Exercices : 05 - Optique géométrique.

1 – Exercices : 05 - Optique g´eom´etrique. Sciences Physiques MP 2016-2017
Exercices : 05 - Optique g´eom´etrique.
A. Lois de Snell-Descartes
1. Principe de l’arc-en-ciel
Un faisceau parall`ele de lumi`ere monochromatique ´eclaire une sph`ere (cf. figure 1) homog`ene de rayon Ret
d’indice optique n≃1,33 relativement `a l’air dans lequel elle est situ´ee. Un rayon quelconque, p´en´etrant dans
la sph`ere sous l’incidence i, entre dans la sph`ere sous l’angle rpar rapport `a la mˆeme normale, et finit par en
ressortir apr`es avoir suivi pr´eflexions internes. Le rayon ´emergent fait l’angle αavec le rayon incident.
i
r
eau
Figure 1 – Principe de l’arc-en-ciel
1. La sph`ere est uniform´ement ´eclair´ee. Si on appelle dΦ le flux lumineux envoy´e entre les angles iet i+ di,
relier dΦ `a i, au flux total Φ ´eclairant la sph`ere, et `a di.
2. Exprimer dΦ
dαen fonction de p,n,iet r.
3. ` A quelle condition dΦ
dαadmet-il un extremum ? Expliquer pourquoi on peut alors parler d’arc-en-ciel.
4. On s’int´eresse `a la premi`ere valeur de pfournissant un arc-en-ciel (arc primaire). Quelle est la position du
sommet de cet arc-en-ciel au-dessus de l’horizon lorsque le soleil est lui-mˆeme `a 25◦au-dessus de celui-ci ?
5. L’indice optique de l’eau varie en fait tout au long du spectre visible avec dn
dλ=−35 000 m−1.´
Evaluer la
largeur angulaire de cet arc-en-ciel et l’ordre de disposition des couleurs.
R´eponses : Coordonn´ees sph´eriques d2φ=AdScos iavec dS=R2sin ididϕ, dφ= 2πAR2cos isin idiet φ=
AπR2d’o`u dφ= 2φcos isin idi,α= 2(i−r)+p(π−2r), dα
di= 2(1−(p+1) dr di), sin i=nsin ret cos idi=ncos rdr,
dφ
dα=φcos isin i
1−p+1
n
cos i
cos r
,dφ
dαmaximum si ncos r= (p+1) cos i, zone nettement plus lumineuse invariante en ϕet valeur
de i, donc rdonc αbien pr´ecise, sin i=q4−n2
3,i= 59,6˚, r= 40,4˚et α= 137,6˚, 17,4˚au-dessus de l’horizon,
n≃ −35 000λ+ 1,351, n0(600 nm) ≃1,33, n1(400 nm) ≃1,337 et n2(800 nm) ≃1,323, i1= 59,2˚, r1= 40,0˚,
α1= 138,4˚, i2= 60˚, r2= 40,9˚, α2= 136,4˚, l’arc en ciel s’´etale sur 2˚environ, le rouge au-dessus, le violet
en-dessous.
2. Lentille plate de Veselago
En , le physicien russe Victor Veselago a conduit des ´etudes th´eoriques dans le cadre d’une optique de
Descartes o`u les milieux pourraient ˆetre d’indice n´egatif. Il a montr´e qu’avec de tels milieux, il ´etait possible
de r´ealiser une lentille convergente parfaitement plate. En  , le premier mat´eriau poss´edant un indice n´egatif
a ´et´e cr´e´e, on parle de m´etamat´eriau. Ce mat´eriau est un di´electrique classique (verre de silice) dans lequel on
a ins´er´e des fils conducteurs selon une structure p´eriodique, voir la photographie de la figure 2. Ce mat´eriau
s’est montr´e efficace pour des longueurs d’onde λ≃1 cm. Son indice de r´efraction a ´et´e mesur´e `a n=−2,7.
`
A l’heure actuelle, aucun m´etamat´eriau n’a ´et´e r´ealis´e pour le domaine visible λ≃0,5µm. Seul un mat´eriau
d’indice n=−0,3 a ´et´e obtenu pour λ≃2µm.
On consid`ere le sch´ema de la figure 3 o`u un objet AB est plac´e `a la distance dd’une lame `a face parall`eles
d’´epaisseur e, d’indice n < 0 avec |n|>1. La lame de m´etamat´eriau poss`ede une hauteur tr`es grande devant
son ´epaisseur. On consid`ere un rayon lumineux qui aborde ce milieu depuis Asous l’angle d’incidence i1.
1. La loi de la r´efraction ´etant de Descartes ´etant toujours valable, quelle est la particularit´e du rayon
r´efract´e par le dioptre plan P1,n lorsque le milieu est d’indice n´egatif ?
JR Seigne Clemenceau Nantes

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Figure 2 – M´etamat´eriau
A
Bi1
e
d
1 1
n
O
Figure 3 – Lentille plate de Veselago
2. On suppose que l’image A′de Apar le dioptre plan P1,n est situ´ee dans le milieu d’indice n < 0. D´eterminer
la distance OA′en fonction de d,net i1. En d´eduire que le dioptre plan P1,n n’est pas stigmatique.
3. Montrer qu’en se pla¸cant dans les conditions le Gauss, le stigmatisme est assur´e. Que vaut alors la distance
OA′? O`u se situe l’image B′de B? Quelle propri´et´e pr´esente donc le dioptre plan P1,n ?
Dans la suite, on se place dans les conditions de Gauss.
4. ` A quelle condition sur l’´epaisseur ede la lentille de Veselago, l’image A′B′se situe-t-elle dans le m´e-
tamat´eriau ? On suppose pour la suite que cette condition est aussi r´ealis´ee aussi pour un objet A1B1
situ´e `a la distance d1> d en arri`ere de AB par cons´equent. O`u se situe l’image de A1B1par rapport `a
A′B′? On consid`ere maintenant un objet constitu´e par A1B1AB. Que peut-on dire de son image dans le
m´etamat´eriau ?
5. Pour une ´epaisseur erespectant la condition vue `a la question pr´ec´edente, d´eterminer la position de
l’image d´efinitive A′′B′′ de AB par la lentille de Veselago. A-t-on bien r´ealis´e l’´equivalent d’une lentille
convergente traditionnelle ?
R´eponses : Le rayon r´efract´e se situe alors du mˆeme cˆot´e de la normale que le rayon incident ; OA′=dqn2−sin2i1
1−sin2i1,
OA′d´epend de i1, il n’y a pas stigmatisme ; si l’on se place `a l’ordre 1 en i1, alors on peut ´ecrire que OA′≃ |n|d,
il y a bien stigmatisme pour les petits angles, l’invariance par translation impose que B′soit dans le mˆeme
plan de front que A′, il y a aplan´etisme ; il faut que e > |n|det pour le second objet e > |n|d1,A′
1se situe
en |n|d1, l’image de l’objet A1B1AB est A′B′A′
1B′ 1, il y a renversement longitudinal et dilatation longitudinale
de l’objet ; A′B′se situe `a la distance e− |n|ddu dioptre plan Pn,1, son image se situe donc de l’autre cˆot´e
`a la distance e
|n|−d, l’image de A1B1est situ´ee en e |n|−d1, il n’y a plus de renversement longitudinal et les
rayons convergent, l’image d´efinitive est bien une image r´eelle de mˆeme taille que l’objet, le dispositif a des
similitudes avec une lentille convergente mais il n’est pas compl`etement ´equivalent, on le voit en particulier sur
le grandissement mais aussi sur le fait que si e < |n|dalors l’image d´efinitive est virtuelle, quand l’objet se situe
au-del`a de la distance e
|n|de la lentille son image est virtuelle pour une lentille traditionnelle, la condition ´etait
d < f (trop pr`es de la lentille).
B. Trac´es optiques
3. Trac´es de rayons
Compl´eter la marche des rayons lumineux incidents ou ´emergents des lentilles de la figure 4.
4. Constructions Image - Objet
Dans chaque cas, construire l’objet qui poss`ede l’image obtenue sur la figure 5.
JR Seigne Clemenceau Nantes

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OOO
Figure 4 – Lentilles
O F
A′
B′
O
FA′
B′
Figure 5 – Constructions
C. Relations de conjugaison
5. Focom´etrie
On consid`ere le syst`eme optique pr´esent´e sur la figure 6.
C
AO
Figure 6 – Focom´etrie
Un point objet A r´eel est plac´e sur l’axe Cx. En O, il y a un miroir plan. On note d= 60 cm la distance CO.
On constate qu’il existe deux positions de cet objet pour lesquelles le point image A′fourni par le syst`eme se
confond avec A. Ces deux positions sont s´epar´ees par une distance D= 10 cm.
En d´eduire l’expression, puis la valeur de la distance focale fde la lentille.
R´eponses : D(d+f) = f2,f=1
2(D+√D2+ 4Dd), f= 30 cm.
6. Grandissement et focom´etrie
Un syst`eme optique centr´e (S) donne d’un objet r´eel AB une image r´eelle A′B′situ´ee sur un ´ecran perpendi-
culaire `a l’axe du syst`eme. On intercale une lentille entre (S) et l’´ecran. On obtient une image deux fois plus
grande (et de mˆeme sens) sur l’´ecran qu’il a fallu reculer de d= 20 cm.
D´eterminer la nature de la lentille ajout´ee, sa position et sa distance focale.
D. Instruments d’optique
7. Lunette astronomique
On souhaite r´ealiser une lunette astronomique au moyen d’un objectif convergent et d’un oculaire divergent de
sorte que la longueur totale de la lunette soit ´egale `a 40 cm, la lunette ayant un grandissement angulaire ´egal `a
9.
1. D´eterminer la distance focale des lentilles `a utiliser et leur disposition.
2. On souhaite observer sans accommoder un objet de 1 m de haut situ´e `a 10 m de la lentille frontale.
Comment faut-il d´eplacer l’objectif par rapport `a l’oculaire et sous quel angle l’image est-elle vue ?
3. Montrer que tous les rayons lumineux entrant dans la lunette par l’objectif (de diam`etre d= 5 cm) passent
par un certain cercle de diam`etre minimal (cercle oculaire) dont on d´eterminera la position et la dimension.
8. Photographie et pouvoir de r´esolution
L’angle de vision humain moyen pour la vision st´er´eoscopique en couleurs est de l’ordre de 40˚.
1. D´eterminer la distance focale d’un objectif photographique, assimil´e `a une lentille sph´erique mince conver-
gente unique, qui donne le mˆeme angle de vision lorsque la largeur de la pellicule est de 36 mm.
JR Seigne Clemenceau Nantes

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2. Un objectif de ce type, de distance focale f′= 50 mm, est r´egl´e sur l’infini si la distance entre le plan de la
pellicule Pet le centre Ode la lentille est ´egale `a f′. Pour mettre au point (obtenir une image nette) sur
un objet situ´e `a distance finie Dde O, on doit ´ecarter l’objectif de cette position d’une distance t(tirage).
Calculer t.
3. Lorsque la mise au point ci-dessus est r´ealis´ee, on constate en pratique que l’image form´ee reste nette de
part et d’autre de la mise au point th´eorique (c’est la profondeur de champ), car on peut qualifier d’image
nette toute tache de dimension inf´erieure au diam`etre δdes grains photosensibles (AgBr). Si la mise au
point est faite sur 18 m, on constate en particulier que l’image est nette si l’objet est situ´e entre 9 m de
l’objectif et l’infini pour un certain diam`etre d=f′/N d’ouverture de l’objectif, avec N= 5,6. ´ Evaluer δ.
4. D´eterminer la profondeur de champ pour N= 2,8 puis N= 16. Quel autre facteur influe sur le choix du
diaphragme N?
R´eponses : f′=d
2 tan 20˚= 49,5 mm, OA′=Df′
D−f′et OA′=f′+tavec D≫f′en g´en´eral d’o`u t=f′2 D,d δ=f′ t,
δ=f′2
ND = 25 µm, pour N= 2,8 profondeur de champ de 12 m `a 37 m, pour N= 16 profondeur de champ de
4,6 m `a ∞, plus Ngrand moins il y a de lumi`ere qui rentre dans l’objectif donc photo plus lente, temps de
pause plus grand.
9. Microscope
Un microscope est constitu´e par association de deux lentilles convergentes jouant respectivement les rˆoles d’ob-
jectif et d’oculaire. L’objectif est de focale f′
1= 5 mm et l’oculaire de focale f′ 2= 25 mm. Le foyer image F′ 1de
l’objectif et le foyer objet F2de l’oculaire sont ´ecart´es de l= 25 cm.
1. Un observateur, l’œil plac´e au foyer image de l’oculaire, ´etudie un petit objet AB dispos´e dans un plan
de front, le point A´etant situ´e sur l’axe optique. O`u doit ˆetre Apour que l’œil effectue l’observation sans
accommoder ?
2. Repr´esenter la marche d’un pinceau lumineux ´etroit issu du point B.
3. Soient α′l’angle sous lequel l’œil voit l’image d´efinitive de AB `a travers le microscope et αl’angle sous
lequel il apercevrait AB sans instrument. Calculer le grossissement G=α′/α.
4. En accommodant, l’œil peut observer nettement un objet situ´e `a une distance comprise entre 25 cm
(Punctum Proximum) et l’infini (Punctum Remotum). De combien peut-on modifier la distance entre
l’objectif et l’oculaire si l’on veut toujours pouvoir observer nettement l’objet AB (cette distance s’appelle
la latitude de mise au point) ?
10. Tripleur de focale
On r´ealise la photographie d’objets situ´es `a grande distance au moyen d’un objectif, assimil´e `a une lentille mince
unique de focale f′>0. Le plan de la pellicule est confondue avec le plan focal image de l’objectif (voir la figure
7, `a gauche).
1. Quelle est la dimension Dd’une image sur le plan de la pellicule si l’objet s’´etend sur une largeur angulaire
θ? Application num´erique : calculer θpour f′= 300 mm et D= 36 mm.
f′f′+e
d
Figure 7 – Tripleur de focale
2. Pour un objet donn´e, augmenter Dconsiste `a augmenter f′donc l’encombrement de l’appareil. On veut
ici r´ealiser l’´equivalent d’un tripleur de focale, c’est-`a-dire un dispositif qui r´ealise une image de dimension
triple de celle obtenue avec l’objectif seul, tout en ayant un encombrement inf´erieur `a 3f′. On ´ecarte pour
cela (voir la figure 7, `a droite) l’objectif de la pellicule d’une distance eavant d’ins´erer une seconde lentille
(divergente sur le sch´ema) entre les deux. Cette lentille est `a la distance ddu plan de la pellicule et sa
distance focale est not´ee ϕ′; elle doit introduire un grandissement ´egal `a +3, sans changer le sens de
l’image.
Exprimer ϕ′et den fonction de e. Faire l’application num´erique pour e= 200 mm.
3. Le dispositif joue-t-il son rˆole de tripleur lorsqu’on l’ins`ere devant un autre objectif ?
JR Seigne Clemenceau Nantes