Résolution de systèmes linéaires en entiers naturels 1 L`algorithme

Université de Nice Sophia Antipolis
Préparation à l’ Agrégation de Mathématiques 2010-2011
Résolution de systèmes linéaires en entiers naturels
On appelle poids d’un vecteur de Nqla somme de ses composantes.
Deux remarques :
•À chaque étape on construit une liste L0de nouveaux vecteurs à tester tous de même
poids et de poids un de plus que ceux des vecteurs en cours de test de L.
•Dans le test il n’existe pas ν∈M∪[L\ {x}]tel que ν=xou x >> ν l’ensemble
[L\ {x}]est sans intérêt puisque x /∈[L\ {x}]car Lest sans répétition, c’est un ensemble,
et xne peut pas dominer strictement un élément de [L\ {x}], ils sont tous de même
poids. Sa suppression a l’avantage de simplifier la programmation et la compréhension
de l’algorithme A.
1 L’algorithme Asans la contrainte géomètrique (C)
1.1 Correction et Complétude par récurrence sur le poids
Il est clair qu’au poids 1 l’algorithme est correct et complet : on examine tout le monde et si
l’on trouve une solution elle est minimale.
Supposons que ceci soit vrai au poids p:Mcontient toutes et seulement les solutions minimales
de poids ≤p.
À l’étape suivante, en poids p+ 1, si on ajoute une solution à Melle ne domine aucune solution
minimale de poids ≤p. Elle est donc minimale (correction).
D’autre part si xest une solution de poids p+ 1 non examinée par l’algorithme alors xest un
successeur d’une solution minimale x0de poids ≤p, donc xn’est pas une solution minimale
(complétude).
1.2 Terminaison ?
Il est clair que cet algorithme sans contrainte ne termine pas sur un système qui n’a pas de
solution minimale, par exemple (S3) ou tout système ayant une forme linéaire toujours >0
ou toujours <0sur Nq\ {0}. On est lancé dans une quête désespérée et sans limite dans tout
Nq\ {0}. La contrainte géomètrique est essentielle à la terminaison.
2 L’algorithme Aavec la contrainte géomètrique (C)
En ce qui concerne la correction le raisonnement précédent est toujours valable. Il faut exam-
iner la complétude et la terminaison.
La complétude : à partir d’un xqui n’est pas solution on explore moins de directions que
précédemment, c’est l’intérêt de la contrainte. Il faut s’assurer qu’on ne manquera pas une
solution minimale.
Si a(x)<0et x+x0est une solution minimale alors a(x+x0) = a(x)+a(x0) = 0 donc a(x0)>0.
Posons x0=Pq
j=1 njej, on a Pq j=1 nja(ej)>0donc il existe au moins un jtel que nj6= 0 et
a(ej)>0. En partant de xdans cette direction ejon peut arriver à x+x0.

La terminaison : à vous de jouer (euh, je sèche lamentablement) , ça n’a pas l’air facile : voir la re-
marque du paragraphe 8.
Deux idées dans le cas d’une seule équation :
•s’il n’y a pas de solution non nulle à l’équation, la famille génératrice minimale est vide,
c’était un très mauvais cas pour la terminaison de l’algorithme sans la contrainte (C).
On voit facilement qu’on a tous les a(ej)de même signe donc, dans l’algorithme avec la
contrainte (C), dès la deuxième étape on a L=∅et c’est terminé.
•La stratégie de construction de Lnous fait construire les vecteurs de Lau plus près de
l’hyperplan a1x1+· · · +ajxj+· · · +aqxq= 0. Au bout d’un certain nombre d’itérations
on tombe sur une solution, si elle est minimale elle va dans Msinon on ne s’en occupe
plus, de toute façon ce vecteur est éliminé de L. Faites un dessin avec q= 2.