Examen Partiel de Thermodynamique Parcours : MIP, Section B

Université Sultan Moulay Slimane
Faculté des Sciences et Techniques
Béni Mellal
‫جامعة السلطا ن موالي سليمان‬
‫كلية العلوم و التقنيا ت‬
‫بني مالل‬
USMS
FST
Examen Partiel de Thermodynamique
Parcours : MIP, Section B
(durée : 2 heures)
Mardi 22-Avril-2014
Les documents et les téléphones portables sont interdits.
Exercice 1 : (4 points)
 bT 
L’équation d’état d’une mole d’un gaz réel est de la forme : PV  RT 1   , où R est la
V

−1
−1
constante des gaz parfaits (R = 8.32 J. K .mol ) et b une constante (b = 10−6 m3.K−1).
1. Etablir l'expression du travail lors d'une transformation isotherme quasi-statique
entre un volume initial V1 et un volume final V2.
2. Faire l’application numérique pour : V1 = 20  , V2 = 40  , T = 300 K.
Exercice 2 : (8 points)
Un récipient de volume constant V = 2V0 = 40  à parois rigides et adiabatiques, est
divisé en deux compartiments, chacun de volume V0. Les deux compartiments sont
séparés par un robinet. A l'état initial, un compartiment contient n moles d'un gaz à la
température T0 et l'autre compartiment est vide. On ouvre le robinet de séparation et on
attend que l’équilibre soit établi à la température T1.
an2
L'énergie interne de ce gaz est donnée par : U(T, V)  nC VM T 
 U0 où CVM, la capacité
V
calorifique molaire à volume constant, a et U0 sont des constantes.
1. Le gaz considéré est-il parfait ? Justifier la réponse.
2. Que désigne-t-on par parois rigides et adiabatiques ? Quelle conclusion peut-on tirer
alors du premier principe de la thermodynamique ?
3. Déterminer la variation de la température T = T1  T0. Faire l’application numérique
et commenter. On donne : CVM = 20.8 J. K−1.mol−1, a = 0.14 J.m3.mol−2, n = 1 mole.
4. Sans faire de calcul, comparer avec le cas du gaz parfait (avec explications).
5. Déterminer le coefficient calorimétrique  de ce gaz. Comparer à celui d’un gaz parfait.
Exercice 3 : (8 points)
Dans un réfrigérateur schématisé par une machine ditherme fonctionnant de façon
réversible cyclique, le fluide réfrigérant effectue des transferts thermiques avec une
source chaude et une source froide. La source chaude est l’air d’un local à la température
constante TC = 310 K et la source froide est une masse d’eau à refroidir (m = 10 kg). La
capacité calorifique massique de l’eau liquide est ceau = 4.18 J.g−1.K−1. La chaleur latente
massique de fusion de la glace à T0 = 273.15 K est LFusion = = 340 J.g−1. A l’état initial, l’eau
est à la température TC et la puissance fournie au réfrigérateur est P = 500 Watts.
Au cours d'un cycle élémentaire réversible, le fluide réfrigérant échange les quantités de
chaleurs élémentaires QFroide avec la source froide et QChaude avec la source chaude. Au
cours de ce cycle, il reçoit le travail W du milieu extérieur.
1. Etablir un schéma de fonctionnant du réfrigérateur en précisant les sens et les signes
des échanges d’énergie mis en jeu.
2. Par application du premier et second principes de la thermodynamique, montrer que
le temps t1 au bout duquel la température de l’eau atteigne T0 = 273.15 K tout en
restant liquide s’écrit sous la forme : t1 
3.
4.
5.
6.

m  c eau 
T
 TC  ln C  TC  T0  . Effectuer
 
T0

l’application numérique.
Déterminer le temps supplémentaire t2 correspondant à la congélation de toute la
masse m0 d’eau (on aura de la glace à T0 = 273.15 K) en fonction de m, LFusion, T0, TC et
P. Effectuer l’application numérique. Comparer t1 et t2 et commenter.
De manière pratique, les réfrigérateurs mettent des temps supérieurs à ceux déjà
calculés dans les questions précédentes. Quelles peuvent être les causes de cette
différence ?
Peut-on refroidir l’air du local en laissant ouverte la porte du réfrigérateur ? donner
des explications en utilisant les principes de la thermodynamique.
Dans le cas d’un local isolé de capacité calorifique C = 106 J/K, déterminer la variation
de température de l’air de ce local si la porte du réfrigérateur est laissée ouverte
pendant 3 heures. Commenter.
Correction de l’examen Partiel de Thermodynamique
Parcours : MIP, Section B
(durée : 2 heures)
Mardi 22-Avril-2014
Exercice 1 : (4 points)
L’équation d’état d’une mole d’un gaz réel est de la forme : PV  RT  1 

−1
bT 
 , où R est la
V
−1
constante des gaz parfaits (R = 8.32 J. K .mol ) et b une constante (b = 10−6 m3.K−1).
1. Travail au cours d’une transformation isotherme quasi-statique entre V1 et V2 :
V2
V2
V1
V2
V1
W12    PdV   
 W12
RT  bT 
 1  dV
V
V
 RT bRT 2 
V 
 1 1
     2 dV  RT  ln 2   bRT 2   
V
V 
 V1 
 V2 V1 
V1 
2. Application numérique pour : V1 = 20  , V2 = 40  , T = 300 K, b = 10−6 m3.K−1.
W12 = – 1748,81 J
Exercice 2 : (8 points)
Un récipient de volume constant à parois rigides et adiabatiques, est divisé en deux
compartiments, chacun de volume V0 = 20  . Initialement, l’un des compartiments
renferme n moles d'un gaz à la température T0 et l'autre compartiment est vide. Si on
enlève la membrane de séparation entre les deux compartiments, le gaz se détend et
occupe tout le volume alloué. L’équilibre thermique s’établit à la température T1.
an2
 U0 où CVM, la capacité
V
calorifique molaire à volume constant, a et U0 sont des constantes.
L'énergie interne de ce gaz est donnée par : U(T, V)  nC VM T 
1. L’énergie interne de ce gaz dépend de T et V. Il ne s’agit pas d’un gaz parfait puisque
l’énergie interne de ce dernier est fonction uniquement de la température.
2. Les parois sont rigides et adiabatiques : elles ne sont donc pas indéformables (leurs
volume va rester invariable) et ne permettent pas l’échange de chaleur entre les
milieux intérieur et extérieur. Il s’en suit alors que : U = W + Q = 0 J.
3. Variation de la température T = T1  T0 :
an2
an2
U0  U1  nC VMT0 
 U0  nC VMT1 
 U0
V0
V1
an2 an2

 nC VM T1  T0 

V1
V0
 T  T1  T0 
an  1 1 
  
C VM  V1 V0 
A. N. : T = T1  T0 =  0,168 K.
Au cours de cette détente, on constate un léger refroidissement du gaz.
4. Dans le cas d’un gaz parfait, l’énergie interne dépend uniquement de la température.
Les parois rigides et adiabatiques induisent une constance de l’énergie
interne (U = 0). Ceci implique que la température va rester constante. On peut aussi
affirmer que pour a = 0 J.m3.mol−2, le gaz se comportera comme un gaz parfait et par
conséquent, on aura : T = T1  T0 = 0.
5. Détermination du coefficient calorimétrique  du gaz :
an2
On a : dU = n CVM dT + (  – P) dV = d( nC VM T 
 U0 )
V
an2
 dU = n CVM dT + (  – P) dV = nCVMdT  2 dV
V
an2
  P  2
V
an2
  P 2
V
Dans le cas d’un gaz parfait, on a :  = P.
Exercice 3 : (8 points)
Un réfrigérateur fonctionne de façon réversible cyclique entre une source chaude et une
source froide. La source chaude est l’air d’un local à la température constante T C = 310 K
et la source froide est une masse d’eau à refroidir (m = 10 kg), initialement à TC = 310 K.
On donne :
Capacité calorifique massique de l’eau liquide : ceau = 4,18 J.g−1.K−1.
Chaleur latente de fusion de la glace à T0 = 273,15 K : LFusion = = 340 J.g−1.
Puissance fournie au réfrigérateur : P = 500 Watts.
Au cours d'un cycle élémentaire réversible, le fluide réfrigérant échange :
la quantité de chaleur élémentaire QFroide avec la source froide
la quantité de chaleur élémentaire QChaude avec la source chaude
le travail W avec le milieu extérieur.
1. Schéma de fonctionnant du réfrigérateur :
Masse d’eau
(Source froide)
A t = 0, TC = 310 K
At,T
QFroide > 0
Réfrigérateur
(système)
QChaude < 0
Air extérieur
(Source chaude)
TC = 310 K = constante
W > 0
Milieu extérieur
2. Pour un cycle élémentaire réversible, les principes de la thermodynamique s’écrivent
comme suit :


Premier principe : W + QChaude + QFroide = 0
Q Chaude QFroide
Deuxième principe :

0
TC
T
QFroide = – mceaudT ( > 0)
(l’eau va rester liquide)
T
 Q Chaude  mceau C dT ( < 0)
T
 T 
 W  P  dt1  Q Froide  Q Chaude  mceau  1  C dT
T

où :
P
: puissance reçue par le réfrigérateur
dt1 : durée d’un cycle élémentaire.
mc eau 
TC 
 1  dT
P 
T
mc 
T 
 t1  eau  T0  TC  TC ln 0 
P 
TC 
 dt1 
 t1 

mc eau 
T
 TC ln C  TC  T0  , avec T0 = 273,15 K
P 
T0

A. N. : t1 = 199,04 s
3. Cette eau à la température T0 = 273,15 K va se solidifier pour devenir glace à la même
température. Le bilan d’énergie et d’entropie sera :


Premier principe : W2 + QChaude + QFroide = 0
Q
Q
Deuxième principe : Chaude  Froide  0
TC
T0
QFroide = m LF ( > 0)
 Q Chaude  mLF
(l’eau va se transformer en glace)
TC
( < 0)
T0
TC
 mLF
T0
Avec t2 : temps nécessaire pour la solidification complète de la masse d’eau à la
température T0 = 273,15 K.
 W2  Q Chaude  Q Froide  P  t2  mLF

mL F  TC
  1 
P  T0

A. N. : t2 = 917,37 s.
 t2 
L’opération de congélation de la glace nécessite un temps nettement plus élevé et
requiert donc beaucoup plus d’énergie.
4. De manière réelle, les réfrigérateurs mettent plus de temps pour réaliser les
opérations précédentes en raison des phénomènes irréversibles et des phénomènes
de pertes d’énergie au niveau du compresseur.
5. Un réfrigérateur avec une porte ouverte constitue un système en contact avec une
seule source de chaleur. Les bilans énergétique et entropique donnent :

Premier principe : W + Q = 0

Deuxième principe :
Q
 0  Q  0 (perte de chaleur vers le local)
TLocal
Le système va recevoir un travail qu’il va convertir sous forme de chaleur. Cette
chaleur cédée au local va contribuer à son réchauffement.
6. Dans le cas d’un local isolé de capacité calorifique C = 106 J/K, le bilan d’énergie est
défini de la manière :
C×T = P×t  T = P×t/C
Le local va se réchauffer de manière sensible.
,
A. N. : T = 5,4 °C