un doublet On place sur un même axe deux lentilles minces L1 et L2 à 16 cm l’une de l’autre. La lumière arrive sur L1 et émerge par L2 . L1 est une lentille convergente de distance focale f1′ = 10 cm. L2 est une lentille divergente de distance focale f2′ = −4 cm. À quelle distance de L1 doit-on placer un petit objet plan perpendiculaire à l’axe pour en obtenir une image à l’infini ? Rép : Rép : O1 A = O1 F1 + F1 A = −20 cm (Utiliser la Relation de Newton,). ✞ ☎ ✝SP5-E13 ✆Principe de la lunette de Galilée (jumelles de théâtre) Les deux lentilles de l’exercice précédent sont maintenant distantes de 6 cm. 1) Où se trouve, pour un observateur situé en arrière de L2 , l’image d’un objet à l’infini vu, à l’œil nu, sous un angle α ? ′ 2) On a ainsi réalisé une lunette de Galilée. Calculer le grossissement (G = αα ) de cette lunette dans ces conditions d’observation (vision à l’infini et α′ étant l’angle sous lequel on voit l’image). Faire une figure à l’échelle avant de vous lancer des des calculs. 4 http://atelierprepa.over-blog.com/ [email protected] Exercices – Optique géométrique : Lentilles minces | PTSI 2016-2017 Rép : Rép : G = α′ f′ = − 1′ = 2, 5. α f2 ☎ ✞ ✝SP5-E14 ✆Étude d’un téléobjectif d’appareil photographique Un téléobjectif est constitué de deux lentilles minces dont les axes optiques coïncident. La lentille d’entrée L1 a une vergence C1 = 10 δ et est suivie d’une lentille L1 de vergence C2 = −40 δ. La distance O1 O2 séparant les deux lentilles vaut 8 cm. Un objet AB de hauteur égale à 0, 5 m est placé à une distance d = 100 m de O1 sur l’axe optique. 1) Déterminer les caractéristiques de l’image intermédiaire A1 B1 donnée par L1 . 2) Quel rôle joue cette image pour la seconde lentille ? Déterminer les caractéristiques de l’image définitive A′ B ′ . 3) Les résultats de la question précédente sont-ils conformes aux propriétés attendues pour l’image donnée par un téléobjectif sur la pellicule photographique ? 4) Déterminer la position de la lentille convergente unique qui permettrait d’arriver au même résultat. Préciser sa distance focale. 5) Conclure quant à l’intérêt du téléobjectif. ☎ ✞ SP5-E15 ✝ ✆Photographie argentique et numérique 1) Quand on parle d’un appareil photo 24 × 36 (donc forcément argentique !), que signifient les nombres 24 et 36 ? En quelle unité sont-ils ? Quelle est la (distance) focale d’un objectif standard ? Donner les gammes de focales pour un grand angle, un téléobjectif. Qu’est-ce qu’un zoom ? Quelle différence y a-t-il entre une pellicule de 100 et une de 400 ISO ? 2) La cellule ou capteur CCD (acronyme de Charged Couple Device = dispositif à transfert de charge) d’un appareil photo numérique est une puce à 20 pattes de petite taille : un rectangle de 8, 8 mm sur 6, 6 mm pour un appareil de 4 MégaPixels. Quelle est la taille du pixel (pour Picture Element = photosite), supposé de forme carré ? Pourquoi doit-il être petit ? ☎ ✞ ✝SP5-E16 ✆Appareil photographique L’objectif d’un appareil photographique est modélisé par une lentille mince convergente de distance focale f ′ = 38, 0 mm. Le diaphragme d’ouverture de l’objectif a un diamètre réglable : f′ 2R = , où N , appelé nombre d’ouverture, peut varier de 2,0 à 11,0. Les bagues de réglage N d’ouverture des objectifs sont graduées avec N . La pellicule argentique a une structure granulaire ; la tache image d’un objet ponctuel a le diamètre d’un grain : a = 30 µm. L’objectif est mis au point sur l’infini. 1) On photographie, à D = 2, 0 km, le plus haut pylône du viaduc de Millau de hauteur h = 343 m (19 m de plus que la tour Eiffel). Où se trouve l’image, et donc la pellicule ? Calculer la hauteur h′ de cette image. 2) Calculer, en fonction de N , a et f , la distance minimale D d’un point objet A à l’objectif qui donne une image aussi nette qu’un point à l’infini. Faire l’application numérique pour les deux valeurs extrêmes de N et conclure. 3) L’objectif est mis désormais au point sur un coureur de 100 m, situé à p = 30 m, se déplaçant perpendiculairement à l’axe optique avec une vitesse V = 36 km.h−1 . Quel temps de pose maximal (durée d’exposition) peut-on choisir pour que le mouvement du coureur ne détériore pas la netteté de la photographie ? Rép : 1) h′ = 6, 5 mm ; 2) D ≥ pa f ′2 ; 3) ∆t ≤ ′ Na fV ✞ ☎ SP5-E17 ✝ ✆Objectif de photocopieur Un objectif de photocopieur permet la formation de l’image d’un document sur une surface photosensible. La reproduction du document, format A4, peut être faite dans le même format ou dans un format A3 (surface double) ou dans un format A5 (surface moitié). Ces réglages se font en modifiant les positions respectives des lentilles à l’intérieur de l’objectif. La distance document-récepteur est D = 384 mm ; on place une première lentille mince divergente L1 , de distance focale image f ′ = −90 mm, à d = 180 mm du récepteur. 1) La lentille L1 peut-elle donner une image du document sur le récepteur ? [email protected] http://atelierprepa.over-blog.com/ 5 PTSI | Exercices – Optique géométrique : Lentilles minces 2016-2017 On ajoute alors une lentille mince L′ devant le lentille L1 à d = 180 mm du document. 2) La lentille L′ peut-elle être divergente ? 3) Quelle doit-être la distance focale image f ′ de la lentille L′ pour obtenir une image réelle du document sur le récepteur ? 4) En déduire le grandissement Gt1 de l’association des deux lentilles et indiquer le type de tirage réalisé : A4 en A3 ou A4 en A5. En fait la lentille L′ est constituée de deux lentilles accolées L2 et L3 , L2 étant identique à L1 . Calculer la distance focale image f ′ de L3 . Quelle est la nature de L3 ? 5) On glisse alors la lentille L3 afin de l’accoler à L1 . Montrer que l’image du document reste sur le récepteur et calculer le grandissement Gt2 correspondant à cette nouvelle association, en déduire le type de tirage obtenu. Rép : 2) f ′ = 57, 3 mm ; 3) Gt1 = −1, 4 ; 4) f3′ = 35, 0 mm ; 5) Gt2 = −0, 71 ✞ ☎ SP5-E18 ✝ ✆Méthode de Bessel Dans la méthode de Bessel, pour une distance objet-image D > 4f ′ fixée, il existe deux positions D2 − d2 possibles de la lentille distantes de d telle que : f ′ = 4D Une série de mesures permet un traitement statistique : D (cm) 60 70 80 90 100 10 130 d (cm) 15, 6 31, 5 42, 6 54, 3 66, 2 86, 6 97, 1 Comment la relation de Bessel peut-elle être validée graphiquement ? Encadrer la distance focale par un traitement statistique. Donnée : coefficient de Student pour 7 mesures : t7 = 2, 45. Rép : f ′ = (14, 2 ± 0, 2) cm SP5-SE1 (LC) 1 4 (LC) 2 (π') 2 (π') B 3 1 B' 3 1 6 F 2 (∆) 5 F A (∆) O F' F' O 4 5 1 2 3 B B' 4 1 (π') 1 (LD) 3 (LD) 7 4 3 B' (R2) 2 F' (R1) B A 5 O F (∆) 5 F' F O 6 (∆) 6 2 2 7 (π') 4 3 C' 6 7 C 1 http://atelierprepa.over-blog.com/ [email protected]
