Limites des fonctions usuelles

LIMITES DES FONCTIONS USUELLES
¦ :  ® +
FONCTION CARRÉE
x a x2
4
lim x 2 = +¥
x ® -¥
3
lim x 2 = +¥
2
x ® +¥
1
0
-2
-1
0
1
2
¦ : ®
FONCTION CUBE
x a x3
8
lim x 3 = –¥
6
x ® -¥
4
2
lim x 3 = +¥
0
-2
-1
-2 0
1
x ® +¥
2
-4
-6
-8
¦: + ® +
x a x
FONCTION RACINE CARRÉE
2
lim
x =0
lim
x = +¥
x® 0 +
1,5
1
x ® +¥
0,5
0
0
1
2
3
4
¦ : * ® *
1
x a
x
FONCTION INVERSE
10
8
lim
1
=0
x
lim -
1
= –¥
x
lim
1
= +¥
x
lim
1
=0
x
6
4
x ® -¥
2
-4
-3
-2
-1
0
-2 0
1
2
3
4
-4
x ®0
-6
-8
-10
x® 0 +
x ® +¥
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FONCTIONS PUISSANCES
¦(x) = xa (a est un entier relatif non nul)
lim xa = +¥ (Exemple : lim x 4 = +¥)
Si a > 0 :
x ® +¥
x ® +¥
lim xa = +¥ si a est un entier pair et lim xa = –¥ si a est un entier impair
x ® -¥
x ® -¥
(Exemples : lim x 4 = +¥ et lim x 5 = –¥)
x ® -¥
Si a < 0 :
x ® -¥
lim xa = 0
(Exemple : lim x–3 = lim
1
= 0)
x3
lim xa = 0
(Exemple : lim x–2 = lim
1
= 0)
x2
x ® +¥
x ® -¥
x ® +¥
x ® -¥
x ® +¥
x ® -¥
FONCTIONS POLYNÔMES
¦ (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 avec an ¹ 0. (Polynôme de degré n)
ì + ¥ si an est positif
lim ¦(x) = lim (anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0) = lim anxn = í
x ® +¥
x ® +¥
x ® +¥
î- ¥ si an est négatif
lim ¦(x) = lim (anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0) = lim anxn = ±¥ suivant les cas.
x ® -¥
x ® -¥
x ® -¥
Exemples :
lim (–5x3 + 3x2 – x + 2) = lim (–5x3) = + ¥ (ici an est négatif et n impair)
x ® -¥
x ® -¥
lim (2x3 + 4x2 + 2) = lim (2x3) = –¥ (ici an est positif et n impair)
x ® -¥
x ® -¥
Une fonction polynôme est équivalente en +¥ (et
en -¥) à son terme de plus haut degré.
FONCTIONS RATIONNELLES
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
(a ¹ 0 et bm ¹ 0)
bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0 n
n
anx
lim ¦(x) = lim
m
x ®±¥
x ®±¥ bmx
¦ (x) =
Exemples :
2 x + 3x - 4
2
lim
x+4
x ® +¥
= lim
x ® +¥
2 x2
= lim 2x = +¥
x ® -¥
x
lim
3x 7
3x 7 + 6 x 6 + 4 x - 5
1
=
lim
=
x ® -¥ 6 x 7
2
6 x 7 - 5x 3 + 2 x 2 - 6x + 3
lim
3x
3x + 2
3
= lim 2 = lim
=0
x ® -¥ x
x ® -¥ x
x - 8x + 5
x ® -¥
x ® -¥
2
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