Étude algébrique Étude topologique Étude du groupe symplectique Astrid Beau et Sandrine Henri sous la direction de Bachir Bekka Université de Rennes 1 13 mai 2008 Étude algébrique Contenu 1 Étude algébrique Définition Forme des matrices symplectiques Génération par les transvections symplectiques Simplicité du groupe PSpn (K) Étude topologique Étude algébrique Contenu 1 Étude algébrique Définition Forme des matrices symplectiques Génération par les transvections symplectiques Simplicité du groupe PSpn (K) 2 Étude topologique Réduction de l’étude Étude de K(K) Connexité et groupes fondamentaux Étude topologique Étude algébrique Étude topologique Première partie Étude algébrique Étude algébrique Soient n un entier pair et m = n/2. Soit K un corps. Étude topologique Étude algébrique Étude topologique Soient n un entier pair et m = n/2. Soit K un corps. Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et f : E × E → E une application bilinéaire alternée non dégénérée. Étude algébrique Étude topologique Soient n un entier pair et m = n/2. Soit K un corps. Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et f : E × E → E une application bilinéaire alternée non dégénérée. Définition (groupe symplectique) On appelle groupe symplectique le groupe Sp(E, f ) = {g ∈ GL(E), f (g(x), g(y)) = f (x, y) ∀x, y ∈ E}. Étude algébrique Étude topologique Soient n un entier pair et m = n/2. Soit K un corps. Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et f : E × E → E une application bilinéaire alternée non dégénérée. Définition (groupe symplectique) On appelle groupe symplectique le groupe Sp(E, f ) = {g ∈ GL(E), f (g(x), g(y)) = f (x, y) ∀x, y ∈ E}. J = 0 Im −Im 0 Étude algébrique Étude topologique Soient n un entier pair et m = n/2. Soit K un corps. Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et f : E × E → E une application bilinéaire alternée non dégénérée. Définition (groupe symplectique) On appelle groupe symplectique le groupe Sp(E, f ) = {g ∈ GL(E), f (g(x), g(y)) = f (x, y) ∀x, y ∈ E}. Il est isomorphe au groupe Spn (K) = {g ∈ GLn (K), tgJ g = J } où J est la matrice J = 0 Im −Im 0 Étude algébrique Étude topologique Forme des matrices symplectiques Les matrices de Spn (K) sont de la forme U V W T où U, V, W, T ∈ Mm (K) vérifient les relations tU W = tW U , tV T = tT V et tU T − tW V = I . m Elles sont de déterminant 1. Étude algébrique Étude topologique Génération par les transvections symplectiques Définition (transvection symplectique) Soit τ : E → E une application linéaire. Soit v ∈ E. On dit que τ est une transvection symplectique de direction v s’il existe c ∈ K tel que pour tout x ∈ E, τ (x) = x + cf (x, v)v. Étude algébrique Étude topologique Génération par les transvections symplectiques Définition (transvection symplectique) Soit τ : E → E une application linéaire. Soit v ∈ E. On dit que τ est une transvection symplectique de direction v s’il existe c ∈ K tel que pour tout x ∈ E, τ (x) = x + cf (x, v)v. Théorème Le groupe Sp(E, f ) est engendré par les transvections symplectiques. Étude algébrique Étude topologique Simplicité du groupe PSpn (K) Définition (Groupe projectif symplectique) On appelle groupe projectif symplectique le groupe quotient PSpn (K) = Spn (K)/Z(Spn (K)), où Z(Spn (K)) désigne le centre de Spn (K). Étude algébrique Étude topologique Simplicité du groupe PSpn (K) Définition (Groupe projectif symplectique) On appelle groupe projectif symplectique le groupe quotient PSpn (K) = Spn (K)/Z(Spn (K)), où Z(Spn (K)) désigne le centre de Spn (K). Remarque : Z(Spn (K)) = {−In , In } Étude algébrique Étude topologique Simplicité du groupe PSpn (K) Définition (Groupe projectif symplectique) On appelle groupe projectif symplectique le groupe quotient PSpn (K) = Spn (K)/Z(Spn (K)), où Z(Spn (K)) désigne le centre de Spn (K). Remarque : Z(Spn (K)) = {−In , In } Théorème Le groupe PSpn (K) est simple, à l’exception de PSp2 (F2 ), PSp2 (F3 ) et PSp4 (F2 ). Étude algébrique Étude topologique Deuxième partie Étude topologique Étude algébrique Réduction de l’étude Soient K(R) = Spn (R) ∩ On et K(C) = Spn (C) ∩ Un . Étude topologique Étude algébrique Réduction de l’étude Soient K(R) = Spn (R) ∩ On et K(C) = Spn (C) ∩ Un . Proposition Spn (K) est homéomorphe à K(K) × Rd . Étude topologique Étude algébrique Étude topologique Réduction de l’étude Soient K(R) = Spn (R) ∩ On et K(C) = Spn (C) ∩ Un . Proposition Spn (K) est homéomorphe à K(K) × Rd . Décomposition polaire : A = Ω × S = Ω × exp(s), Ω orthogonale ou unitaire, S symétrique ou hermitienne définie positive, s symétrique ou hermitienne. Étude algébrique Étude de K(K) Proposition K(R) est isomorphe en tant que groupe topologique à Um . Étude topologique Étude algébrique Étude topologique Étude de K(K) Proposition K(R) est isomorphe en tant que groupe topologique à Um . K(R) → Um U V 7→ U + iV −V U avec tU V = tV U et U tV = V tU , tU U + tV V = Im et U tU + V tV = Im . Étude algébrique Étude topologique Quaternions Définition (quaternions) L’algèbre des quaternions, notée H, est l’ensemble des éléments de la forme {a + bi + cj + dk, a, b, c, d ∈ R}, avec la table de multiplication : × 1 i j k 1 1 i j k i i −1 k −j j j −k −1 i k k j −i −1 L’addition et la multiplication sont alors uniquement définies par les propriétés de R-algèbre. Remarque : les relations i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1 entraı̂nent toutes les autres. Étude algébrique Étude topologique Quaternions Définition (quaternions) L’algèbre des quaternions, notée H, est l’ensemble des éléments de la forme {a + bi + cj + dk, a, b, c, d ∈ R}, avec la table de multiplication : × 1 i j k 1 1 i j k i i −1 k −j j j −k −1 i k k j −i −1 L’addition et la multiplication sont alors uniquement définies par les propriétés de R-algèbre. Remarque : les relations i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1 entraı̂nent toutes les autres. Étude algébrique Quaternions Définition (conjugaison) Soit q = a + bi + cj + dk ∈ H. On appelle conjugué de q le quaternion q̄ = a − bi − cj − dk. Étude topologique Étude algébrique Étude topologique Quaternions Définition (conjugaison) Soit q = a + bi + cj + dk ∈ H. On appelle conjugué de q le quaternion q̄ = a − bi − cj − dk. On vérifie facilement que q q̄ = q̄q = a2 + b2 + c2 + d2 ∈ R∗+ . Cette propriété entraı̂ne que H est une algèbre à division (ou corps non commutatif) : tout q = a + bi + cj + dk ∈ H non nul admet pour 1 inverse a2 +b2 +c 2 +d2 q̄. Étude algébrique Étude topologique Groupe orthogonal quaternionique Définition (groupe orthogonal quaternionique) 0 ) sont deux éléments de Si q = (q1 , . . . , qm ) et q 0 = (q10 , . . . , qm m H , on appelle produit quaternionique de q et q 0 le quaternion m X q, q 0 = ql ql0 . l=1 On appelle groupe orthogonal quaternionique le groupe des endomorphismes C-linéaires de Hm qui conservent le produit quaternionique. On note ce groupe Spm . Étude algébrique Étude topologique Groupe orthogonal quaternionique Définition (groupe orthogonal quaternionique) 0 ) sont deux éléments de Si q = (q1 , . . . , qm ) et q 0 = (q10 , . . . , qm m H , on appelle produit quaternionique de q et q 0 le quaternion m X q, q 0 = ql ql0 . l=1 On appelle groupe orthogonal quaternionique le groupe des endomorphismes C-linéaires de Hm qui conservent le produit quaternionique. On note ce groupe Spm . Proposition K(C) est isomorphe à Spm . Étude algébrique Connexité et groupes fondamentaux Proposition 1 Um est homéomorphe à SUm ×S1 Étude topologique Étude algébrique Étude topologique Connexité et groupes fondamentaux Proposition 1 Um est homéomorphe à SUm ×S1 Um → SUm ×S1 U 7→ diag det1 U , 1, . . . , 1 U, det U diag(ω, 1, . . . , 1)S →7 (S, ω) Étude algébrique Étude topologique Connexité et groupes fondamentaux Proposition 1 Um est homéomorphe à SUm ×S1 , et SUm est connexe et simplement connexe. Étude algébrique Étude topologique Connexité et groupes fondamentaux Proposition 1 2 Um est homéomorphe à SUm ×S1 , et SUm est connexe et simplement connexe. Spm est connexe et simplement connexe. Étude algébrique Étude topologique Connexité et groupes fondamentaux Proposition 1 2 Um est homéomorphe à SUm ×S1 , et SUm est connexe et simplement connexe. Spm est connexe et simplement connexe. Rappel Spn (R) ' K(R) × Rd1 ; K(R) ' Um Spn (C) ' K(C) × Rd2 ; K(C) ' Spm Étude algébrique Étude topologique Connexité et groupes fondamentaux Proposition 1 2 Um est homéomorphe à SUm ×S1 , et SUm est connexe et simplement connexe. Spm est connexe et simplement connexe. Rappel Spn (R) ' K(R) × Rd1 ; K(R) ' Um Spn (C) ' K(C) × Rd2 ; K(C) ' Spm Conclusion Spn (R) est connexe, et son groupe fondamental est Z. Spn (C) est connexe et simplement connexe. Étude algébrique Emil Artin, Algèbre géométrique Gauthier-Villard, 1966 Rached Mneimné, Frédéric Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques Hermann, 1986 Étude topologique