1/6 COMPOSITION DE PHYSIQUE Quelques aspects de la fusion

X Physique MP 2007 — Énoncé 1/6
ÉCOLEPOLYTECHNIQUEFILIÈREMP
CONCOURSD’ADMISSION2007
COMPOSITIONDEPHYSIQUE
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesestautorisée pourcette épreuve.
⋆ ⋆ ⋆
Quelquesaspectsdelafusioncontrôlée parconfinementmagnétique
Laréaction defusionquisembletechniquementlaplusréalisable correspond àlafusion de
deuxisotopesdel’hydrogène, ledeutérium(D)etletritium(T).Cetteréactions’écrit:
2
1D+3 1T→4 2He+navec l’énergielibérée Ef= +17,6MeV.
Lesproduitsdelaréactionsontdesparticulesalpha(noyauxd’hélium4)etdesneutrons.La
fusion nécessiteunetempérature élevée : lesatomes sontalorsentièrementionisés,etpourdécrire
l’étatdelamatièreon parled’étatplasma.Ceplasmaestenfermédansune« boîte»spéciale,
appelée tokamak,aumoyen d’un champmagnétique.Aprèsunebrève étude cinématiquedela
réaction(partieI),on présenteunemodélisation deladistribution depression dansletokamak
(partieII).DanslapartieIII,unedestechniquesutiliséespourchaufferleplasmaestanalysée.
Enfin, lapartieIVétudieleproblèmedu confinementdesparticuleschargéesparun champ
magnétique.Lesquatreparties sontindépendantes.
Donnéesnumériques:
massesdu protonetdu neutronmp≃mn=1,67 ×10−27 kg
massedel’électronme=9,1×10−31 kg
charge élémentairee=1,6×10−19 C
constantedeBoltzmann kB=1,38 ×10−23 J·K−1
perméabilitémagnétiquedu videµ0=4π×10−7H·m−1
Formulaire:
Composantesdu gradientencoordonnéescylindriques(r,θ,z):
−→
∇=(∂
∂r,1 r
∂
∂θ,∂ ∂z)
Courbe3D:sabscisse curviligne,~ tvecteurunitairetangent,~nvecteurunitairenormalprincipal,
Rrayon de courbure:
d~r
ds=~
t;d~
t
ds=~n R
1
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X Physique MP 2007 — Énoncé 2/6
I.Cinématiquedelaréaction
Onsupposequetoutel’énergielibérée parlaréaction defusionsetransforme enénergie
cinétiquedesparticulescréées,eton négligelesénergiescinétiquesdesparticulesincidentes.
1.CalculereneVl’énergie cinétiquedu neutronetcelledelaparticulealpha.
2.Calculerleursvitessesrespectives.
II.Pressionetdensitédu plasma
Danscettepartie,onsupposeleplasmacomposéuniquementd’ionsdeutériumetd’électrons,
confinésdansletokamakparle champmagnétique~ B.Chacunedesdeuxespècesest traitée
commeun gaz.
1.On noteneladensitévolumiqued’électrons,ρeleurmassevolumique et~veleurvitesse
moyenne.Demême,on notenDladensitévolumiqued’ions,ρDleurmassevolumique et~vDleur
vitessemoyenne.
Écrireladensitélocalede courantélectrique~ jenfonction desparamètres.
2.Onconsidèrequeleplasmaestlocalementélectriquementneutre entoutpoint.On note
Plapressiontotaleàl’intérieurdu plasma,apriorinon uniforme.
(a)Préciserlesdiversesdensitésvolumiquesdeforce agissantdansleplasma;en déduire
l’équationsatisfaiteparleplasmaenrégimepermanent.
(b)Montrerqueleslignesde courantetleslignesde champmagnétiquesontisobares.
3.Leplasmacirculeàl’intérieurd’un cylindred’axez′z,derayona,pourlequelonchoisitles
coordonnéescylindriques(ρ, ϕ,z)adaptées(figure1);un solénoïde crée un champmagnétique
(0,0,Bz)uniformedansle cylindre.Cetensemble constitueun modèlesimplifiédu tokamak.
z
x
y
z′
O
jz
ϕ
ρ
I
Figure1
2
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X Physique MP 2007 — Énoncé 3/6
(a)Onsupposeladensitéde courant~ j=jz~ezuniforme.Déterminerle champmagnétique
additionnelcréé parce courant.
(b)En déduire,avec ceshypothèses, leprofildepressionP(ρ)àl’intérieurdu cylindre,
lapression devenantnulleàlaparoiρ=a.
(c)Lavaleurcaractéristiquedu champmagnétiquegénéréparlesolénoïde estBz≃4T,
etlacomposanteadditionnelle créée par~ jestdel’ordrede10%deBzenρ=a.
Calculerlapressionsurl’axedu cylindre(ρ=0).
4.Onsupposeque chaque espèce chargée se comporte commeun gazparfaitmonoatomique.
(a)Ona obtenu parchauffagelatempératureTtellequekBT=10 keVsurl’axedu
cylindre.CalculerTenKelvin.Évaluerladensitévolumiqued’ionscorrespondante.
(b)Laconditionàsatisfairepourquel’énergieproduiteparlesréactionsdefusionsoit
supérieureàl’énergie consommée parletokamakestle«critèredeLawson » reliant
ladensitévolumiquenDd’ions, leur températureTetleurdurée de confinementτ;
numériquementτnD(kBT)>1021 keV·m−3·s.
Avec lesvaleursnumériquesprécédentes,évaluerladurée minimalede confinement
nécessairepourquele critèredeLawsonsoitvérifié.
III.Chauffagedu plasma
Pour réaliserlafusion, il fautunetempératuretrèsélevée.Nousallonsétudierunedes
techniquesde chauffageutilisées.
1.Dansun plasma,uneondelongitudinaledepression(du typeonde«sonore»)est
souventaccompagnée d’un champélectriquelongitudinal ; ce typed’onde,sanschampmagné-
tique,estappelée «onde électrostatique».Soitunetelleondeplane,donnée parson potentiel
Φ=−Φ0cos(ω1t−kx).On noteracΦlacéléritédel’onde.Le choixdesoriginesest telque
qΦ0>0.
(a)DansleréférentielgaliléenRdu laboratoire,écrirel’équation du mouvementd’une
particule chargée,de coordonnées(x,y,z),en présence de cetteonde.
(b)Àl’aided’un changementderéférentieladéquat,ramenercette équationàl’équa-
tion du mouvementdansun champ deforcesindépendantdu temps.En déduireune
constanteEdu mouvement,correspondantàl’énergiedanslenouveauréférentielR’.
(c)PréciserdansR’ lestypesdemouvementpossiblesetdécrirelesdifférentesformesdu
portraitdephaseauxquellesellescorrespondent.
Préciseren particulierleséquationsdescourbesquiséparentdansleplan dephase
cesdiverstypesdemouvement;on poseraδ=2»qΦ0/m.
(d)Montreraumoyen du portraitdephasequelesparticulesdontlesvitessesinitiales
selonxdansRsontcomprisesdansl’intervalle]cφ−δ,cφ+δ[peuventêtre« piégées»
parle champélectrique.Montrerquepouruneparticulepiégée, lavaleurmoyennede
lacomposantevxdesavitessedansR,surun temps suffisammentlong,estégaleà
cφ.
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X Physique MP 2007 — Énoncé 4/6
2.Onconsidèreàprésentunepopulation departiculeschargées.Al’instantinitialt=0,
leur répartitionspatiale estuniforme,etleursvitesses suivantl’axexsontdistribuées selon
unegaussienne: laprobabilitépourquevxsoitdansl’intervalle[vx,vx+dvx]estp(vx)dvx=
A(T)exp(−mv2
x/2kBT)dvx,oùTdésignelatempérature.
(a)Tracerl’alluredu graphedelafonctionp(vx).
(b)On « allume»àt=0l’onde électrostatiqueΦ.Onrappellequelatempérature est
proportionnelleaucarrédelavitessequadratiquemoyenne.Onsupposequeδ/cΦest
petitdevantun.Enexploitantl’alluredu graphedep(vx)auvoisinagedecφ,expliquer
qualitativementpourquoi lepiégeagedesparticulesparl’onde chauffeleplasma.
(c)PourquellevaleurdecΦarrive-t-onàréchaufferleplusdeparticules?
IV.Confinementmagnétique
1.Onconsidèreuneparticulede chargeqévoluantdansun champmagnétiqueindépendantdu
temps.On note~ex,~ey,~ezlesvecteursunitairesd’un trièdretrirectangledirectOxyzderéférence.
(a)Commentévoluel’énergie cinétiquedelaparticule?
(b)Onconsidèreun champmagnétiqueuniforme~ B=B~ezavec B>0.Déterminerle
mouvementdelaparticuleavec lesconditionsinitiales~r(0)=~ 0etvitesse~u(0)=
u0
⊥~ex+uz~ez.PréciserlapulsationΩetlerayonrLdegiration.
(c)Lesionsetlesélectronsontune énergied’agitationthermiquedel’ordrede10 keV.
Donnerl’ordredegrandeurdeΩetderLpourlesionspuispourlesélectronsavec
B=4T.
(d)DansleplanxOy,enassimilantlemouvementd’une chargeàunespire,montrerque
lemomentmagnétiqueassociés’écrit~µ=−µ~ezavec µ=qu2
⊥/2Ωoùu⊥=k~u⊥k,
~u⊥étantlavitessedansce plan.
(e)Évaluerl’énergie cinétiquetransverse1
2mu2
⊥enfonction de~µet~
B.
2.Onconsidèremaintenantun champmagnétiquenon uniforme~ B=B(x,y,z)~ b,avec k~ bk=1
etk~ Bk=Bdel’ordredu Tesla.Onsupposequele champvarietrèspeu,envaleur relative,sur
desdistancesdel’ordrederL.Lemouvementd’uneparticulede chargeqcomprend alorsun
mouvementdegiration « rapide»orthogonal localementà~ Betun mouvement«lent» de
vitesse~ U.Onadmetquelemouvementlentestceluid’un systèmedevitesse~ U,portantune
chargeqetun momentmagnétique~µ=−µ~ b.
(a)Laforce s’exerçantsurun dipôlemagnétique~µs’écrit
~
F= ~µ·∂~
B
∂x,~µ·∂~
B
∂y,~µ·∂~
B
∂z!.
Pour~µ=−µ~ b,montrerque cetteforce s’écritégalement~ F=−µ−→ ∇B.
(b)Oneffectuel’hypothèseque~ Uestparallèleà~ B,soit~ U=Uk~
b.Donnerl’équation
différentiellequedoitsatisfaire~ U.
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X Physique MP 2007 — Énoncé 5/6
(c)On désigneparKl’énergie cinétiqueassociée aumouvementlent.
MontrerquedK
dt+µdB dt=0.
Onrappellequepour toutefonctionf(~r(t)) :df
dt=d~r dt·−→
∇f.
(d)Soit~u⊥lavitessedu mouvementdegiration.Onadmetqueµestdonnéparlamême
expressionqu’en1.d.Effectuerun bilanglobald’énergie cinétique eten déduireque
µestune constante.
(e)L’hypothèse effectuée en2.bestune excellenteapproximation.Cependant, l’équation
du mouvementnepeutêtresatisfaite engénéralquesi~ Ucomporteune composante
~
U⊥orthogonaleà~ B.Compléteralorsl’équation du mouvementobtenue en2.b pour
entenircompte.
(f)En déduire,ensupposantlesvariationstemporellesde~ U⊥négligeables,que~ U⊥est
donnépar:
~
U⊥≃U2
k
ΩR~
b∧~n+µ
mΩ~
b∧−→ ∇B.(1)
oùRestlerayon de courburedelalignede champet~nlevecteurnormalunitaire.
Indication:oncalculera~ b∧d~
U
dteton utiliseral’expression deΩobtenue en1.b.
3.Pourconfinerlesparticuleschargéescomposantleplasma,uneidée naturelle estdefermer
leslignesde champ.Dansce buton utiliseun solénoïdetorique.On utiliseralescoordonnées
cylindriques(r,θ,z)delafigure2.
a
z
y
M(r,θ,z)
z
r
x
θ
O′
RC
I
Figure2
(a)SoitNlenombretotaldespires;calculerle champmagnétique créé parlesolénoïde
lorsqu’il estparcouru parun courantcontinu d’intensitéI.
(b)Expliciterlesdeuxtermesdansl’expression(1)donnant~ U⊥enfonction deKketK⊥,
contributionsdeUketu⊥àl’énergie cinétique en notantα=qµ0NI/2π;expliquer
pourquoiun telchamp nepeutconfinerlesparticulesindéfiniment.
(c)Écrireleséquationsdu mouvementd’uneparticule chargée de coordonnées(r,θ,z)
dansce champmagnétiquetorique.
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