chapitre 1 : puissances, calcul litteral

Master1, UE4, EC4A, Eléments de mathématiques chapitre 3 éléments de géométrie plane Page 1
CHAPITRE 3 : PARALLELISME, PERPENDICULARITE, FIGURES PLANES ELEMENTAIRES
I Droite, demi-droite, segment:
droite
Demi-droite d’origine
A passant par B
Segment d’extrémités
A et B
NOTATION
(AB) ou (d)
[AB)
[AB]
REPRESENTATION
GRAPHIQUE
B
A
(d)
A
B
A B
Il faut toujours penser à coder une figure : segments de même longueur, angles droits etc.
II Cercle, disque :
r étant un nombre positif, le cercle de centre O et de rayon r est l’ensemble des points situés à une distance r de O.
BC
B C
D E
A
Le disque de centre O et de rayon r est l’ensemble des points M tels que OM
r
.
Conséquences de la définition : si un point M est sur le cercle alors OM = r.
Si un point M est tel que OM = r alors M est sur le cercle.
ATTENTION : le centre n’est pas un point du cercle !
[OA] est un rayon et [DE] est un diamètre. [BC] est une corde et la petite portion de cercle limitée
entre B et C est appelée petit arc de cercle.
III Droites particulières :
3.1 droites perpendiculaires :
Deux droites sont perpendiculaires si elles forment un angle droit (mesure égale à 90°).
Elles forment alors 4 angles droits. On note (d) (d’).
Méthodes de tracés :
 En utilisant l’équerre et la règle
 En utilisant le compas et la règle (méthode à maitriser)
O
r

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Exercice 1 : tracer la droite (d’) perpendiculaire à la droite (d) passant par A avec le compas.
Il existe une seule droite perpendiculaire à une droite donnée passant par un point.
CAS 1 : CAS 2 :
(d)
A
(d)
A
Cette méthode qui revient à la construction d’une médiatrice est à connaître car elle intervient très
souvent dans la construction de perpendiculaires à l’aide de la règle et du compas.
3.2 droites parallèles :
Deux droites sont parallèles si elles sont confondues ou si elles n’ont aucun point commun. On note
(d) (d’).
Lorsqu’elles ne sont pas confondues, on dit parfois qu’elles sont strictement parallèles.
Méthodes de tracés :
 En utilisant l’équerre et la propriété : « si deux droites sont perpendiculaires à une même
trosiième droite, alors elles sont parallèles entre elles. »
 En utilisant le compas et la règle.
Exercice 2 : tracer la droite (d’) parallèle à la droite (d) passant par A avec le compas.
CAS 1 : CAS 2 :
(d)
A
(d)
A

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Cette méthode qui revient à construire un parallélogramme est à connaître car elle intervient très
souvent dans la construction de parallèles à l’aide de la règle et du compas.
Exercice 3 : droite d’Euler
Tracer un triangle ABC. Tracer la perpendiculaire à (AB) qui passe par C.
Tracer la perpendiculaire à (AC) qui passe par B. Ces deux perpendiculaires se coupent en H.
Placer le point I milieu du segment [AC] et J milieu du segment [AB].Tracer les segments [BI] et [CJ],
ils se coupent en G. Tracer la perpendiculaire à (AC) qui passe par I et la perpendiculaire à (AB) qui
passe par J. Ces deux droites se coupent en O. Tracer la droite (OG).
3.3 tangente à un cercle :
La tangente à un cercle de centre C en un point M du cercle est la droite perpendiculaire en M au rayon
[CM].
Cette définition donne une méthode précise de tracé de la tangente.
3.4 médiatrice d’un segment :
La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment :
- la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe en son milieu.
La médiatrice d’un segment est un axe de symétrie du segment.
Méthodes de tracés :
 En utilisant l’équerre et la règle graduée.
 En utilisant le compas et la règle.
Exercice 4 :
Construire la médiatrice du segment [AB] en utilisant la règle et le compas.
A
B
Cette méthode à connaître permet de placer le milieu d’un segment en utilisant uniquement le compas
et une règle non graduée.
IV Angles :
4.1 angles :
On appelle secteur angulaire toute portion de plan limitée par deux demi-droites de même origine.
L’origine commune est appelée sommet du secteur et les deux demi-droites sont appelées côtés du
secteur angulaire.
L’ensemble des secteurs superposables constituent un angle.
On considère souvent les angles saillants (mesure inférieure à 180 °) et non les angles rentrants
(mesure supérieure à celle de l’angle plat) dans les exercices.
Deux angles sont dits complémentaires si la somme de leur mesure est égale à 90°.

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Deux angles sont dits supplémentaires si la somme de leur mesure est égale à 180°.
Deux angles opposés par le sommet sont égaux.
Deux angles alternes-internes formés par des droites parallèles sont égaux.
Deux angles correspondants formés par des droites parallèles sont égaux.
4.2 bissectrice d’un angle :
La bissectrice d’un angle est la droite qui passe par le sommet de l’angle et qui partage l’angle en deux
angles adjacents égaux.
La bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie de cet angle.
La bissectrice d’un angle est l’ensemble des points équidistants des côtés de l’angle.
Méthodes de tracés :
En utilisant le rapporteur.
En utilisant la règle et le compas.
Exercice 5 :
Construire la bissectrice de l’angle xOy en utilisant la règle et le compas.
y
O
x
Cette méthode à connaître permet de construire l’axe de symétrie de l’angle et l’ensemble des points
équidistants des côtés de l’angle en utilisant uniquement le compas et une règle non graduée.
4.3 angle au centre, angle inscrit :
On appelle angle au centre dans un cercle tout angle dont le sommet est le centre du cercle.
On appelle angle inscrit dans un cercle tout angle dont le sommet est un point du cercle et dont les
côtés coupent le cercle.
A
F
L’angle au centre AOB intercepte l’arc AB.
L’angle inscrit EFG intercepte l’arc EG.
B
E
G
Propriétés :
1/ Si un angle inscrit intercepte le même arc qu’un angle au centre alors sa mesure est égale à la moitié
de celle de l’angle au centre.
2/ Si deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils sont égaux.
O

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Conséquence de la propriété 1 :
3/ Si [AB] est un diamètre d’un cercle et C un autre point de ce cercle, alors le triangle ABC est un
triangle rectangle en C.
Cette conséquence à connaître permet de tracer des angles droits, des droites perpendiculaires, des
triangles rectangles avec un compas.
Exercice 6 : à retenir :
En utilisant la propriété 3, tracer un triangle DEF rectangle en F tel que DE = 4 cm et EF = 2 cm.
V Polygones :
Un polygone est une figure géométrique limitée par les côtés qui sont tous des segments.
Nombre
de côtés
3
4
5
6
8
10
12
Nom du
polygone
triangle
quadrilatère
pentagone
hexagone
octogone
décagone
Dodécagone
5.1 polygones convexes, concaves, croisés :
Un polygone est convexe s’il est tout entier situé du même côté que toutes les droites support de ses
côtés. Sinon il est concave (ou non convexe).
Un polygone est croisé si deux de ses côtés se coupent.
Polygone convexe
Polygone concave
Polygone croisé
5.2 polygone régulier :
Un polygone régulier est un polygone inscriptible dans un cercle et qui a tous ses côtés de même
longueur.
Un polygone régulier a tous ses angles égaux.
Conséquence : si un polygone régulier est composé de n côtés
et si O est le centre du cercle circonscrit alors tous les angles
au centre sont égaux à 360 / n.
Méthodes de tracés :
Tous les polygones réguliers peuvent être tracés avec le rapporteur de façon plus ou moins précise.
Certains ne nécessitent pas le rapporteur (triangle équilatéral, carré, hexagone, octogone etc.).