e - PCSI-PSI AUX ULIS

Electricité – Mécanique - Thermodynamique Samedi 7 avril
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DEVOIR DE PHYSIQUE N°7
Durée : Trois heures
Instructions générales :
• Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages.
• Les candidats sont invités à porter une attention toute particulière à la qualité de la
rédaction, de l’orthographe et des justifications.
• Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons
des initiatives qu’il est amené à prendre.
• L’usage d’une calculatrice est autorisé pour cette épreuve.
• Les exercices sont indépendants. Elles peuvent être traitées dans l'ordre choisi par le
candidat.
Exercice 1 : Mouvement d’une planète
Nous voulons étudier le mouvement d'une planète
P
, assimilée à un point matériel dans le
champ de gravitation d'une étoile de masse
e
M
de centre
O
, considérée comme ponctuelle
et fixe. La planète de masse
p
M
est située à une distance
r OP
=
de O. Nous
considérerons un référentiel lié à l'étoile comme un référentiel galiléen.
1. Exprimer la force exercée par l'étoile sur la planète en fonction des masses
p
M
et
e
M
,
r OP
=
,
G
, la constante universelle de gravitation et le vecteur unitaire
r
e
ur
=
OP
r
uuur
.
2. Justifier précisément que le mouvement est plan. Préciser ce plan. On notera
(
)
,
r
e e
θ
ur uur
la
base de projection dans ce plan et
z
e
ur
, un vecteur unitaire suivant la direction du
moment cinétique en O,
z
L Le
=
ur ur
. Rappeler l’expression de la vitesse en coordonnées
polaires. Préciser l'expression de
L
en fonction de
, ,
p
d
M r
dt
θ
.
3 . On suppose dans cette question que la planète décrit un mouvement circulaire de rayon
R
et de période
T
. On notera
c
v
, le module de la vitesse pour un mouvement
circulaire.
3.1. Etablir l'expression de la vitesse de la planète,
c
v
en fonction de
R
,
G
et
e
M
.
3.2. En déduire une relation entre
,
R T
,
G
et
e
M
( 3
ème
loi de Képler).
3.3. Exprimer alors la vitesse
c
v
en fonction de
G
,
T
et
e
M
.
3.4. En déduire l’énergie cinétique et l’énergie mécanique en fonction de
G
,
T
,
p
M
et
e
M
.
4. On rappelle que l'équation polaire d’une ellipse est
( ) ( )
1 cos
p
re θ
θ
=+ où
p
est une
distance appelée paramètre et
e
, un coefficient positif sans dimension appelé
l'excentricité compris entre 0 et 1. On se propose d’étudier le mouvement de la planète à
l’aide du vecteur excentricité,
e p
L
e v e
GM M
θ
= − +
r r uur
où
v
r
est la vitesse de la planète.
e
r

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est un vecteur orthogonal au ½ grand axe de l’ellipse.(voir figure ci-dessous). Aucune
connaissance sur ce vecteur n’est nécessaire pour répondre aux questions suivantes.
r
e
θ
e
e
θ
P
O
4.1. Montrer que ce vecteur est constant. Il suffira de montrer que la dérivée de ce
vecteur est nulle.
4.2. En faisant le produit scalaire
.
ee
θ
r uur
et en s’aidant du dessin, montrer que
( ) ( )
1 cos
p
re θ
θ
=+ et en déduire que le module de
e
r
vaut l'excentricité
e
de la
trajectoire. Préciser
p
en fonction de
, ,
e p
G M M
et
L
.
4.3. Préciser la valeur de l’excentricité pour un mouvement circulaire.
4.4. Dans le cas d’un mouvement circulaire, préciser la valeur de
L
en fonction de
,
R
c
v
et
p
M
. Retrouver à l’aide du vecteur excentricité, l'expression de la vitesse de la
planète,
c
v
en fonction de
R
,
G
et
e
M
.
Exercice 2 : Etude d’un filtre RLC

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Exercice 3 : Etude d’un filtre actif
Exercice 4 : Système de deux étoiles à neutrons

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