Équations générales des milieux continus Jean Garrigues

Équations générales
des milieux continus
Jean Garrigues
(version du 4 septembre 2014)

Avant-propos
L’objectif de ce cours est d’établir les équations générales régissant tous les milieux conti-
nus, qu’ils soient solides ou fluides. Les développements qui suivent se placent dans le cadre
de la physique classique (non relativiste et non quantique). Les équations générales des mi-
lieux continus sont donc les conséquences des quatre principes fondamentaux de la physique
classique (1) :
1. le principe de la conservation de la masse ;
2. le principe fondamental de la mécanique ;
3. le premier principe de la thermodynamique ou principe de la conservation de l’énergie ;
4. le second principe de la thermodynamique.
En ce qui concerne le principe fondamental de la mécanique, l’auteur a résolument choisi de se
baser sur le principe fondamental de Newton, c’est-à-dire celui qui est généralement enseigné
dans les cours élémentaires de mécanique générale. Ce choix est un choix pédagogique : plutôt
que de commencer la mécanique des milieux continus par l’énoncé d’un nouveau principe
fondamental de la mécanique (le principe des travaux virtuels ou des puissances virtuelles
(2)
), il
semble préférable à l’auteur de se baser sur les connaissances classiques préalablement acquises
par les étudiants en mécanique générale. Les connaissances préalables de mécanique générale
nécessaires et suffisantes à la lecture de ce cours se limitent aux trois théorèmes généraux pour
des ensembles de points matériels (finis ou infinis) :
1. le théorème de la résultante dynamique ;
2. le théorème du moment dynamique ;
3. le théorème de la puissance cinétique (dérivée temporelle de l’énergie cinétique).
En ce qui concerne la thermodynamique, aucune connaissance préalable n’est requise ; le cours
en rappelle les concepts fondamentaux et ne s’appuie que sur l’énoncé primal des deux prin-
cipes.
En première lecture, le lecteur pourra ignorer les remarques ou commentaires qui apparaissent
en retrait et en petits caractères sans nuire à la compréhension de l’ensemble du cours.
La lecture de ce cours suppose une maîtrise suffisante de l’algèbre et de l’analyse tensorielles
(3)
ainsi que de la cinématique des milieux continus (4).
Dans la mesure du possible, on respectera les conventions typographiques suivantes :
– les nombres réels sont en minuscules italiques (exemple : a,µ) ;
(1)
On démontre que si le principe de la conservation de l’énergie est universel et si les grandeurs calorifiques
scalaires ou vectorielles sont objectives, les deux premiers principes (masse et mécanique) en sont des conséquences.
Voir l’article .
(2) Dans ce cours, ils apparaîtront donc comme des théorèmes.
(3) L’auteur propose un autre cours intitulé Algèbre et analyse tensorielles pour l’étude des milieux continus :
ou bien
(4) L’auteur propose un autre cours intitulé Cinématique des milieux continus :
ou bien
.

4
– les vecteurs sont en minuscules italiques grasses (exemple : v
v
v) ;
– les tenseurs sont en majuscules italiques grasses (exemple : T
T
T) ;
– les termes d’une matrice sont rangés dans un tableau entre crochets, à deux indices, l’indice
de gauche est l’indice de ligne, et l’indice de droite est l’indice de colonne :
m11 m12 m13
m21 m22 m23
m31 m32 m33
=mi j
– la transposition est notée avec un >en exposant (exemple : T
T
T>) ;
– les ensembles d’entités mathématiques sont en majuscules doublées, en particulier :
–Rest l’espace des réels,
–V3est un espace vectoriel de dimension 3,
–V⊗p
3est l’espace vectoriel des tenseurs d’ordre pconstruis sur V3(de dimension 3p),
–Q3+est le groupe des rotations (Q3+⊂V⊗2
3) ;
– le produit vectoriel de deux vecteurs de V3est noté « ∧» ;
– le tenseur métrique est noté G
G
G;
– le tenseur d’orientation est noté H
H
H;
– la description de Lagrange d’un champ matériel est notée avec un indice L;
– la description d’Euler d’un champ matériel est notée avec un indice E;
– la dérivée particulaire d’une grandeur physiqueΨ
Ψ
Ψest notée ˙ Ψ
Ψ
Ψ.
Remerciement
Je tiens à remercier très vivement Mathias LEGRAND
(5)
, ce grand magicien de L
A
T
E
X, sans qui
la mise en page de ce texte ne serait que celle par défaut de la classe
(6)
et qui m’a aussi
donné de précieux conseils sur la typographie française.
Bonne lecture.
Information – Ce texte est rédigé en vue d’une lecture dynamique à l’écran : toutes les références internes et
externes sont actives et conduisent à la cible référencée (dans la plupart des visualisateurs de fichiers au format
pdf, on revient à l’état précédent avec la combinaison de touches <alt><page arrière>). Néanmoins, les références
des pages ont été conservées pour la lecture du document imprimé.
(5) De l’université McGill, de Montréal.
(6) Ceux qui écrivent en L
A
T
EX me comprendront.

Table des matières
1 Concepts fondamentaux ....................................... 9
1.1 Les domaines de milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Domaine matériel, 9 • Domaine géométrique, 10 • Comparaison, 10.
1.2 Grandeurs physiques extensives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Application à un domaine matériel, 11 • Application à un domaine géométrique, 12.
1.3 Dérivées temporelle d’intégrales à bord mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Cas d’un domaine matériel, 12 • Cas d’un domaine géométrique, 14.
1.4 Lemmefondamental ............................................. 16
1.5 Enbref... ...................................................... 16
2 Conservation de la masse ..................................... 19
2.1 Conceptdemasse ............................................... 19
2.2 Principe de la conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Forme locale du principe de la conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Bilan de masse dans un domaine géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Densités massiques de grandeurs extensives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Changementsd’observateur ....................................... 23
2.7 Enbref... ...................................................... 24
3 Principe fondamental de la mécanique ......................... 25
3.1 Rappelsdemécaniquegénérale ..................................... 25
Loi de Newton et observateurs galiléens, 25 • Théorèmes généraux, 26.
3.2 Efforts extérieurs sur un domaine matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Actions à distance, 28 • Actions de contact, 29.
3.3 Efforts intérieurs dans un milieu continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Existence du tenseur des contraintes, 30 • Conditions aux limites en contrainte, 31 • Décomposition
des contraintes, 31.
3.4 Théorèmes généraux pour un domaine matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Théorème de la résultante dynamique, 33 • Théorème du moment dynamique, 34 • Théorème de la
puissance cinétique, 35.
3.5 Conséquences locales des théorèmes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Équation de mouvement, 36 • Symétrie du tenseur des contraintes, 37 • Puissance des efforts intérieurs,
39 • Synthèse, 39.