Familles Famille La notion de famille est techniquement identique à celle de fonction oiu application , mais c'est un point de vue est diérent. Dénition 1. Soit V un espace vectoriel et I un ensemble. On appelle famille d'éléments de V indexée par I une fonction : I ! V . On appelle I ensemble d'indices. On parle de famille nie si jI j < 1 (c'est à dire si I a un nombre ni d'éléments). Notation. Soit a: I ! V une famille d'éléments de V indexée par I. On pose ai := a(i) et on écrit (ai)i2I pour dire a. On écrit (ai)16i6n pour le cas où I = f1; ; ng , où carrément (ai) si l'ensemble d'indices est entendu. Remarque 1. Un famille nie est plus prosaiquement une liste d'éléments de V . On peut en particulier avoir des répétions, par exemple (1; 1; 1) est une famille légit d'éléments de N. Dénition 2. Soit V un espace vectoriel et L = (ai)i2I une famille indexée dans V . La taille jLj de L est donnée par def: card(I) si I est un ensemble ni jLj = 1 sinon Combinaison linéaire Soit V un espace vectoriel et K = (vi)16i6p une famille nie d'éléments de V . Une combinaison linéaire de K est une somme p X ivi 2 V i=1 où i 2 K pour tout 1 6 i 6 p. Notation. On écrit Vect(K) pour l'ensemble f combis linéaires de K. Pp i=1 ivi j1 6 i 6 p; i 2 Kg de toutes les Proposition 1. Vect(K) < V . Famille libre, famille liée Dénition 3. Une famille (vi)16i6 p d'éléments de V est Pp i. libre si i=1 ivi = 0 implique i = 0 pour tout 1 6 i 6 p; ii. liée si elle n'est pas libre. Exemple. 1. La famille 2 32 3! 1 0 4 0 5;4 0 5 0 1 dans R3 est libre car une combi linéaire 2 3 2 3 1 0 4 0 5+4 0 5 0 1 = 0 nous renseigne que ; = 0 en lisant coordonnée par coordonnée. 2 32 32 3! 2. La famille 1 0 1 4 0 5;4 0 5;4 0 5 0 1 1 dans R3 est liée car 2 3 2 3 2 3 1 0 1 4 0 5+4 0 5¡ 4 0 5 0 1 1 Observons que 2 3 1 4 0 5 0 + 2 3 0 4 0 5 1 = 2 = 0 3 1 4 0 5 1 . Remarque 2. Soit (vi)16i6p une famille libre dans V . On a nécéssairement vi = / v j pour tout i= / j (pas de répétitions, ce qui revient à dire que la fonction v: f1; ; pg ! V est injective). On peut voir ça par contraposition. Supposons qu'il existe des indices i; j 2 f1; ; pg tels que vi = v j . À ce moment-là on peut construire une combinaison linéaire 1v1 + + pv p non triviale avec k 8 < 1 := ¡1 : 0 k=i k=j sinon Cette combinaison linéaire est bien sûr nulle, donc (vi) n'est pas libre. Remarque 3. Soit (vi)16i6p une famille libre dans V et une permutation de l'ensemble des indices f1; ; pg. Il est immédiat que la famille (v(i))16i6p est libre. Remarque 4. Soit (vi)16i6p une famille libre dans V . On a vi = / 0 pour tout 1 6 i 6 p, ce qui se voit par contraposition. Supposons que vi = 0 pour un indice 1 6 i 6 p. À ce momentlà on trouve une combi linéaire nulle mais non-triviale: 0v1 + + 0vi¡1 + vi + 0vi+1 + + 0v p = 0 = 0 Proposition 2. Soit L = (vi)16i6p une famille dans V . Les assertions suivantes sont équivalentes i. L est liée; ii. il existe un indice 1 6 j 6 p tel que v j 2 Vect(Lnv j ); iii. il existe un indice 1 6 j 6 p tel que Vect(L) = Vect(Lnv j ). Démonstration. (i) ) (ii) Supposons une combi linéaire non-triviale de L tele que p X i=1 ivi = 0 Il existe à ce moment-là indice 1 6 j 6 p tel que j = / 0, du coup p X vj = ¡ i vi 2 Vect(Lnv j ) j i= /j (ii) ) (iii) Supposons un indice 1 6 j 6 p tel que v j 2 Vect(Lnv j ). Il est immédiat que Vect(Lnv j ) Vect(L). Pour montrer l'inclusion inverse, supposons 0 = / x 2 Vect(L). On a donc des combis linéaires non-triviales x = vj = p X i=1 X ivi ivi i= /j du coup x = = = = p X i=1 X i= /j X i= /j X i= /j ivi ivi + jv j ivi + j X ivi i= /j (i ji)vi 2 Vect(Lnv j ) (iii) ) (i) Supposons un indice 1 6 j 6 p tel que Vect(L) = Vect(Lnv j ) et 0 = / x 2 V . On a donc des combis linéaires non-triviales x = x = p X i=1 X ivi ivi i= /j Du coup on a la combi linéaire non-triviale 0 = x¡x p X X = ivi ¡ ivi i=1 /j X i= = jv j + (i ¡ i= /j i)vi Famille genératrice Dénition 4. Une famille (vi)16i6 p d'éléments de V est génératrice si V = Vect(v1; ; v p) Remarque 5. La famille (vi) est genératrice lorsque tout élément x 2 V est une combinaison linéaire de (vi), ceci de manière non-nécéssairement unique (autrement dit on peut avoir plusieurs combinaisons linéaires diérentes donnant le même élément). Exemple. La famille 1 0 ; 0 1 ; 1 1 genère R2. Quiz: est-ce une famille libre? Remarque 6. Soit (vi)16i6p une famille génératrice dans V . 1. Soit une permutation de l'ensemble des indices f1; ; pg. Il est immédiat que la famille (v(i))16i6p est génératrice. 2. Soit (vi)16i6r une famille obtenue à partir de de (vi)16i6 p en collapsant les répétitions. On a Vect(v1; ; v p) = Vect(v1; ; vr) car si on a des répetitions, mettons vi = v = v j , alors ivi + jv j = (i + j )v . Bases Base Dénition 5. Une famille B d'éléments de V est une base si elle est libre et genératrice. Remarque 7. Soit (vi)16i6p une base de V et une permutation de l'ensemble des indices f1; ; pg. Il est immédiat que la famille (v(i))16i6p est une base. Unicité des combinaisons linéaires Proposition 3. Soit B = (vi)16i6p une base de V . Il existe pour tout x 2 V une unique Pp combi linéaire de B telle que x = i=1 ivi. Démonstration. Soit B = (vi)16i6p une base deP V . Puisque B est génératrice, il P existe pour p p tout x 2 V une combi linéaire de B telle que x = i=1 ivi. Supposons que x = i=1 ivi. on a alors 0 = x¡x p p X X ivi ¡ ivi i=1 = p X i=1 i=1 (i ¡ i)vi Mais B est libre, donc i ¡ i = 0 pour tout 1 6 i 6 p. Unicité des tailles Théorème 1. Soit V un espace vectoriel, G := (gi)16i6r une famille generatrice de V et F := (f j )16j 6n une famille libre dans V . Alors jF j 6 jG j Démonstration. On construit une série de familles génértatrices de taille constante jG j à partir de G, en insérant à chaque itération un élément de F et en eaçant un élement approprié. ¡ G0 := G. C'est une famille génératrice par construction; ¡ Puisque G0 est génératrice, (f1; g1; ; gr) l'est à fortiori. Comme / 0. PrF est libre on a f1 = Mais comme G0 est génératrice, on a une combi linéaire f1 = i=1 i gi. Il existe donc un indice 1 6 t 6 r tel que t = / 0 , du coup X i gt = ¡f1 + gi t i= /t donc G1 := (f1; g1; ; gt¡1; gt ; ; gr) est génératrice; ¡ Supposons que Gs := (f1; ; fs ; gm1; ; gmk(s)) est génératrice. Dans ce cas (f1; ; fs ; fs+1; gm1; ; gmk(s)) l'est à fortiori. Comme F est libre on a fs+1 = / 0. Comme Gs est génératrice par hypothèse, on a une combi linéaire fs+1 = s X i fi + i=1 k(s) X j gm j j =1 Mais comme F est libre, les j ne peuvent pas tous être nuls. Il existe donc un indice 1 6 l 6 k(s) tel que l = / 0, du coup gml = ¡fs+1 + s X i i=1 l fi + X j= /l j l gm j donc Gs+1 := (f1; ; fs ; fs+1; gm1; ; gml¡1; gml+1; ; gmk(s)) est génératrice; ¡ Après n itérations on obtient une famille génératrice Gn = (f1; ; fn ; gm1; ; gmk(n)) de taille jG j telle que F Gn, donc en particulier jF j 6 jG j. Corollaire 1. En particulier si B1 et B2 sont des bases de V , on a jB1j = jB2j. Bases (cont.) Le théorème de la base incomplète Lemme 1. Soit V un espace vectoriel, une famille G génératrice de V et F une famille libre dans V telle que F G. Il existe dans V une famille libre X de taille maximale telle que F X G. def: Démonstration. Soit F = fF X G jX libreg. On a i. F = / ? car F 2 F; ii. jFj < 1 car G est nie; iii. (X ) < 1 pour tout X 2 F car X G par construction et (G) < 1 par hypothèse. Théorème 2. Soit V un espace vectoriel, G une famille génératrice de V et L une famille libre dans V telle que L G. Il existe une base B de V telle que L B G. Démonstration. En vertu de Lemme 1 il existe dans V une famille libre B := (bi)16i6r de taille maximale telle que L B G . Soit w 2 G nB. La famille (b1; ; br ; w) est liée par maximalité de B. Il existe donc une combinaison linéaire non-triviale telle que 1b1 + + pbp + w = / 0. Il est en particulier nécéssaire que = / 0 car B est libre par hypothèse, donc w = ¡ 1 b1 + + ¡ p bp Comme on a pas fait d'hypothèse sur w, tout élément de G est combinaison linéaire d'éléments de B , donc B est génératrice puisque G l'est. En particulier B est une base. Toute famille genératrice contient une base Si V = f0g est l'espace vectoriel trivial, on a rien à montrer. Autrement supposons que G = (vi)16i6p genère V et posons w := vi pour un indice 1 6 i 6 p. On a bien sûr (w) G . Mais toute famille à 1 élément est trivialement libre, donc G contient une base en vertu de Théorème 2. Dimension Dénition 6. On dit que V est de dimension nie s'il admet une famille génératrice, dans quel cas sa dimension dim(V ) est la taille de ses bases. Autrement on dit que V est de dimension innie.