Première ES/L Mercredi 5 février 2014 Durée: 3 heures DST de Math

Prénom et nom : …………………………… Première ES/L
Mercredi 5 février 2014 Durée: 3 heures
DST de Mathématiques n° 4.
Calculatrice autorisée . Les exercices 1 et 2 sont à faire directement sur l'énoncé. Rendre le sujet.
Exercice 1 Vrai-Faux
Dire pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse. Ne pas justifier. Répondre sur l'énoncé.
(+0,5 par bonne réponse et -0,5 par mauvaise réponse)
a) Si f est une fonction positive sur [-2;3], alors f' (x) > 0 sur [-2;3]. Réponse : ……………
b) Une fonction qui n'est pas strictement croissante sur un intervalle I Réponse : ……………
est décroissante sur I.
c) Si f est une fonction vérifiant f' (-2)=0, alors f admet un extremum en -2. Réponse : ……………
d) La fonction f définie sur Ë par f(x)= x
3
+3x
2
+ 3 est décroissante sur [-1;0]. Réponse : ……………
e) Si f est une fonction définie et dérivable sur [0;3] telle que f(1)<f(2), Réponse : ……………
alors pour tout x de [0;3] f' (x) Ã 0.
Exercice 2 Algorithme
1.
Considérons l’algorithme suivant écrit à l’aide du logiciel Algobox. Ecrire ce que renvoie l'algorithme si les
valeurs d’entrée sont 7 pour k et 5 pour n ?
(Il n'y a pas de "retour à la ligne" entre les affichages des lignes 10 à 13. Répondre sur l'énoncé.)
Réponse : ………………………………………………………………………………
2.
Compléter l'algorithme ci-dessous à la ligne 11.
(Il n'y a pas de "retour à la ligne" entre les affichages des lignes 12 à 15. Vous pouvez utiliser une syntaxe
"naturelle". Répondre sur l'énoncé.)
…………………………………………………

Exercice 3 A la dérive
1. Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes.
a) f définie sur
*
+
Ë par f(x)=3x
4
−x +
1
2x
b) g définie sur Ë−
1
2
par g(x)=
2x
2
−3
2x−1
2. Etudier les variations de la fonction h définie sur Ë par h(x)=x
3
−
7
2
x
2
+2x+7.
Exercice 4 Trois inconnues
Soit f la fonction définie sur Ë−{2} par f(x)=ax+b+
c
x−2
.
C est la courbe représentative de f dans un repère.
Déterminer a, b et c sachant que C
f
admet deux tangentes horizontales en A(4;9) et B(0;1).
Exercice 5 Coût marginal et recette marginale
Un industriel fabrique et commercialise des jouets.
On suppose, tout au long de l’exercice, qu’il n’a pas d’invendus dans sa production.
On désigne par x le nombre de centaines de jouets fabriqués.
Le coût total de fabrication est donné en centaines d’euros par C
T
(x)=0,03x
3
−0,45x
2
+2,5x.
Si l’industriel fabrique x centaines de jouets, il vend chaque centaine de jouets au prix P(x)=2−0,08x.
La production est comprise entre 100 et 1 000 jouets.
1. Calculer la recette totale R(x) pour la vente de x centaines de jouets.
2. Rappelons que les économistes assimilent le coût marginal C
m
à la dérivée du coût total C
T
. De même, on a
coutume d’assimiler la recette marginale R
m
à la dérivée de la recette totale.
Calculer pour quelle valeur x
0
de x la recette marginale est égale au coût marginal.
(On donnera x
0
à 10 jouets près.)
3. Vérifier que le bénéfice est maximal en x
0
.
4. A l’aide d’une calculatrice graphique, représenter les fonctions C
T
et R.
En observant le graphique, que peut-on conjecturer pour les tangentes à ces courbes au point d’abscisse x
0
?
Expliquer pourquoi ce résultat est vrai.
Exercice 6 Pourcentages
Une usine fabrique des clous et des vis. Les vis représentent 30 % de la production.
10 % des vis sont en acier inoxydable (inox).
1. Quelle part de la production représentent les vis en inox ?
2. La production de vis en inox augmente de 50 % et les quantités des autres produits restent identiques.
a) Quel est le pourcentage d’augmentation de la production totale ?
(Aide : vérifier les calculs en prenant une quantité de produits égale à 100, et compter le nombre de
produits de chaque sorte.)
b) Quelle est la part, en pourcentage, des vis en inox dans la production totale ? (arrondir au dixième)