Eléments de correction du devoir surveillé nº3

Eléments de correction du devoir surveillé nº3- TS3
Exercice 1 (3 points)
Donner le conjugué de
23
41
i
i
sous forme algébrique, puis calculer son module.
2 3 4 1
2 3 2 3 2 3 14 5 14 5
4 1 4 1 4 1 4 1 1 16 17 17
41
ii
i i i i i
i i i i
i
22
14 5 196 25 221
17 17 17 17 17
i    
Exercice 2 (4 points)
1. Répondre par vrai ou faux aux affirmations. Justifier.
a. « Si Re(z) = 0 alors z = 0. » FAUX, contre-exemple avec
zi
b. « Si z ≠ 0 alors Re(z) ≠ 0. » FAUX, contre-exemple avec
zi
c. « Si Im(z) = 0 alors z  ℝ. » VRAI par définition
d. « Si
2z z z
alors z est un imaginaire pur. » FAUX contre-exemple
1z
2. Donner la réciproque de chaque affirmation. Est-elle vraie ?
a. « Si z = 0 alors Re(z) = 0. » VRAI
b. « Si Re(z) ≠ 0 alors z ≠ 0. » VRAI
c. « Si z  ℝ alors Im(z) = 0. » VRAI
d. « Si z est un imaginaire pur alors
2z z z
. » FAUX
Exercice 3 (5 points)
Résoudre les équations suivantes dans ℂ.
a. (2 + 3i)z – 2 + i = 5 – 7i
2 3 7 8i z i  
7 8 2 3
7 8 10 37 10 37
2 3 2 3 2 3 4 9 13
ii
i i i
zi i i
b. 3 + 4i – 5iz = 2z – 1
2 5 4 4i z i    
4 4 2 5
4 4 4 4 28 12 28 12
2 5 2 5 2 5 2 5 4 25 29
ii
i i i i
zi i i i
c. z2 – 3z + 5 = 0
24 9 20 11 0b ac       
il y a deux solutions complexes
13 11
22
b i i
za
et
23 11
22
b i i
za

d. z2 – z + 2 = 0
24 1 8 7 0b ac       
il y a deux solutions complexes
117
22
b i i
za
et
217
22
b i i
za
e.
210z
1 1 0zz  
1z
ou
1z
Exercice 4 (4 points)
Démontrer que
´´z z z z
et que
´´zz z z
(voir COURS)
Exercice 5 (4 points)
Calculer les limites suivantes (avec justification)
3
32 33
332 3 2 3
31 31
11
3 1 1
lim lim lim
1 1 1 1
2 2 2
2 1 2 1
22
x x x
x
xx xx xx
xx xx x x x
car
3
3
23
23
31
31 1
lim 1 1 lim 1
11
11 1
lim 1 1 2
2
x
x
x
xx
xx
xx
xx
par quotient des limites
2 4 2 2 4 2
2 4 2
2 4 2
2 4 2 2 4 2
lim 2 4 2 lim 2 4 2
xx
x x x x x x
x x x x x x
4 4 2 22
2 4 2 2 4 2 24 24
4 4 2 22
lim lim lim 12
2 4 2 2 4 2 2 4 1 44
xxx
x x x xx
x x x x x x xx xx
2
22 2
2 4 2 2 2
2 4 2 4 24
2
1
22
lim lim lim
1 2 1 2 12
2 4 1 2 2 1 2 1 1
4 4 4 4 44
x x x
x
xx x
x x x x x
x x x x xx
2
24
2
11
lim 4
12
2 1 1 44
x
x
xx
car
2
24
2
11
lim 2
12
11
44
xx
xx
par quotient des limites