TD 6 : Diffraction de Fraunhofer d`une ouverture car

T. D. 6 : Diffraction de Fraunhofer d’une ouverture carrée à transmission variable : Application à la détection
des exoplanètes
6.1
Préliminaires
a. Soit une ouverture dont la transmitance est donnée par
Rect
où Rect
vaut 1 pour , et 0 partout ailleurs. Établissez sa figure de diffraction de
Fraunhofer.
b. On suppose une ouverture à deux dimensions dont la transmittance est donnée par l’ex pression :
Rect
Rect
i) Établissez sa fonction de diffraction de Fraunhofer et représentez-la graphiquement.
ii) On utilise une ouverture carrée pour diaphragmer une lentille. On vise une source
ponctuelle à l’infini formant au niveau de la lentille une onde plane. On supposera le
rayonnement monochromatique de longueur d’onde . Exprimez l’intensité au plan
focal de la lentille.
c. À quelle distance minimum de l’axe optique (dans le plan focal de la lentille) l’amplitude
tombe-t-elle à 0 pour le première fois? Donnez-en l’expression et la valeur numérique
pour et tous deux égaux à m, une focale
!"! m, et une longueur d’onde
! # m.
d. À quelle distance minimum de l’axe optique se situe le premier maximum secondaire de
l’intensité?
e. Dans le plan focal, en s’écartant de l’axe optique selon une direction parallèle à l’un des
côtés du carré, quelle est l’intensité relative du premier maximum secondaire par rapport
à l’intensité sur l’axe?
f. Dans le plan focal, en s’écartant maintenant de l’axe optique selon une direction diagonale
au carré, quelle sont la position et l’intensité relative du premier maximum secondaire
rencontré?
6.2
Application à la détection des exoplanètes
L’ouverture considérée est celle d’un télescope spatial qui vise une étoile. Par rapport à une
ouverture circulaire classique, avec une ouverture carrée l’intensité décroît plus vite quand on
s’écarte de l’axe optique selon la diagonale.
On soupçonne la présence d’une planète à un écart angulaire de $ (2-3) !&%&' radians autour
de cette étoile. L’intensité relative de la planète par rapport à l’étoile est de !&%"( et on pourra la
détecter si elle dépasse ) de l’intensité résiduelle là où elle se trouve. Quelles sont les chances
de succès?
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a. On met maintenant une lame d’absorption variable (appelée lame d’apodisation car elle
abaisse les maxima secondaires ou pieds de la réponse impulsionelle) devant l’ouverture
+
carrée. La transmittance devient : * + , -./ 0
1 234 5&6 , 78-9 :
. ; Rect , -9 :
. . Calculez la figure
de diffraction de Fraunhofer de cette ouverture. Montrer que l’intensité relative est de la
<
forme
0
>
,
?
A
@
.
sinc
<=
/
2CB , ?@.
0D
Déterminer @ .
b. Étudier la dépendance en ? de cette fonction. À quelles distances de l’axe optique se
situent le premier zéro et le premier maximum secondaire de l’ntensité ?
c. En utilisant le résultat précedent, exprimer la transmittance et sa fontion de diffraction de
Fraunhofer dans le cas bidimensionel.
d. Quelle est l’intensité relative du premier maximum secondaire dans une direction diagonale ? Comparez avec le cas du diaphragme carré sans apodisation. Peut-on maintenant
détecter l’exoplanète?
NOTE : (Référence bibliographique : A. Aspect et al, Demain la Physique, Odile Jacob, 2004)
La détection de planètes autour des étoiles autres que le soleil (les exoplanètes) constitue un sujet
de grand intêret en astrophysique. La première découverte d’une planète autour d’une étoile du type
solaire date de 1995 en utilisant la méthode de vélocimétrie (on mésure le mouvement de l’étoile autour
du centre de masse du système étoile-planète). Actuellement on connaît plus d’une centaine d’étoiles
possédant une, voire deux ou trois exoplanètes. On peut utiliser une seconde méthode, l’observation
d’un transit planétaire au cours duquel le flux de l’étoile présente une faible décroissance (de l’ordre
du pourcent) lorsque l’exoplanète éclipse son astre : cela ne se peut se produire que lorsque la Terre est
dans le plan de l’orbite planétaire, comme on l’a observé sur l’étoile HD209458 avec le télescope spatial
Hubble.
Le texte de ce TD est inspiré des projets par la méthode du transit, de détection des exoterres (exoplanètes comparables à la terre et qui pourraient abriter une forme de vie). La technique décrite dans
ce problème, nomée ASA (Apodized Square Aperture), a été développée en 2001. Le Centre National
d’Etudes Spatiales prépare la mission COROT pour 2005. Un télescope en orbite fera la mesure photométrique de grands champs stellaires pendant de longues durées, pour rechercher d’éventuels transits. Il
pourra détecter jusqu’à une dizaine d’exoterres pendant les deux années de sa mission. Puis viendra la
mission Kepler (NASA) visant les mêmes objectifs avec des performances accrues. Enfin, il s’agira de
former l’image d’exoplanètes. Cet objectif difficile (projets Darwin en Europe, Terrestrial Planet Finder
(ESA/NASA)) requiert plusieurs télescopes séparés par plusieurs dizaines de mètres (interféromètrie) et
placés loin de la terre. Outre l’image d’exoplanètes, Darwin/TPF veut mesurer leur spectre infrarouge
pour rechercher l’ozone, indice éventuel de la présence de vie...
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