Étude de l'expérience de Timochenko 1.Étude générale 1.1.Théorèmes généraux L’application de la relation fondamentale à la plaque permet d’écrire, dans un référentiel terrestre considéré galiléen : avec le théorème de la résultante cinétique, et en projection avec le théorème du moment cinétique en O (point fixe). R 1 + R 2 + P = ma N1 + N 2 − mg = 0 (1) T1 + T2 = m&x& (2) dσ 0 = OI1 ∧ N1 + OI 2 ∧ N 2 + OG ∧ mg dt 1.2.Réactions normales et tangentielles La dérivée par rapport au temps du moment cinétique en O est nulle si G se déplace en translation et si les vecteurs OG et mvG sont colinéaires (plaque infiniment mince). On obtient : On calcule les réactions combinant (1) et (3) normales en On calcule les réactions tangentielles en utilisant la condition imposée par le glissement et après avoir justifié leur sens grâce à la vitesse de glissement (et la condition imposée x& < Rω ) σ 0 = σ G + OG ∧ m v G L L N1 + N 2 − xmg = 0 (3) 2 2 mg x mg x N1 = (1 − 2 ) N2 = (1 + 2 ) 2 L 2 L - v g = v I∈P / ℜ − v I∈Cylindre / ℜ Pour les cylindres 1 et 2 : La coordonnée de vG1 est négative donc T1 > 0 car opposée à la vitesse de glissement v g1 = ( x& − Rω) i T1 = + f N1 = La coordonnée de vG2 est positive donc T2 < 0 car opposée à la vitesse de glissement v g 2 = ( x& − (− Rω)) i T2 = −f N 2 = − 1.3.Équation différentielle La relation (2) permet d’écrire l’équation différentielle. La solution de cette équation est une fonction sinusoïdale de période T donnée par l’expression cicontre. La période dépend de la longueur de la plaque et du coefficient de frottement entre plaque et cylindres. (possibilité de mesure de f par une mesure de temps). I.N.R.P. – B. Richoux, C. Salvetat, Lycée J.-B. Corot, Savigny s/orge fmg x (1 − 2 ) 2 L fmg x (1 + 2 ) 2 L fmg x x 2fg 1 − 2 − 1 − 2 = m &x& Æ &x& + x=0 2 L L L x = x 0 cos( 17/10/01 L 2π t ) Æ T = 2π T 2fg 1/1