Limites des fonctions usuelles

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LIMITES DES FONCTIONS USUELLES
FONCTION CARRÉE
0
1
2
3
4
-2 -1 0 1 2
¦ : ®+
x ax2
lim
x®-¥ x2 = +¥
lim
x®+¥ x2 = +¥
FONCTION CUBE
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-2 -1 0 1 2
¦ : ®
x ax3
lim
x®-¥ x3 = –¥
lim
x®+¥ x3 = +¥
FONCTION RACINE CARRÉE
0
0,5
1
1,5
2
01234
¦:+ ®+
x ax
lim
x®+ 0x = 0
lim
x®+¥ x = +¥
FONCTION INVERSE
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
¦ : *®*
x a1
x
lim
x®-¥
1
x = 0
lim
x®- 0
1
x = –¥
lim
x®+ 0
1
x = +¥
lim
x®+¥
1
x = 0

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FONCTIONS PUISSANCES
¦(x) = xa (a est un entier relatif non nul)
Si a > 0 : lim
x®+¥ xa = +¥ (Exemple : lim x®+¥ x4 = +¥)
lim
x®-¥ xa = +¥ si a est un entier pair et lim x®-¥ xa = –¥ si a est un entier impair
(Exemples : lim
x®-¥ x4 = +¥ et lim x®-¥ x5 = –¥)
Si a < 0 : lim
x®+¥ xa = 0 (Exemple : lim x®+¥ x–3 = lim x®+¥
1
3
x = 0)
lim
x®-¥ xa = 0 (Exemple : lim x®-¥ x–2 = lim x®-¥
1
2
x = 0)
FONCTIONS POLYNÔMES
¦ (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 avec an ¹ 0. (Polynôme de degré n)
lim
x®+¥ ¦(x) = lim x®+¥ (anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0) = lim x®+¥ anxn = +¥
-¥
ì
í
î
si est positif
si est négatif
a
an
n
lim
x®-¥ ¦(x) = lim x®-¥ (anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0) = lim x®-¥ anxn = ±¥ suivant les cas.
Exemples :
lim
x®-¥ (–5x3 + 3x2 – x + 2) = lim x®-¥ (–5x3) = + ¥ (ici an est négatif et n impair)
lim
x®-¥ (2x3 + 4x2 + 2) = lim x®-¥ (2x3) = –¥ (ici an est positif et n impair)
FONCTIONS RATIONNELLES
¦ (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0 (an ¹ 0 et bm ¹ 0)
lim
x®±¥ ¦(x) = lim x®±¥
anxn
bmxm
Exemples :
lim
x®+¥
2 3 4
4
2
x x
x
+ -
+ =lim
x®+¥
22 x
x = lim
x®-¥ 2x = +¥
lim
x®-¥
3 6 4 5
6 5 2 6 3
7 6
7 3 2
x x x
x x x x
+ + -
- + - + = lim
x®-¥
3
6
7
7
x
x = 1
2
lim
x®-¥
3 2
8 5
2x
x x
+
- + = lim
x®-¥
3
2
x
x = lim
x®-¥
3
x = 0
Une fonction polynôme est équivalente en +¥ (et
en -¥) à son terme de plus haut degré.