Algèbre bilinéaire Les espaces vectoriels considérés sont des espaces sur IR Montrer qu’une application est un produit scalaire Définition du produit scalaire Théorème utile sur les intégrales pour montrer que certaines formes sont définies Produit scalaire canonique sur IRn Base orthonormée de IRn Expression du produit scalaire dans une base orthonormée Un produit scalaire sur un ℝ-espace vectoriel est une application de E X E dans ℝ ( forme ), (u,v) (u,v) symétrique : (u,v) = (v,u) bilinéaire : ℝ, u,v,w E , (u+v,w) = (u,w) + (v,w) définie : ⟦u,u) = 0 u = OE positive : (u,u) 0 si a < b, si f est une fonction positive et CONTINUE sur [ a, b ] et si = 0 alors f = 0 Ce théorème s’applique aussi pour a = - et pour b = + < (x1 , ... , xn) , (y1,...,yn)> = = tX Y avec X = et Y = La base canonique de ℝn est une b.o.n. pour le produit scalaire usuel. Dans une b.o.n de E, si on note U la matrice colonne formée des coordonnées d’un vecteur u dans la b.o.n, on a : < u , v > = tU V Reconnaître une norme euclidienne Définition d’une norme euclidienne On appelle norme euclidienne sur un ℝ-ev E toute application N de E dans ℝ+ telle qu’il existe un produit scalaire < , > sur E vérifiant : u E, N(u) = Passage de la norme euclidienne au produit scalaire associé u,v E, <u,v> = ( = ( Expression matricielle de la norme dans une base orthonormée ) ) Dans une b.o.n. : = tU . U où U est la matrice colonne formée des coordonnées de u E dans la b.o.n. Cauchy-Schwarz Inégalité Cas d’égalité u,v E , | < u , v > | ≤ |<u,v>| = u et v colinéaires Orthogonalité Vecteurs orthogonaux Famille de vecteurs orthogonaux et familles libres Espaces vectoriels orthogonaux Caractérisation des sev orthogonaux à partir de leurs bases Orthogonal d’un sev Orthogonal de E Orthogonal de { OE } supplémentarité Cas des sev propres d’un endomorphisme symétrique u v < u ,v > = 0 Toutes familles formées de vecteurs non nuls et deux à deux orthogonaux est libre Deux sev F et G de E sont orthogonaux ssi : u F, v G , <u,v>=0 Soient deux sev F et G de E munis de bases respectives BF et BG. F et G sont orthogonaux ssi tout vecteur de BF est orthogonal à tout vecteur de BG Soit F un sev de E On appelle orthogonal de F le sev de E noté F égal aux vecteurs orthogonaux à touts les vecteurs de F. E = { OE} , { OE]} = E F F = E . En dimension finie, dim F = dim E – dim F Des sev propres d’un endomorphisme symétrique, associés à des valeurs propres distinctes sont deux à deux orthogonaux Cas des projections orthogonales Une projection orthogonale sur un sev F de E est une projection sur F parallèlement à F Théorème de Pythagore u v Généralisation Si u1,...,un sont deux à deux orthogonaux alors Projections orthogonales Définition p est une projection orthogonale ssi p est la projection sur un sev F parallèlement à F Caractérisation à partir de l’image et du noyau Caractérisation par orthogonalité de vecteurs Une projection p est une projection orthogonale ssi Ker p = Im p Une projection p est une projection orthogonale sur F ssi u E, p(u) F et u-p(u) F Expression du projeté orthogonal d’un vecteur u sur un ev F muni d’une base orthonormée Si F est muni d’une b.o.n. ( e1,...,en) et si p est la projection orthogonale sur F alors u E , p(u) = Lien entre la projection orthogonale p sur F et la projection orthogonale q sur F⊥ Si p est la projection orthogonale sur F et q la projection orthogonale sur F alors p = q = idE Caractérisation par minimisation de la norme Soit u E , F un sev de E. orthogonale sur F. min { Lorsque x parcourt F, les normes Distance d’un vecteur u à un sev F la distance et u à F est la norme F} = où p est la projection , atteignent leur minimum pour x = p(u) où p est la projection orthogonale sur F. Bases orthonormées dans un espace euclidien Définition d’un espace euclidien Définition d’une base orthonormée Existence de bases orthonormées Construction de bases orthonormées Un espace euclidien est un ℝ-ev de dimension finie et muni d’un produit scalaire. Une base orthonormée d’un espace euclidien de dimension n est une famille de n vecteurs unitaires de E et deux à deux orthogonaux. Tout espace euclidien admet une base orthonormée. Le procédé de Schmidt permet de construire une b.o.n. (u1,...,un) à partir d’une base (e1,...,en) de E en respectant pour tout k ⟦1, n ⟧ : Vect[ e1,...,ek] = Vect[ u1,...,uk ] Coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée Les coordonnées d’un vecteur u dans une b.o.n. (e1,...,en) sont xi = < u , ei > Ainsi u = Théorème de la base orthonormée incomplète Construction d’un vecteur unitaire à partir d’un vecteur u non nul Toute famille de vecteurs unitaires deux à deux orthogonaux peut être complétée en une base orthonormée de E. Matrice de passage d’une base orthonormée à une autre Si u OE alors u est unitaire La matrice de passage P d’une b.o.n. à une b.o.n. vérifie P-1 = t P Problèmes de minimisation A partir d’une projection orthogonale Problème des moindres carrés Ajustement affine d’une série statistique double, droite de régression linéaire de y en x Soit u E , F un sev de E. min { F} = où p est la projection orthogonale sur F. Lorsque x parcourt F, les normes , atteignent leur minimum pour x = p(u) Il est lié à la norme de matrices et donne la meilleure solution approchée de AX=B. Soit A Mn,p (ℝ) telle que rg A = p ( = nombre des colonnes de A ), soit une matrice colonne B Mn,1(ℝ). Il existe une unique matrice colonne X Mp,1(ℝ) telle que soit minimale. Cette matrice est solution de tA A X = tA B. Etant donnée une série statistique double : ( x1 , y1) , ... , (xn, yn). Il existe une droite y = (x)= ax+b qui minimise la somme C’est la droite de régression linéaire de y en x par la méthode des moindres carrés. Son équation est : y = (x) = Droite de régression linéaire de x en y par la méthode des moindres carrés. C’est la droite x = (y)= ay+b qui minimise la somme . Son équation est : x= Endomorphismes symétriques Définition Caractérisation par sa matrice dans une base orthonormée Un endomorphisme d’un espace euclidien E est symétrique ssi u,v E , < (u) , v > = < u , (v) > Un endomorphisme d’un espace euclidien E est symétrique si et seulement si sa matrice dans une base ORTHORMÉE est symétrique . Attention, il faut que la base soit une b.o.n. Valeurs propres Sev propres Un endomorphisme symétrique a toutes ses valeurs propres réelles Réduction et base de vecteurs propres Lien avec les formes quadratiques Tout endomorphisme symétrique de E est diagonalisable et il existe une b.o.n. de E formée de vecteurs propres de . Matrices réelles symétriques Définition Valeurs propres Réduction Décomposition à l’aide d’une base orthonormée de vecteurs propres Formes quadratiques Définition Matrice symétrique associée à une forme quadratique Endomorphisme symétrique associé à une forme quadratique Forme bilinéaire symétrique associée à une forme quadratique Signe d’une forme quadratique à partir de valeurs propres Décomposition en combinaison linéaire de carrés (2 méthodes) Exemple Les sev propres d’un endomorphisme symétrique de E sont deux à deux orthogonaux et leur somme est directe, égale à E. Si est un endomorphisme symétrique de ℝn alors l’application ℝn ℝ , u < (u) , u > est une forme quadratique sur E Une matrice carrée M est symétrique ssi tM = M Les valeurs propres d’une matrice symétrique à coefficients réels sont toutes réelles Toute matrice symétrique à coefficients réels est ℝ-diagonalisable. Toute matrice A réelle symétrique s’écrit A = P D tP où D est une matrice diagonale formée des valeurs propres de A, P est une matrice orthogonale, matrice de passage de la base canonique ( b.o.n.) à une b.o.n. de vecteurs propres de A. Si ( Xi)1 ≤ i ≤ n est une b.o.n. de vecteurs colonnes propres d’une matrice réelle symétrique A telle que 1 soit la valeur propre associée à Xi alors : A= Une forme quadratique sur ℝn est un polynôme de ℝn dans ℝ homogène de degré 2. q(x1,...,xn) = où ai j ℝ. Soit q une forme quadratique sur ℝn. La matrice de q est la matrice M symétrique de Mn(ℝ) telle que : q(X) = tX M X. Ses termes diagonaux sont les coefficients ai i de xi². Ses autres termes de ligne i et de colonne j sont ai j où ai j est le coefficient de xi xj dans q(x) Si q est une forme quadratique, on appelle endomorphisme symétrique associé à q l’endomorphisme de ℝn tel que q(x) = < (x) , x >. est l’endomorphisme de ℝn canoniquement associé à la matrice M (symétrique ) de q. La forme bilinéaire symétrique associée à une forme quadratique q de ℝn est : ℝn X ℝn ℝ , ( X , Y ) f(X,Y) = tX M Y où M est la matrice de q et X,Y les matrices colonnes canoniquement associées aux vecteurs de ℝn. Si q(x) = alors f(x,y) = où bi i = ai i et bi j = si i j Par conséquent : q(x) = f(x,x) Soit q une forme quadratique de matrice M. q est positive ( x ℝn, q(x) 0 ) ssi toutes les valeurs propres de M sont positives. q est strictement positive ( x OIRn , q(x) > 0) ssi toutes les valeurs propres de M sont dans ℝ+* q est négative ( x ℝn, q(x) ≤ 0 ) ssi toutes les valeurs propres de M sont négatives. q est strictement négative ( x OIRn , q(x) < 0) ssi toutes les valeurs propres de M sont dans ℝ-* q(x) se décompose en combinaison linéaire de termes du type (ai xi + ... + akxk)² - 1ère méthode : on regroupe les termes comprenant une même variable xk et s’il y a xk² on reconnaît le début d’un carré. S’il n’y a pas de carré , on regroupe les termes comprenant deux même variable et utilise (a-b)(a+b) - 2ème méthode : Si ( e1 , ... , en) est une b.o.n. de vecteurs propres de la matrice symétrique de q associés respectivement aux valeurs propres 1 , ... , n, alors q(x) = où x = . q(x,y,z,t) = 2xy – yz + xz + xt + 2yt - zt on prend le terme en xy et on regroupe tous les termes contenant x et tous ceux contenant y : q(x,y,z,t) = 2xy + x ( z+t) + y (-z+2t) - zt On reconnaît dans l’encadré le début de (a+b) (a-b) : 2 (x + )(y+ avec a = (x + )– )+(y+ = 2 ( a+b) (a-b) - – et b = (x + )-(y+ )....