l`algorithme de Shor - Page professionnelle de Sébastien Giraud

UNE INTRODUCTION AU CALCUL QUANTIQUE : L ’ ALGORITHME DE SHOR
UNE INTRODUCTION AU CALCUL QUANTIQUE :
L ’ ALGORITHME DE SHOR
Sébastien Giraud
22 mai 2007
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UNE INTRODUCTION AU CALCUL QUANTIQUE : L ’ ALGORITHME DE SHOR
Le calcul quantique
Les postulats de la Physique Quantique
1. A tout système physique isolé est associé un espace de Hilbert E:
le système est complètement décrit par un vecteur normé de cet
espace, le vecteur d’état |Ψi.
ex : un qubit correspond à un espace de Hilbert de dimension 2
|Ψi=α|0i+β|1i |α|2+|β|2=1
2. L’évolution d’un système isolé est décrite par une transformation
unitaire :
|Ψ(0)i→|Ψ(t)i=U(t,0)|Ψ(0)i
3. L’espace des états d’un système composite est le produit tensoriel
des espaces individuels : |Ψ12i=|Ψ1i⊗|Ψ2i
ex : états à 3 qubits |000i,|100i,|111i
Mais il existe des états intriqués qui ne peuvent pas s’écrire sous
cette forme : 1
√2(|00i+|11i)
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UNE INTRODUCTION AU CALCUL QUANTIQUE : L ’ ALGORITHME DE SHOR
Le calcul quantique
Les postulats de la Physique Quantique
4. Toute grandeur physique mesurable Aest décrite par un opérateur
hermitien Ade E:lamesure de Ane peut donner comme résultat
qu’une des valeurs propres ande Aavec la probabilité
pn=|hun|Ψi|2A|uni=an|uni
La mesure modifie le système de façon irréversible : le vecteur
d’état est projeté sur le sous-espace propre de Apour la valeur
propre mesurée.
ex : |Ψi=α|0i+β|1i
probabilité de mesurer 0 : |α|2
si on mesure 0, après la mesure le système est dans l’état |0i.
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UNE INTRODUCTION AU CALCUL QUANTIQUE : L ’ ALGORITHME DE SHOR
Le calcul quantique
Registre de nqubits
L’état d’un registre de nqubits est un vecteur dans un espace à 2n
dimensions dont une base est :
|00 ···00i(c.à.d.|0i)
|00 ···01i(c.à.d.|1i)
|00 ···10i(c.à.d.|2i)
.
.
.
|11 ···11i(c.à.d.|2n−1i)
Il s’écrit donc :
|Ψi=α0|0i+α1|1i+··· +α2n−1|2n−1i
avec |α0|2+|α1|2+··· +|α2n−1|2=1.
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UNE INTRODUCTION AU CALCUL QUANTIQUE : L ’ ALGORITHME DE SHOR
Le calcul quantique
Le parallélisme quantique
Porte de Hadamard :
|0i |1i
H=h0|
h1|
1/√2 1/√2
1/√2−1/√2
Soit f:{0,1}→{0,1}. On définit la transformation unitaire Uf
agissant sur 2 qubits :
|x,yi→|x,y⊕f(x)i
A l’aide du circuit :
on obtient un état qui contient une information sur les deux valeurs
prises par la fonction f:
|0i|0iH −→ 1
√2(|00i+|10i)Uf
−→ 1
√2(|0f(0)i+|1f(1)i)
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