Solution – Nombres Complexes – Applications Géométriques – s2477 1/ Montrer que, pour tout z , z' ∈ C I : | z + z' |2 + | z – z' |2 = 2(| z |2 + | z' |2 ) . Soit z = x + iy et z' = x' + iy' . z + z' = (x + x') + i(y + y') ⇒ | z + z' |2 = (x + x')2 + (y + y')2 . z – z' = (x – x') + i(y – y') ⇒ | z – z' |2 = (x – x')2 + (y – y')2 . | z + z' |2 + | z – z' |2 = (x2 + 2xx' + x'2 + y2 + 2yy' + y'2 ) + (x2 – 2xx' + x'2 + y2 – 2yy' + y'2 ) | z + z' |2 + | z – z' |2 = 2[(x2 + y2 ) + (x'2 + y'2 )] = 2(| z |2 + | z' |2 ) . 2/ Soient M , N , P les points d'affixes respectives z , z' , z + z' . Interpréter géométriquement le résultat du 1/ . → z est l'affixe de OM , → z' est l'affixe de ON , → → → → z + z' est l'affixe de OM + ON = 2 OI = OP . Ceci prouve que le quadrilatère (OMPN) est un parallélogramme. → → → z – z' est l'affixe de OM – ON = NM . | z + z' |2 + | z – z' |2 = 2(| z |2 + | z' |2 ) ⇔ OP2 + MN2 = 2(OM 2 + ON 2 ) . Dans un parallélogramme, la somme des carrés des longueurs des diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés du parallélogramme.