Eléments de correction du devoir surveillé nº3

Eléments de correction du devoir surveillé nº3- TS3
Exercice 1
(3 points)
Donner le conjugué de
2  3i
sous forme algébrique, puis calculer son module.
4i  1
 2  3i  4i  1  14  5i   14  5 i
 2  3i  2  3i 2  3i




1  16
17 17
 4i  1  4i  1 4i  1  4i  1 4i  1

14 5
196 25
221
 i 
 2 
2
17 17
17 17
17
(4 points)
Exercice 2
1. Répondre par vrai ou faux aux affirmations. Justifier.
FAUX, contre-exemple avec z  i
a. « Si Re(z) = 0 alors z = 0. »
FAUX, contre-exemple avec z  i
b. « Si z ≠ 0 alors Re(z) ≠ 0. »
VRAI par définition
c. « Si Im(z) = 0 alors z  ℝ. »
d. « Si z  z  2 z alors z est un imaginaire pur. » FAUX contre-exemple z  1
2. Donner la réciproque de chaque affirmation. Est-elle vraie ?
VRAI
a. « Si z = 0 alors Re(z) = 0. »
VRAI
b. « Si Re(z) ≠ 0 alors z ≠ 0. »
VRAI
c. « Si z  ℝ alors Im(z) = 0. »
d. « Si z est un imaginaire pur alors z  z  2 z . » FAUX
Exercice 3
(5 points)
Résoudre les équations suivantes dans ℂ.
a. (2 + 3i)z – 2 + i = 5 – 7i
 2  3i  z  7  8i
7  8i  7  8i  2  3i  10  37i 10  37i
z



2  3i  2  3i  2  3i 
49
13
b. 3 + 4i – 5iz = 2z – 1
 2  5i  z  4  4i
z
4  4i 4  4i  4  4i  2  5i  28  12i 28  12i




2  5i 2  5i  2  5i  2  5i 
4  25
29
c. z2 – 3z + 5 = 0
  b2  4ac  9  20  11  0 il y a deux solutions complexes
z1 
b  i  3  i 11
b  i  3  i 11


et z2 
2a
2
2a
2
d. z2 – z + 2 = 0
  b2  4ac  1  8  7  0 il y a deux solutions complexes
z1 
e.
b  i  1  i 7
b  i  1  i 7
et z2 


2a
2a
2
2
z 2 1  0
 z  1 z  1  0
z  1 ou z  1
(4 points)
Exercice 4
Démontrer que z z´  z z´ et que zz´  z z´ (voir COURS)
(4 points)
Exercice 5
Calculer les limites suivantes (avec justification)

 3 1
3 1
x3 1   3 
1  3
x  3x  1
1
 x x   lim
x x
lim
 lim
 car
x  2 x 3  x  2
x 
x

1
1
1
1 2


2 x3 1  2  3 
2 1  2  3 
x 
x 
 2x
 2x
3
2
3 1
 3 1

 3 1 
1   3 
x 

x x
 x x   1 par quotient des limites
 xlim
 
1
1
1
1
1 2  3 
lim 1  2  3  1

x 

x 
2x
x
 2x
lim 1 
 2x 
4 x  x  2  lim
2

lim 2 x 
2
x 
 lim
x 
4

4 x4  x2  2 2 x2  4 x4  x2  2
2
x 
4x4   4x4  x2  2
2 x2  4 x4  x2  2
 lim
x 

2x2  4x4  x2  2
 x2  2
2 x2  4 x4  x2  2
 lim
x 
 x2  2
1
2 

2 x 2  4 x 4 1  2  4 
 4x 4x 
2

 x 2 1  2 
x  2
x  2
 x 
 lim
 lim
 lim
x 
x 
x 

1
2
1
2
1
2 
2x2  4x4 1  2  4
2x2  2x2 1  2  4
2 x 2 1  1  2  4 
4x 4x
4x 4x
4x 4x 

2

2
 1  2 
1 2
1
1
 x 
x
 lim
  car lim
 par quotient des limites
x  
x

4
2
1
2
1
2 
1 1 2  4
2 1  1  2  4 
4x 4x
4x 4x 

2
2