Cours du Prof. Dr. Anand Dessai Algèbre et géométrie II Rafael Guglielmetti, Nicolas Weisskopf Série 12 À rendre avant le jeudi 22 mai, 16h Exercice 1 (Espace des dérivations) 1. Montrez que Derp (M ) est un sous-espace vectoriel de E(p)∗ := Hom(E(p), R). 2. Soit ϕ : M → N différentiable avec q = ϕ(p) et soit ϕ∗ : E(q) → E(p), g 7→ g ◦ ϕ. Montrez que l’on a alors ϕ∗ (λg + g̃) = λϕ∗ (g) + ϕ∗ (g̃) ϕ∗ (g · g̃) = ϕ∗ (g) · ϕ∗ (g̃) (i.e. ϕ∗ est un homomorphisme d’algèbres). 3. Montrez que Θ : Tp M → Derp (M ), [γ] 7→ {f 7→ (f ◦ γ)0 (0)} est une application linéaire. Exercice 2 (Points critiques et valeurs régulières) 1. Soit f : S n → R une application différentiable. Montrez qu’il existe deux points p, q ∈ S n , p 6= q, avec (f∗ )p = (f∗ )q = 0. 2. Soit c ≥ 0 une constante et φc : R3 → R, (x, y, z) 7→ x2 + y 2 − z 2 − c. Dessinez l’image réciproque φ−1 c (0) pour c = 0 et c > 0. Pour quel c ≥ 0 est-ce que 0 ∈ R est une valeur régulière ? Exercice 3 (Forme alternée) a) Soient V un espace vectoriel sur R et ω : V × . . . × V → R une k-forme alternée. Montrez que ω(vσ(1) , . . . , vσ(k) ) = sgn(σ) · ω(v1 , . . . , vk ), ∀σ ∈ Sk , ∀vi ∈ V. b) Soit ω : R2 × R2 → R, ω(( ac ), ( db )) := ad − bc. Montrez que ω ∈ Alt2 (R2 ) et décrivez les composantes de ω pour la base canonique (e1 , e2 ) de R2 , ainsi que pour la base (e1 + e2 , e1 − e2 ). Exercice 4 (Gradient) Soit f : Rn → R une application différentiable telle que q = f (0). Montrez que la forme linéaire df : Der0 (Rn ) → R définie par Rh est égale à Pn ∂ ∂ ∂ f∗ ,..., i = Der0 (Rn ) −→ Derq (R) = Rh i ∼ =R ∂x1 ∂xn ∂t ∂f i=1 ∂xi (0) · dxi où (dx1 , . . . , dxn ) est la base duale de ( ∂x∂ 1 , . . . , ∂x∂n ). Exercice 5 (Forme linéaire) Soient M = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 = 5} et N = {(x, 0) ∈ R2 ; |x| < 1}. Soit Z la somme topologique de M et N . Montrez que Ω0 (Z) ∼ = Ω0 (M ) ⊕ Ω0 (N ). Déterminez le noyau de la dérivée extérieure d : Ω0 (Z) → Ω1 (Z).