Solution – Arithmétique – Nombres Premiers entre Eux

Solution – Arithmétique – Nombres Premiers entre Eux - s1716
Quatre nombres entiers strictement positifs (a , b , c , d) , forment, dans cet ordre, une suite géométrique,
dont la raison q est un nombre entier premier avec a .
Trouver ces nombres sachant qu'ils vérifient 10a 2 = d – b .
La suite est composée de ( a , aq , aq 2 , aq 3 ) .
10a 2 = d – b ⇔ 10a 2 = aq 3 – aq ⇔ 10a = q(q 2 – 1) .
q(q 2 – 1) = 10a prouve que q divise a .
Le théorème de Gauss prouve que PGCD(a ; q) = 1 ⇒ q divise 10 .
q = 1 ⇒ 10a = 0 , cas impossible
q = 2 ⇒ 5a = 3 , cas impossible
q = 5 ⇒ 2a = 24 , soit a = 12 , qui est bien premier avec q :
( a , b , c , d ) = ( 12 , 60 , 300 , 1500 )
q = 10 ⇒ a = 99 , qui est bien premier avec q :
( a , b , c , d ) = ( 99 , 990 , 9900 , 99000 )