Chapitre 5 Moment cinétique Potentiel central - Spin Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 1 Moment cinétique Potentiel Central - spin Introduction 1. Potentiel Central 2. Spin Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 2 Introduction Résolution de l’équation de Schrödinger simple pour les pbs 1D Pour les pbs 3D, résolution complexe (numérique) sauf si l’Hamiltonien possède des symétries Changement de variables J séparation des variables Cas particulier important : le potentiel central r r r z V ne dépend que d’une distance r et non de la direction de qq' z cas de l’interaction électrostatique de Coulomb : V(r ) = r z situation physique : électron dans l’atome z choix des coordonnées sphériques comme en Mécanique Classique, le Moment Cinétique est une constante du mouvement z On va chercher les solutions de H parmi celles du Moment Cinétique Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 3 Introduction Un ingrédient supplémentaire : le spin z Le moment cinétique orbital est un cas particulier de moment cinétique important dans les problèmes de potentiel central J structure électronique atomique z Mais ψ(r,θ,ϕ) insuffisante pour décrire la structure électronique atomique introduction de moments cinétiques intrinsèques ou spins généralisation de la notion de moment cinétique Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 4 1. Potentiel Central 1.1. Expression de H en fonction du Moment Cinétique z 1.1.1. Expression de H en coordonnées sphériques z 1.1.2. Moment cinétique orbital a. Rappels de Mécanique Classique b. Moment cinétique en Mécanique Quantique 1.2. Séparation des variables radiale et angulaire 1.3. Solutions de l’équation angulaire – Harmoniques sphériques 1.3.1. Introduction – Relations de commutation z 1.3.2. Solutions de Lz z 1.3.3. Valeurs propres de L2 z 1.3.4 Harmoniques sphériques z 1.3.5. Orbitales z Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 5 1.1.1. Expression de H en coordonnées sphériques r h2 h2 ∆ + V( r ) = − ∆ + V(r ) Problème à potentiel central : H = − 2m 2m Symétrie sphérique J coordonnées sphériques z r er M θ r eϕ r eθ x = r sinθ cosϕ y = r sinθ sinϕ Z = r cosθ r r O 0≤θ≤π y 0 ≤ ϕ ≤ 2π ϕ x Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 6 1.1.1. Expression de H en coordonnées sphériques En cartésiennes, à 3D h2 h2 ∂ 2 ∂2 ∂2 H= − ( + + )+ V ∆+V=− 2m 2m ∂x 2 ∂y2 ∂z 2 En effectuant le changement de variables (x,y,z) J (r,θ,ϕ) 1 1 ∂ 1 ∂2 1 ∂2 ∂ (r.) + 2 (sinθ ) + ∆= r ∂r 2 ∂θ sin2 θ ∂ϕ2 r sinθ ∂θ 1 ∂ 2 ∂ 1 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ou ∆ = 2 (r )+ (sinθ ) + ∂r 43 ∂r r 2 sinθ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ2 r142 1444444 424444444 3 ∆r ∆ angulaire soit l’équation de Schrödinger h2 − ( ∆ r + ∆ angulaire )ψ(r , θ, ϕ) + V (r )ψ(r , θ, ϕ) = Eψ(r , θ, ϕ) 2m Introduction du Moment cinétique séparation des variables radiale et angulaire du Laplacien et donc de l’Hamiltonien Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 7 1.1.2. Moment cinétique orbital a) Rappels de Mécanique Classique r r r M cl = r ∧ p et théorème du moment cinétique : r dM cl = ∑ Moments des forces extérieure s appliquées au système dt r r r dMcl = 0 soit Mcl constante du mouvement pour : dt z z un système isolé (pas de forces extérieures) r r r dV r un champ de force central : F = −grad(V(r )) = − dr r La trajectoire de la r particule se situe dans un plan passant par O et perpendiculaire à Mcl M2cl 1 2 + V(r ) Energie totale pour une particule de masse m : E = mvr + 2 2mr 2 Pb : changement équivalent en Mécanique Quantique? Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 8 1.1.2. Moment cinétique orbital b) Moment cinétique en Mécanique quantique Définition z z On définit l’opérateur moment cinétique par analogie avec la MC par : r r r r r r r r M = R ∧ P = R ∧ (−ih∇) = h(−iR ∧ ∇) = hL r Expression des composantes de L en cartésiennes yd − z d d x dy L x dx dz r r r L = −i R ∧ ∇ = −i y ∧ d = −i z d − x d = L y dz dy dx z d x d dy − y d dx L z dz en sphériques d 0 r dr Ler i r r r d = L L = −i R ∧ ∇ = −i 0 ∧ 1r d dθ = e sinθ dϕ θ d 0 1 d Leϕ i − θ ϕ r sin d dθ Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 9 1.1.2. Moment cinétique orbital cartésiennes exprimées en sphériques r r rr rr L x = x.L ; L y = y.L ; L z = z.L avec expression s en sphériques sinθ cosϕ r x = cosθ cosϕ - sinϕ sinϑ sinϕ r y = cosϑ sinϕ cosϕ cosθ r z = - sinθ 0 L x = i cotgθ cosϕ ∂ ∂ϕ + i sinϕ ∂ ∂θ L y = i cotgθ sinϕ ∂ ∂ϕ − i cosϕ ∂ ∂θ L z = −i ∂ ∂ϕ On note la forme très simple de Lz Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 10 1.1.2. Moment cinétique orbital r L est un opérateur linéaire hermitique ∂ z Opérateur linéaire car ∂x i est un opérateur linéaire z Opérateur hermitique ∀ ψ et ϕ , ψ L x ϕ = L x ψ ϕ r Idem pour Ly et Lz J L est hermitique r2 r r le carré scalaire L = L .L est hermitique r r2 z Lx, Ly, Lz, L et L sont des observables Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 11 1.1.2. Moment cinétique orbital Carré scalaire z Par analogie avec la MC on calcule r2 r r r r r r L = L .L = ( ∑ x i .L i )( ∑ x j .L j ) = ( ∑ e i .L i )( ∑ e j .L j ) j j 1i 4 4 42 4 44 3 1i 4 4 42 4 44 3 en cartésienn es en sphériques Les vecteurs de base sont invariants par rapport aux variables en cartésiennes mais pas en sphériques L2 = L2x + L2y + L2z dans le repère cartésien z (L x , L y , L z peuvent être exprimées en sphériques ) r r L2 = ∑ L2i + ∑ e i (L ie j )L j dans le repère sphérique i i, j z Après calcul : z L’équation de Schrödinger devient alors r2 L2 2 L = −r ∆ angulaire soit ∆ = ∆ r - 2 r r h2 1 ∂ 2 L2 − r 2 (rψ (r , θ, ϕ )) − 2 ψ (r , θ, ϕ ) + V (r )ψ (r , θ, ϕ ) = Eψ (r , θ, ϕ ) 2m ∂r r Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 12 1.2. Séparation des variables radiale et angulaire r2 L n’agitrque sur les variables θ et ϕ 2 L commute avec tout opérateur radial (qui ne dépend que de r) r2 r2 L commute avec ∆r et V(r) J L commute avec H r2 H et L sont 2 opérateurs hermitiques qui commutent Ils admettent un système de vecteurs propres communs Solution de H en 2 étapes r2 r2 z on résout l’équation aux valeurs propres de L : L ψ(r,θ,ϕ) = λ ψ(r,θ,ϕ) (1) r2 z on cherche les solutions de L qui vérifient l’équation de Schrödinger : H ψ(r,θ,ϕ) = E ψ(r,θ,ϕ) (2) r2 z comme L n’agit que sur les variables θ et ϕ, les solutions de (1) sont de la forme ψ(r,θ,ϕ) = R(r) Y(θ,ϕ) Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 13 1.2. Séparation des variables radiale et angulaire D’où les 2 équations à résoudre r2 L Y(θ,ϕ) = λ Y (θ,ϕ) : équation angulaire λ h2 1 ∂ 2 ( rR ( r )) R ( r ) − − + V(r )R(r ) = E R(r ) : équation radiale 2m r ∂r 2 r2 La forme particulière du potentiel n’intervient que dans l’équation radiale l’équation angulaire est la même pour tous les problèmes de potentiel central la partie angulaire de la fonction d’onde est la même pour tous les problèmes de potentiel central, seule la partie radiale change Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 14 1. Potentiel Central 1.1. Expression de H en fonction du Moment Cinétique z 1.1.1. Expression de H en coordonnées sphériques z 1.1.2. Moment cinétique orbital a. Rappels de Mécanique Classique b. Moment cinétique en Mécanique Quantique 1.2. Séparation des variables radiale et angulaire 1.3. Solutions de l’équation angulaire – Harmoniques sphériques 1.3.1. Introduction – Relations de commutation z 1.3.2. Solutions de Lz z 1.3.3. Valeurs propres de L2 z 1.3.4 Harmoniques sphériques z 1.3.5. Orbitales z Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 15 1.3.1. Introduction – Relations de commutation On ne sait pas trouver directement les solutions de l’équation angulaire r2 on cherche des observables qui commutent avec L pour lesquelles on sait résoudre l’équation aux valeurs propres r2 on en déduira les vecteurs propres de L Relations de commutation z entre composantes [Lx, Ly] = i Lz ; [Ly, Lz] = i Lx ; [Lz, Lx] = i Ly z entre les composantes et le carré scalaire r r r L2 , L x = L2 , L y = L2 , L z = 0 [ ] [ ] [ Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin ] 16 1.3.2. Solutions de Lz r2 L commute avec Lx, Ly et Lz r2 L et Lx ont un r2 système rde vecteurs propres communs 2 Idem pour L et Ly et L et Lz r Mais pas de système de vecteurs propres communs à L2, Lx, Ly et Lz car les composantes ne commutent pas entre elles Lz a l’expression la plus simple en coordonnées sphériques On cherche donc les fonctions Y(θ, ϕ) telles que : r on cherche les vecteurs propres communs à L2 et Lz choix indifférent car problème à symétrie sphérique r2 L Y(θ, ϕ) = λ Y(θ, ϕ) et L z Y(θ, ϕ) = m Y(θ, ϕ) ∂ → Y(θ, ϕ) = P(θ)eimϕ ∂ϕ quand ϕ → ϕ + 2π solution inchangée → m ∈ Ζ L z = −i Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 17 r2 1.3.3. Valeurs propres de L r2 L Les valeurs propres de sont positives ou nulles v2 v2 v2 ∀ ψ ∈ E et ψ L ψ = λ ψ ψ si ψ ket proprede L z ψ L ψ ≥0 λ≥0 z On pose : λ = l (l+1) avec l ≥ 0 λ changement de variable univoque pour un λ ≥ 0, un seul l ≥ 0 0 l z On note Yl,mr(θ,ϕ) et on appelle harmoniques sphériques les fonctions propres de L2 et Lz telles que r2 L Ylm (θ, ϕ ) = l(l + 1) Ylm (θ, ϕ ) et L z Ylm (θ, ϕ ) = m Ylm (θ, ϕ ) Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 18 1.3.4. Harmoniques sphériques Opérateurs L+, Lz r2 Dans la résolution de l’équation aux valeurs propres de L (équation angulaire), il est intéressant de remplacer les composantes Lx et Ly par les combinaisons ∂ ∂ + )eiϕ ∂ϕ ∂θ ∂ ∂ L− = Lx − iLy = (i cot gθ − )e−iϕ ∂ϕ ∂θ L+ = Lx + iLy = (i cot gθ z z L+ et L- ne sont pas hermitiques mais adjoints l’un de l’autre Soit : r L2 = 12 (L +L − + L −L + ) + L2z Relations de commutation [ ] r2 L , L± = 0 ; Soit [L+ ,L− ] = 2Lz ; [Lz , L± ] = ±L± r2 L = L + L − − L z + L2z r2 L = L − L + + L z + L2z Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 19 1.3.4. Harmoniques sphériques Propriétés de m et l r2 z Soit Ylm(θ,ϕ) fonction propre de L pour la valeur propre l(l+1) et de Lz pour la valeur propre m z On montre que : [L z , L + ] Yl,m = L + Yl,m et [Lr , L ] Y 2 + l,m = 0 → L + Yl,m = cte Yl,m + 1 L+ est un opérateur de création pour la valeur propre m de Lz [Lz , L− ] Yl,m = −L− Yl,m et [Lr , L ] Y 2 − l,m =0 → L− Yl,m = cte Yl,m−1 L- est un opérateur de destruction pour la valeur propre m de Lz 2 2 L+ Yl,m (θ, ϕ) ≥ 0 et L− Yl,m (θ, ϕ) ≥ 0 → − l ≤ m ≤ + l mmin = -l et mmax = +l J l est entier car m est entier à l fixé, il existe (2l+1) valeurs de m Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 20 1.3.4. Harmoniques sphériques Expression des solutions z z imϕ J P (θ) ? Yl,m(θ,ϕ) = Pl,m(θ) eimϕ l,m L+ Yl,mmax = L+ Yl,l = 0 → Pl,l (θ) = cte (sinθ)l → Yl,l (θ, ϕ) = cte (sinθ)l eilϕ L− Yl,mmin = L− Yl,−l = 0 → Pl,-l (θ) = cte (sinθ)l → Yl,-l (θ, ϕ) = cte (sinθ)l e−ilϕ Les Yl,m pour –l < m < +l sont obtenues par action de L- sur Yl,l ou de L+ sur Yl,-l z z Notation l = 0 J m = 0 : état « s » Y0,0 (θ, ϕ) = 1 4π l = 1 J m = -1, 0, +1 : états « p » Y1,1(θ, ϕ) = 3 3 3 sin θ eiϕ ; Y1,−1(θ, ϕ) = sin θ e-iϕ ; Y1,0 (θ, ϕ) = cos θ 8π 8π 4π l = 2 J m = -2, -1, 0, +1, +2 : états « d » l = 3 : états « f » Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 21 1.3.4. Harmoniques sphériques Orthonormalisation des harmoniques sphériques Les harmoniques sphériques Yl,m(θr,ϕ) sont orthogonales 2 à 2 car elles sont fonctions propres des observables L2 et Lz pour des valeurs propres différentes z z Pour qu’elles soient normées, L + Yl,m = l(l + 1) − m(m + 1) Yl,m+1 L − Yl,m = l(l + 1) − m(m − 1) Yl,m−1 Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 22 1.3.5. Orbitales L’orbitale s Symétrie sphérique Les 3 orbitales p Symétrie axiale Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 23 2. Spin Introduction 2.1. Atome H dans un champ magnétique – Modèle classique 2.2. Résultats expérimentaux – définition du spin de l’électron 2.3. Généralisation de la notion de moment cinétique en Mécanique Quantique 2.4. Expérience de Stern et gerlach 2.5. Magnétorésistance géante Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 24 Introduction L’équation de Schrödinger avec les seules variables d’espace ne permet pas de décrire la structure électronique des atomes complexes corrections relativistes hypothèse du spin de l’électron Pourquoi? Expériences sur les atomes complexes dans un champ magnétique (expérience de Stern et Gerlach, effet Zeeman) Introduction du spin Dans ce qui suit : prévisions sur atome dans un champ magnétique sans spin z confrontation aux résultats expérimentaux z hypothèse du spin z Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 25 2.1. Atome H dans un champ magnétique – modèle sans spin On considère un atome d’hydrogène d’Hamiltonien H0 à symétrie sphérique z on suppose connues les énergies et fonctions propres de H0 0 (r , θ, ϕ) = Rnl (r )Yl,m (θ, ϕ) telles que ψnlm r2 L Yl,m (θ, ϕ) = l(l + 1)Yl,m (θ, ϕ) équations angulaires L z Yl,m (θ, ϕ) = mYl,m (θ, ϕ) l(l + 1) h2 1 ∂ 2 0 R ( rR ) − nl nl + V (r )Rnl = EnlR nl (n : nombre quantique prinipal) 2 2 2m r ∂r r 0 il existe (2l + 1) valeurs de m pour une valeur de l et donc de Enl r z on plonge cet atome dans un champ magnétique B nouvel Hamiltonien H comportant un terme r supplémentaire d’interaction r du moment magnétique µ de l’atome dans B Vint r r = −µ.B soit H = H0 + Vint Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 26 2.1. Atome H dans un champ magnétique – modèle sans spin Moment magnétique de l’atome – modèle classique z en EM, une spire de surface S parcourue par un courant i possède un moment magnétique r r µ = iS z Analogie classique avec un électron sur une orbite de rayon r Moment cinétique : r r r r r r r r M = r ∧ p = m r ∧ v = mrv u ( r orthogonal à v) r M r u r v er r r r 2r µ = i S = i π r u Moment magnétique : Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 27 2.1. Atome H dans un champ magnétique – modèle sans spin Or i = dq ev =− dt 2πr pour un atome : avec µB = z donc e r eh r r M= − L µ=2m 2m r r µ = −µBL r eh (SI) : magnéton de Bohr et L : moment cinétique orbital total 2m Hamiltonien H : r r r H = H0 + µ BB.L = H0 + µ BBL z (B suivant Oz) Solutions de H [H0, Lz] = 0 J [H, H0] = 0 J H et H0 ont un système de vecteurs propres communs z 0 0 0 0 Hψ nlm (r , θ, ϕ ) = (H0 + µ BBL z )ψ nlm (r , θ, ϕ ) = (E nl + mµ BB)ψ nlm (r , θ, ϕ ) Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 28 2.1. Atome H dans un champ magnétique – modèle sans spin Les fonctions ψ0nlm(r,θ,ϕ) sont fonctions propres de H pour les valeurs propres E0nl + mµBB z Les niveaux E0nl se scindent en (2l+1) sous-niveaux non dégénérés z exemple : l = 1 z m = 1 (dég. : 1) µBB E0nl (dég. : 3) µBB m = 0 (dég. : 1) m = -1 (dég. : 1) effet Zeeman z Conclusions : chaque niveau se sépare en un nombre impair de sous-niveaux l’écart en énergie entre 2 sous-niveaux est µBB le barycentre des sous-niveaux est E0nl Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 29 2.2. Résultats expérimentaux – Définition du spin Résultats expérimentaux z Expérience de Stern et Gerlach ( cf. TD) J nombre de sous-niveaux z Effet Zeeman J nombre de sous-niveaux et écart en énergie z Deux différences importantes % aux prévisions précédentes : pour les atomes à Z impair, nombre pair (et non impair) de sousniveaux (tout se passe comme si l était demi-entier) l’écart en énergie entre 2 sous-niveaux est gµBB et non µBB g : facteur de Landé; g ~ 2 Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 30 2.2. Résultats expérimentaux – Définition du spin Définition du spin z Hypothèse du spin de l’électron (1925) : r chaque électron possède un moment cinétique intrinsèque ou spin S , de grandeur 1/2ħ, auquel est associé un moment magnétique r r µ s = − g s µ B S (g s ≈ 2 ) (µ B > 0 ) z Le spin est un moment cinétique r2 on définit les kets |s,ms> kets propres communs à S et Sz tels que : r2 S s, ms = s(s + 1) s, ms et Sz s, ms = ms s, ms avec s = 12 et ms = ± 12 comme pour l’électron ms = ± 1/2 , on note |s, ms = 1/2> = |+> = |Ç> et |s, ms = -1/2> = |-> = |È> Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 31 2.2. Résultats expérimentaux – Définition du spin Remarques z L’état d’un électron est décrit par une fonction d’onde ψ(r,θ,ϕ) satisfaisant l’équation de Schrödinger à laquelle on joint une fonction de spin |+> ou |-> + ψ(r, θ, ϕ). − z z Les variables de spin et d’espace sont indépendantes les opérateurs de spin n’agissent pas sur les variables d’espace tout opérateur de spin commute avec tout opérateur des variables de position ( [Li, Sj] = 0) r r r Moment cinétique total pour un électron : J = L + S z Le spin est une caractéristique générale des particules microscopiques et peut prendre des valeurs différentes de 1/2ħ z Le spin n’est souvent explicitement mentionné que lorsqu’il conduit à une interaction particulière (par ex. dans un champ magnétique) Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 32 2.3. Moment cinétique généralisé Définition r z Un moment cinétique en Mécanique quantique est un opérateur vectoriel J dont les composantes Jx, Jy, Jz sont des observables et vérifient les relations de commutation [Jx, Jy] = i Jz ; [Jy, Jz] = i Jx ; [Jz, Jx] = i Jy r z Comme pour L , on préfère remplacer Jx et Jy par les combinaisons J+ et JJ+ = Jx + i Jy ; J- = Jx – i Jy Les composantes sont des observables mais pas J+ et J- qui ne sont pas hermitiques mais adjoints l’un de l’autre Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 33 2.3. Moment cinétique généralisé Relations de commutation r z z 2 Le carré scalaire J commute avec chacune des composantes [ ] [ ] [ ] r2 r2 r2 J , Jx = J , Jy = J , Jz = 0 Opérateurs J+, J [Jz, J+] = J+ ; [Jz, J-] = -J- ; r J2 = 1 (J J + J J ) + J2 z − + 2 + − r2 J− J+ = J − Jz (Jz + 1) r2 J+ J− = J − Jz (Jz − 1) [J+, J-] = 2 Jz Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 34 r 2 étique généralisé 2.3. Moment cin J r2 Spectre des solutions de J et Jz r2 z J commute avec chacune des composantes r2 il est possible de trouver un système de vecteurs propres communs à J et à l’une des composantes r2 arbitrairement, on choisit de chercher les vecteurs propres communs à J et Jz aCes vecteurs propres ne seront pas vecteurs propres de Jx et Jy r2 z on cherche donc les kets propres communs à J et Jz |jm> tels que : r2 J |jm> = j(j+1) |jm> et Jz |jm> = m |jm> (j ≥ 0) Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 35 2.3. Moment cinétique généralisé Propriétés de j et m r2 z Soit |j,m> ket propre de J pour la valeur propre j(j+1) et de Jz pour la valeur propre m z On montre que : [ ] r2 [Jz , J+ ] j, m = J+ j, m et J , J+ j, m = 0 → J+ j, m = cte j, m + 1 J+ est un opérateur de création pour la valeur propre m de Jz [Jz , J− ] j, m [ ] r = −J− j, m et J2 , J− j, m = 0 → J− j, m = cte j, m − 1 J- est un opérateur de destruction pour la valeur propre m de Jz J+ j, m 2 ≥ 0 et J− j, m 2 ≥ 0 → - j≤ m≤ + j j est entier ou ½ entier et mmin = -j et mmax = +j D ’ où – – les valeurs de m sont entières si j est entier ou demi-entières si j est demi-entier il existe (2j + 1) valeurs de m à j fixé Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 36 2.3. Moment cinétique généralisé Orthonormalisation des vecteurs propres Les r 2 kets |j,m> sont orthogonaux 2 à 2 car kets propres des observables Jz et J pour des valeurs propres différentes z z soit un ket |j,m> normé J± j, m 2 = ( j( j + 1) − m(m ± 1) Pour que |j,m+1> et |j,m-1> soient normés quand |j,m> l’est, il faut J+ j, m = j( j + 1) − m(m + 1) j, m + 1 J− j, m = j( j + 1) − m(m − 1) j, m − 1 Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 37 r 2 étique généralisé 2.3. Moment cin J Remarque Les énoncés et démonstrations précédents sont très proches de ceux dérivés pour le moment cinétique orbital; la différence essentielle vient des valeurs que peuvent prendre j et m z z dans le cas général : j entier ou demi-entier ≥ 0 m entier ou demi-entier : -j ≤ m ≤ +j z pour le moment cinétique orbital : l entier ≥ 0 m entier : -l ≤ m ≤ +l Le moment cinétique orbital est un cas particulier de moment cinétique z pour le spin de l’électron : s est demi-entier (s=1/2) m est ½ entier : +1/2 ou -1/2 Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 38 2.4. Expérience de Stern et Gerlach Quantification des composantes du Moment cinétique Dispositif expérimental z z z Déviation d’un faisceau d’atomes neutres paramagnétiques (Ag) Atomes chauffés dans un four J sortent par un orifice Collimateur J sélection des atomes ayant leur vitesse suivant (Oy) Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 39 2.4. Expérience de Stern et Gerlach Quantification des composantes du Moment cinétique x Pour simplifier, on suppose que le champ r magnétique B a ses composantes suivant y et r z nulles : B ( Bx, 0, 0) x z Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin Sa composante suivant x varie fortement avec x tel que : ∂B x = Constante ∂x 40 2.4. Expérience de Stern et Gerlach Quantification des composantes du Moment cinétique Calcul classique de la déviation z Énergie d’interaction W r r r r r W = - M.B et M = γ L avec M : moment magnétique r et L : moment cinétique des atomes r r r r r Force : F = - grad W = grad (M.B) x z r r r Moment des forces : Γ = M ∧ B z z r r r dL r Théorème du Moment cinétique : = Γ = γL∧B dt Mx constant My et Mz oscillent autour de 0 r r M tourne autour de B Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 41 2.4. Expérience de Stern et Gerlach Quantification des composantes du Moment cinétique Calcul classique et expérience r r ∂B x z F = Mx grad Bx = γ Lx ∂x La force subie par les atomes et donc la déviation est proportionnelle à Mx ou Lx : mesurer la déviation revient à mesurer Mx ou Lx z Prévision classique Une tache allongée (tirets) correspondant r r à toutes les valeurs de Mx entre − M et + M z Résultats Pas une tache unique mais plusieurs taches (traits pleins : 2 taches sur la figure) Mx et donc Lx ne peuvent prendre que certaines valeurs (quantification des composantes du moment cinétique) Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 42 2.5. La magnétorésistance géante Dessin d'une multicouche composée de couches de fer et de chrome en alternance. Cette multicouche est semblable à celle de la découverte de la magnétorésistance géante en 1988. Chaque couche est constituée de trois plans d'atomes (représentés par des boules) dans un réseau cubique cristallin centré. Les flèches indiquent l'orientation de l'aimantation des couches de fer avant application d'un champ magnétique Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 43 2.5. La magnétorésistance géante (A) Variation de la résistance électrique de multicouches fer/chrome en fonction du champ magnétique appliqué Les schémas en dessous de la courbe représentent la configuration des aimantations de couches de fer successives à diverses valeurs du champ. (B) Illustration du mécanisme de la GMR. Les grandes flèches horizontales représentent les aimantations de deux couches ferromagnétiques successives. Les lignes obliques représentent des trajectoires d'électrons. On suppose que ces derniers se propagent plus facilement à l'intérieur d'une couche quand leur spin est parallèle à l'aimantation. Dans la configuration (a) où les couches ferromagnétiques ont des aimantations parallèles, la moitié des électrons se propagent facilement partout, ce qui se traduit par un effet de court-circuit par un canal de conduction de faible résistance électrique. Dans la configuration (b) d'aimantation « antiparallèle », les électrons des deux directions de spin sont ralentis dans une couche ferromagnétique sur deux, l'effet de court-circuit n'existe plus et la résistance est beaucoup plus élevée. Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 44 2.5. La magnétorésistance géante Dessin schématique d'une tête de lecture de disque dur utilisant la GMR pour une détection ultra-sensible du champ magnétique généré par les inscriptions. Cours de Physique N3-U3 - Ch.5 : Moment cinétique : Potentiel central - spin 45