TD: Particule soumise `a une force constante

TD: Particule soumise `a une force constante
1 Position du probl`eme
On consid`ere une particule, de masse m0, initialement au repos, soumise `a une force constante: F. On
souhaite ´etablir l’expression de la vitesse ven fonction du temps t.
En m´ecanique classique, la solution est triviale: v=F
m0
.t; mais cette expression diverge lorsque ttend vers
l’infini, ce qui est inacceptable physiquement.
Albert Einstein a propos´e de modifier la seconde loi de Newton de la fa¸con suivante: d
dt
m0.v(t)
q1−
(v(t))2
c2
=F.
R´esoudre cette ´equation et tracer l’allure de v(t)
Solution
L’´equation diff´erentielle se met sous la forme: m0.dv
dt
q1−
(v(t))2
c2
+m0.(v(t))2
c2.dv
dt
1−
(v(t))2
c23/2=F⇒m0.dv
dt
1−
(v(t))2
c23/2=F.
On pose V=v
c, on s´epare les variables: dV
(1−V2)3/2=F
c.m0
.dtet on int`egre: RV
V=0
dV
(1−V2)3/2=F
c.m0
.Rt
t=0 dt
⇒V
√1−V2=F
c.m0
.t ⇒V2
1−V2=F2.t2
c2.m2
0⇒V2.1 + F2.t2
c2.m2
0=F2.t2
c2.m2
0⇒V2=
F2.t2
c2.m2
0
1+ F2.t2
c2.m2
0⇒v
c=
F.t
c.m0
q1+ F2.t2
c2.m2
0
⇒v=
F.t
m0
q1+ F2.t2
c2.m2
0
=F.c.t
√c2.m2
0+F2.t2
2 Code avec Mathematica
Particule soumise ` a une force constante
In[1]:= Sol=DSolve[{D[m0 v[t]/Sqrt[1-v[t]^2/c^2],t]==F,v[0]==0},v[t],t]
Out[1]=
2 2
c Sqrt[F t ]
{{v[t] -> -(--------------------)},
2 2 2 2
Sqrt[c m0 + F t ]
2 2
c Sqrt[F t ]
{v[t] -> -(--------------------)},
2 2 2 2
Sqrt[c m0 + F t ]
2 2
c Sqrt[F t ]
{v[t] -> --------------------},
2 2 2 2
Sqrt[c m0 + F t ]
2 2
c Sqrt[F t ]
{v[t] -> --------------------}}
2 2 2 2
Sqrt[c m0 + F t ]
1

ISEN-Brest. Kany. TD: Particule soumise `a une force constante
In[2]:= V=v[t]/.Sol[[3]]
Out[2]=
2 2
c Sqrt[F t ]
--------------------
2 2 2 2
Sqrt[c m0 + F t ]
In[3]:= F=1;m0=1;c=1;Plot[{V,t},{t,0,10},PlotRange->{0,1.5}]
Out[3]= -Graphics-
3 Code avec Python
# -*- coding: utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
2