LIMITES DES FONCTIONS USUELLES ¦ : ® + FONCTION CARRÉE x a x2 4 lim x 2 = +¥ x ® -¥ 3 lim x 2 = +¥ 2 x ® +¥ 1 0 -2 -1 0 1 2 ¦ : ® FONCTION CUBE x a x3 8 lim x 3 = –¥ 6 x ® -¥ 4 2 lim x 3 = +¥ 0 -2 -1 -2 0 1 x ® +¥ 2 -4 -6 -8 ¦: + ® + x a x FONCTION RACINE CARRÉE 2 lim x =0 lim x = +¥ x® 0 + 1,5 1 x ® +¥ 0,5 0 0 1 2 3 4 ¦ : * ® * 1 x a x FONCTION INVERSE 10 8 lim 1 =0 x lim - 1 = –¥ x lim 1 = +¥ x lim 1 =0 x 6 4 x ® -¥ 2 -4 -3 -2 -1 0 -2 0 1 2 3 4 -4 x ®0 -6 -8 -10 x® 0 + x ® +¥ Limites des fonctions usuelles Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ FONCTIONS PUISSANCES ¦(x) = xa (a est un entier relatif non nul) lim xa = +¥ (Exemple : lim x 4 = +¥) Si a > 0 : x ® +¥ x ® +¥ lim xa = +¥ si a est un entier pair et lim xa = –¥ si a est un entier impair x ® -¥ x ® -¥ (Exemples : lim x 4 = +¥ et lim x 5 = –¥) x ® -¥ Si a < 0 : x ® -¥ lim xa = 0 (Exemple : lim x–3 = lim 1 = 0) x3 lim xa = 0 (Exemple : lim x–2 = lim 1 = 0) x2 x ® +¥ x ® -¥ x ® +¥ x ® -¥ x ® +¥ x ® -¥ FONCTIONS POLYNÔMES ¦ (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 avec an ¹ 0. (Polynôme de degré n) ì + ¥ si an est positif lim ¦(x) = lim (anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0) = lim anxn = í x ® +¥ x ® +¥ x ® +¥ î- ¥ si an est négatif lim ¦(x) = lim (anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0) = lim anxn = ±¥ suivant les cas. x ® -¥ x ® -¥ x ® -¥ Exemples : lim (–5x3 + 3x2 – x + 2) = lim (–5x3) = + ¥ (ici an est négatif et n impair) x ® -¥ x ® -¥ lim (2x3 + 4x2 + 2) = lim (2x3) = –¥ (ici an est positif et n impair) x ® -¥ x ® -¥ Une fonction polynôme est équivalente en +¥ (et en -¥) à son terme de plus haut degré. FONCTIONS RATIONNELLES anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 (a ¹ 0 et bm ¹ 0) bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0 n n anx lim ¦(x) = lim m x ®±¥ x ®±¥ bmx ¦ (x) = Exemples : 2 x + 3x - 4 2 lim x+4 x ® +¥ = lim x ® +¥ 2 x2 = lim 2x = +¥ x ® -¥ x lim 3x 7 3x 7 + 6 x 6 + 4 x - 5 1 = lim = x ® -¥ 6 x 7 2 6 x 7 - 5x 3 + 2 x 2 - 6x + 3 lim 3x 3x + 2 3 = lim 2 = lim =0 x ® -¥ x x ® -¥ x x - 8x + 5 x ® -¥ x ® -¥ 2 Limites des fonctions usuelles Page 2 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/