Nom Note Prénom Exercice 1 DM 16 3ème 7 Jeudi 06 mai 2010 Min Max Moy Commentaire Visa La loi de Titus-Bode (1ère partie) La loi de Titius-Bode est une loi empirique reliant les rayons des orbites des planètes du système solaire. Mise en évidence par le mathématicien Max Wolf dès 1741, elle a été redécouverte et formalisée mathématiquement en 1766 par Johann Daniel Tietz, dit Titius (1729-1796). Mais c’est à Johann Elert Bode (1747-1826) qu’est longtemps revenue la paternité de cette loi en la faisant connaître auprès de la communauté des astronomes en 1778. Le tableau suivant donne les distances au Soleil des planètes du système solaire connues en 1778. L’unité astronomique (ua) est la distance entre la Terre et le Soleil. Planète Mercure 58 × 106 Distance en km Vénus 108 × 106 Terre 150 × 106 1 Distance en UA Mars 228 × 106 Jupiter 778 × 106 Saturne 1 425 × 106 1. Calculer les distances au Soleil des différentes planètes en ua (arrondir au centième). On étudie la fonction affine ƒ : x → 0,3x + 0,4 pour x ≥ 0. 2. a) Compléter le tableau suivant pour les valeurs données : n x = 2n-1 ƒ(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 0 b) Comparer les deux tableaux. Cette fonction est la loi de Titius-Bode qui permet de trouver les distances au Soleil des planètes en prenant des valeurs particulières de n. 3. Deux planètes ne suivent pas tout à fait la loi. Quelles sont-elles ? Exercice 2 Le Tour du Monde à la voile en solitaire En janvier 2008, Francis Joyon bat le record du tour du monde à la voile en solitaire en 57 jours, 13 heures, 34 minutes et 6 secondes. La distance parcourue était d’environ 20 000 milles nautiques. a) Déterminer la vitesse moyenne de ce record en milles nautiques/h, arrondie au centième. b) Sachant qu’un mille nautique représente 1,852 km, calculer la vitesse moyenne du parcours en km.h−1. Arrondir au centième. c) Le précédent record était détenu par Ellen MacArthur depuis 2005 en 71 jours, 14 heures, 18 minutes et 33 secondes. À quelle vitesse moyenne a-t-elle effectué son tour du monde ? (Exprimer, en m.s−1, le résultat arrondi à l’unité.) d) Si Francis Joyon et Ellen MacArthur étaient partis le même jour du même endroit, lorsque Francis Joyon aurait franchi la ligne d’arrivée, à quelle distance de celui-ci se serait trouvée Ellen MacArthur ? Exprimer la distance en milles nautiques et en kilomètres (arrondie à l’unité). Exercice 1 Planète Mercure 58 × 106 0,39 Distance en km Distance en UA n x = 2n-1 ƒ(x) 0 0,4 1 1 0,7 Vénus 108 × 106 0,72 2 2 1,0 Terre 150 × 106 1 3 4 1,6 Mars 228 × 106 1,52 4 8 2,8 5 16 5,2 Jupiter 778 × 106 5,19 6 32 10,0 Les deux planètes qui ne suivent pas tout à fait la loi de Titus-Bode sont Mars et Vénus. Exercice 2 a) 57 j 13 h 34 min 6 s = 57 × 24 + 13 +34/60 + 6/3 600 ≈ 1 381,568 h. 20 000/1 381,568 ≈ 14,48 milles nautiques/h. b) 14,48/1,852 ≈ 7,82 km/h. c) 71 j 14 h 18 min 33 s = 71 × 24 × 3 600 + 14 × 3 600 + 18 × 60 + 33 = 6 185 913 s. 20 000 × 1,852 × 1 000 = 37 040 000 m. 37 040 000/6 185 913 ≈ 6 m/s. d) 57 j 13 h 34 min 6 s = 57 × 24 × 3 600 + 13 × 3 600 + 34 × 60 + 6 = 4 973 646 s. 6 185 913 - 4 973 646 = 1 212 267 s. 1 212 267 × 6 = 7 273 602 m ≈ 7 274 km ≈ 7 274/1,852 ≈ 3 928 milles nautiques. Saturne 1 425 × 106 9,50 7 64 19,6 8 128 38,8