Exercice 1 La loi de Titus-Bode (1ère partie) La loi de Titius

Nom Prénom
Jeudi 06 mai 2010 3
ème
7
DM 16
Min
Max
Note
Moy
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Exercice 1 La loi de Titus-Bode (1
ère
partie)
La loi de Titius-Bode est une loi empirique reliant les rayons des orbites des planètes du
système solaire. Mise en évidence par le mathématicien Max Wolf dès 1741, elle a été
redécouverte et formalisée mathématiquement en 1766 par Johann Daniel Tietz, dit Titius
(1729-1796). Mais c’est à Johann Elert Bode (1747-1826) qu’est longtemps revenue la paternité
de cette loi en la faisant connaître auprès de la communauté des astronomes en 1778.
Le tableau suivant donne les distances au Soleil des planètes du système solaire connues en
1778. L’unité astronomique (ua) est la distance entre la Terre et le Soleil.
Planète Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne
Distance en km
58 × 10
6
108 × 10
6
150 × 10
6
228 × 10
6
778 × 10
6
1 425 × 10
6
Distance en UA
1
1. Calculer les distances au Soleil des différentes planètes en ua (arrondir au centième).
On étudie la fonction affine ƒ : x → 0,3x + 0,4 pour x ≥ 0.
2. a) Compléter le tableau suivant pour les valeurs données :
n 1 2 3 4 5 6 7 8
x = 2
n-1
0
ƒ(x)
b) Comparer les deux tableaux.
Cette fonction est la loi de Titius-Bode qui permet de trouver les distances au Soleil des planètes en prenant des
valeurs particulières de n.
3. Deux planètes ne suivent pas tout à fait la loi. Quelles sont-elles ?
Exercice 2 Le Tour du Monde à la voile en solitaire
En janvier 2008, Francis Joyon bat le record du tour du monde à la voile en
solitaire en 57 jours, 13 heures, 34 minutes et 6 secondes. La distance parcourue
était d’environ 20 000 milles nautiques.
a) Déterminer la vitesse moyenne de ce record en milles nautiques/h, arrondie au
centième.
b) Sachant qu’un mille nautique représente 1,852 km, calculer la vitesse moyenne
du parcours en km.h
−1
. Arrondir au centième.
c) Le précédent record était détenu par Ellen MacArthur depuis 2005 en 71 jours,
14 heures, 18 minutes et 33 secondes.
À quelle vitesse moyenne a-t-elle effectué son tour du monde ? (Exprimer, en
m.s
−1
, le résultat arrondi à l’unité.)
d) Si Francis Joyon et Ellen MacArthur étaient partis le même jour du même
endroit, lorsque Francis Joyon aurait franchi la ligne d’arrivée, à quelle distance de celui-ci se serait trouvée Ellen
MacArthur ? Exprimer la distance en milles nautiques et en kilomètres (arrondie à l’unité).

Exercice 1
Planète Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne
Distance en km
58 × 10
6
108 × 10
6
150 × 10
6
228 × 10
6
778 × 10
6
1 425 × 10
6
Distance en UA
0,39 0,72 1 1,52 5,19 9,50
n 1 2 3 4 5 6 7 8
x = 2
n-1
0 1 2 4 8 16 32 64 128
ƒ(x) 0,4 0,7 1,0 1,6 2,8 5,2 10,0 19,6 38,8
Les deux planètes qui ne suivent pas tout à fait la loi de Titus-Bode sont Mars et Vénus.
Exercice 2
a) 57 j 13 h 34 min 6 s = 57 × 24 + 13 +34/60 + 6/3 600 ≈ 1 381,568 h.
20 000/1 381,568 ≈ 14,48 milles nautiques/h.
b) 14,48/1,852 ≈ 7,82 km/h.
c) 71 j 14 h 18 min 33 s = 71 × 24 × 3 600 + 14 × 3 600 + 18 × 60 + 33 = 6 185 913 s.
20 000 × 1,852 × 1 000 = 37 040 000 m.
37 040 000/6 185 913 ≈ 6 m/s.
d) 57 j 13 h 34 min 6 s = 57 × 24 × 3 600 + 13 × 3 600 + 34 × 60 + 6 = 4 973 646 s.
6 185 913 - 4 973 646 = 1 212 267 s.
1 212 267 × 6 = 7 273 602 m ≈ 7 274 km ≈ 7 274/1,852 ≈ 3 928 milles nautiques.