V3 Le Raisonnement par l’absurde: Le but est de démontrer que le prédicat A est un théorème. Définition: Le raisonnement par l’absurde consiste à introduire le prédicat A tel que A ⇒ B où B est un théorème connu. En effet, par contraposition: A⇒B ⇔ B⇒A 48 Remarque: Le théorème B est à découvrir de manière intuitive. Exemples: • Soit pour x ∈ R, A(x) : x 2 + 1 ≠ 0 Démontrons par l’absurde que A(x) est un théorème. ∃x ∈ R tq A(x) ⇒ ..... ⇒ ...... ⇒B où B: "-1 n'a pas de racine réelle" 49 •Montrer que ∀x ∈ R \ {− 2}, x +1 ≠1 x+2 •Exercice des tiroirs Démontrer par l’absurde que si vous rangez (n + 1) paires de chaussettes dans n tiroirs distincts, alors il y a au moins un tiroir contenant 2 paires de chaussettes. 50 CHAPITRE 2 LES ENSEMBLES 51 I ENSEMBLE, APPARTENANCE La notion d’ensemble est une notion intuitive, cependant voici quelques règles concernant les ensembles. 52 Règles sur les ensembles Un ensemble E est une collection d’objets, appelés éléments de E. Cette collection vérifiera deux propositions: « a ∈ E » ou « a appartient à E » est une proposition, pour tout objet a. On ne peut écrire a ∈ a ou E ∈ E , un même être mathématique ne peut être à la fois élément et ensemble auquel il appartient. Un ensemble peut cependant être élément d’un autre ensemble! 53 Exemples d’ensemble: Nous connaissons déjà: L’ensemble des entiers naturels N L’ensemble des entiers relatifs Z L’ensemble des décimaux D L’ensemble des nombres rationnels Q L’ensemble des nombres réels R L’ensemble des nombres complexes C 54 Les ensembles usuels de variables Alphabet : de alpha et bêta les deux premières lettres de l’alphabet grec. L’alphabet latin en minuscules : a b c d etc. L’alphabet latin en majuscules : A B C D etc. L’alphabet grec en minuscules : α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ µνξοπρςστυφχψω L’alphabet grec en majuscules :Α Β Γ ∆ Ε Ζ Η Θ Ι Κ ΛΜΝΞΟΠΡΣΤΥΦΧΨΩ Les plus utilisés 55 D’autres exemples d’ensemble: E = {1, 2, 3} ensemble défini en extension E = {n ∈ N t.q 1≤ n≤ 3 } E est le même ensemble défini en compréhension à l’aide d’un prédicat défini sur N, 1≤ n≤ 3 . 56 Définition : Egalité d’ensembles Deux ensembles E et F sont égaux s’ ils sont constitués des mêmes éléments. Pour tout objet a a∈ E⇔ a∈F est vraie 57 Définition: Ensemble fini, ensemble vide 1. Un ensemble fini est un ensemble qui possède un nombre fini d’éléments. On peut dire aussi qu’il est en bijection avec {1,2,….,n} où n est un entier naturel. Exemple d’ensemble fini: L’ensemble des lettres de « logique » Exemples d’ensemble infini: N, Z, Q, R, C , [0 ,2[ , l’ensemble des points d’un cercle. 2. L’ensemble qui ne possède aucun élément est l’ensemble vide noté φ = x ∈ E t.q P(x) Où P est un théorème défini sur E, E ensemble donné. ou φ = x ∈ R tel que x 2 < 0 ou encore φ = {x x est une consonne du mot oui} { { } } 58 II ENSEMBLE DES PARTIES D’UN ENSEMBLE II1. Inclusion: Soient E et F, 2 ensembles donnés, F est un sousensemble de E si: tout élément de F est élément de E notation : F ⊂ E De plus: F ⊂ E ⇔ {pour tout objet x, x ∈ F ⇒ x ∈ E} 59 Remarques: 1.Lorsque F ⊂ E et F ≠ E l’inclusion est stricte et F ⊆ E 2. F ⊂ E signifie l’inclusion « au sens large » et peut donc signifier F = E 3. Un sous-ensemble de E est aussi appelé une partie de E Une partie non vide et distincte de E est appelée partie propre de E 60 EXERCICES (travail personnel à rendre suivant les indications données en cours) Utiliser l’algèbre des propositions pour démontrer les résultats suivants: 1.L’ensemble vide est inclus dans tout ensemble 2.E = F ⇔ E ⊂ F ∧ F ⊂ E 3. E ⊂ E 4. E ⊂ F ∧ F ⊂ G ⇒ E ⊂ G 61