4. Le théorème de dualité Objekttyp: Chapter Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique Band (Jahr): 31 (1985) Heft 1-2: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE PDF erstellt am: 25.05.2017 Nutzungsbedingungen Die ETH-Bibliothek ist Anbieterin der digitalisierten Zeitschriften. Sie besitzt keine Urheberrechte an den Inhalten der Zeitschriften. Die Rechte liegen in der Regel bei den Herausgebern. Die auf der Plattform e-periodica veröffentlichten Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre und Forschung sowie für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und den korrekten Herkunftsbezeichnungen weitergegeben werden. Das Veröffentlichen von Bildern in Print- und Online-Publikationen ist nur mit vorheriger Genehmigung der Rechteinhaber erlaubt. 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X 4.2. f* se' eObK{X) on définit un complexe double {sé ) en posant q = f*\sé q \ les différentielles étant induites par celles {^'W' * Si C/f Jf " respectivement. % En prenant le complexe simple associé de K(X) dans K(Y). on en déduit un foncteur, encore noté , Si e ObK(Y) on peut encore définir un complexe triple de et de se f* en posant iï\ & les différentielles étant induites par celle de de se' et de respec tivement.Le complexe simple associé à ce complexe triple est canoniquement isomorphe au complexe simple associé au complexe double des homomor phismesdu complexe simple associé au complexe double complexe M '. f* {se ') dans le f^\^') D'une façon analogue on définit un complexe double en q tq = )- En prenant le complexe simple associé posant (^ p on en déduit un foncteur, encore noté /î^-, de K(Y) dans K(X). On peut aussi définir le complexe triple fflo<m{sé'\ /}#?'($')) en posant 4.3. lf\^i^')Y f^- Le complexe simple associé à ce complexe triple est canoniquement iso morpheau complexe simple associé au complexe double des homomorphismes du complexe sé 4.4. % Proposition. Démonstration. un isomorphisme dans le complexe simple associé au complexe double // existe un isomorphisme de complexes de faisceaux sur Y Le corollaire 3.11 fournit, pour tout (p, q,r) e Z x Z x Z, de compatibles avec les différentielles. On en déduit un isomorphisme obtient associés on simples complexes En passant aux complexes triples. ' l'isomorphisme X . Rappelons ([Gr], corollaire 3.10) qu'on définit le foncteur étant le foncteur dérivé du foncteur 4.5. /y se' ! comme ? un objet de la catégorie dérivée D (X) et D b (Y). Dans la catégorie D + (Y) 4.6. Théorème. S' un objet de la catégorie dérivée on a un isomorphisme canonique Soit ? / Démonstration. Soit se' e ObD (X) et soit 0 -> R x -? JT' une /j-réso lutiondu faisceau constant i^ x par des faisceaux plats (théorème 1.5). ' ' On a srf' ® R x = est une résolution de donc 0 -* «s/ ' -> js/ ' ® ?si' par des faisceaux /i-mous (proposition 1.4) donc /i-acycliques ([Gr] j/ X lemme 2.10). f\ Comme par hypothèse est de dimension cohomologique finie le foncteur -+ D{Y) existe et est donné par R/i(jaO = (^'); il induit un f* Rf\:D{X) R/i D~{X) -> D~{Y) ([H] chap. I, corollaire 5.3). Maintenant soit 0ê' e ObD b {Y) et soit 0 -» 08' -+ ' injective de 0b On a évidemment foncteur : /' une résolution . donc ([H] chap. I, § 6). (4.6.1) D'un autre côté les faisceaux faisceaux 2teom{sé % /^ ?(</") sont injectifs (corollaire 2.9), donc les /^ ?(/')) f^om\sé % \ f\# ?(/')) sont flasques ([Go] chap. II, lemme 7.3.2 et théorème 3.1.1). On a ainsi ([H], chap. I, prop. 5.4) Donc (4.6.2) \ et Le théorème résulte alors du fait que les membres de droite des égalités (4.6.1) et (4.6.2) sont isomorphes en vertu de la proposition 4.4. i' f\&\ Comme les Appliquons le théorème 4.6 au cas où = et ffl&m sont exacts gauche, en appliquant le foncteur coho mologiqueH°, puis en prenant les sections globales, on obtient un iso morphisme 4.7. f foncteurs L'image de 1/-!^. par cet isomorphisme permet donc de définir une flèche d'adjonction Appendice A: Les modules plats sur un anneau noethérien Soit R un anneau commutatif unitaire et soit E un R-module. On sait le foncteur ? ®£ est toujours exact à droite. On dit alors que E est que module un plat si ce foncteur est aussi exact à gauche. Cette condition est A.l. équivalente au fait que pour tout R-module M et M' et pour tout homo morphismeinjectif u: M' -? M, Fhomomorphisme u<g)l E : M'®E -* M®E est encore injectif ([Bo2], chap. I, § 2, prop. 1). A.2. Soit un idéal de R. L'inclusion a j: a -? R induit un homomorphisme /: a®E -> E obtenu en composant l'homomorphisme j(g>l £ avec l'isomor phismecanonique R®E = E. On a alors le résultat suivant ([Bo2], chap. I, § N° 2, 3, remarque Lemme. Pour que pour tout idéal soit injectif A. 3. Lemme. une famille 1). a Soit de E de R-modules. est un isomorphisme. E R soit un R-module plat il faut et il suffit que, de type fini, Yhomomorphisme j: a(&E -? E un R-module de présentation finie et soit Alors rhomomorphisme canonique {Fi} ieI