Algorithme génétique et développement de Taylor de la

Algorithme g´en´etique et d´eveloppement de Taylor de la
solution ´el´ements finis pour l’optimisation d’un dispositif
´electromagn´etique
L. Saludjian, J. Coulomb, A. Izabelle
To cite this version:
L. Saludjian, J. Coulomb, A. Izabelle. Algorithme g´en´etique et d´eveloppement de Taylor
de la solution ´el´ements finis pour l’optimisation d’un dispositif ´electromagn´etique. Journal
de Physique III, EDP Sciences, 1997, 7 (11), pp.2189-2200. <10.1051/jp3:1997251>.<jpa-
00249710>
HAL Id: jpa-00249710
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00249710
Submitted on 1 Jan 1997
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J. Phys. III £Yance 7[1997) 2189-2200 NOVEMBER1997, PAGE 2189
Algorithme g4n4tique et d4veloppement de Taylor de la solution
414ments finis pour l'optimisation d'un dispositif
41ectromagn4tique (*)
L. Saludjian (~>**), J-L- Coulomb (~) and A. Izabelle (~)
(~) Laboratoire d'fllectrotechnique de Grenoble, INPG/UJF (***), ENSIEG, BP 46,
38402 Saint Martin d'HAres Cedex, France
(~) CEDRAT Recherche, Chemin du prd carrd, ZIRST Meylan, France
(Regu le 20 mars 1997, rdvisd le 22 jwllet 199( acceptd le 12 acfit 1997)
PACS 02 70.-c Computational techniques
Rdsumd. Cet article prdsente l'utilisation d'un algorithme gdndtique pour l'optimisation
d'un dispositif dlectromagn4tique constitud de deux bobines supraconductrices. Pour r6duire 1e
coot de calcul des (valuations trAs important dans le cas d'une mdthode dldments finis une
mdthode rapide, basde sur des ddveloppements de Taylor d'ordres dlevds de la solution dldments
finis, sera employde.
Abstract, This article presents the optimization of an electromagnetic superconducting
device by agenetic algorithm. To avoid great computational cost of finite elements evaluations,
we choose to couple our genetic algorithm with afast evaluation method based on high derivatives
and Taylor developments of the finite element solution.
1. Introduction
Les fondements des algorithmes gAnAtiques (AG) ant AtA Atablis par J-H- Holland iii dans
les anndes 70. Ces algorithmes, bas4s sur l'analogie entre l'optimisation math4matique qui
recherche le meilleur point et les m4canismes de la s41ection naturelle oh les individus les
mieux adapt6s survivent -, se distinguent des autres algorithmes d'optimisation par quelques
caract4ristiques
i) its travaillent sur une population de points de l'espace de recherche et non sur un point
unique.
2) les solutions potentielles sent repr4sent4es par des chaines cod4es. Ce sent ces chaines
(ou individus) qm sent manipu14es par l'algorithme.
3) les rAgles d'exploration de l'espace de recherche sent probabilistes et non pas d4termi-
nistes.
(*) Le contenu de cet article adtd prdsentd hNUMELEC 97
(* *) Auteur auquel doit Atre adressde la correspondance (e-mail Lucas.Saludjian©leg ensieg inpg fr)
(***) CNRS UMR 5529.
@Les #ditions de Physique 1997

2190 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°il
Ces algorithmes possAdent certains avantages par rapport aux inAthodes dassiques d'opti-
misation. Notamment, its ne requiArent comme seule du problAme que la valeur
de la fonction hoptimiser. Its ne n4cessitent done pas la du gradient ce qui est
int4ressant pour des problAmes hparamAtres discrets ou pour fonctions dent le gradient
est diflicilement calculable. L'autre grand intArAt des AG est capacit4 hlocaliser l'opti-
mum global de la fonction en 4vitant les attracteurs locaux ant permis aux
AG d'Atre utilisAs, avec succAs, dons des domaines trAs var14s des et en particulier en
4lectromagnAtisme [2. 3]. Cependant, ces algorithmes n4cessitent un nombre important
d'4valuations de la fonction objectif pour atteindre l'optimum En 4lectromagnAtisme, la
fonction objectif dApend en g#nAral de grandeurs qui ne peuvent Atre calculAes analytique-
ment et qui sent atom fournies par une m@thode numArique, par Ailments finis, trAs
coilteuse en temps de calcul. Pour s'affranchir, en partie, de d'Avaluation trap
pdnalisante pour un algorithme g4ndtique, une approximation la fonction objectif, bas4e
stir des ddveloppements de Taylor d'ordre Alevd, sera employde. cet article nous montre-
rons l'intdrAt d'un tel couplage en validant notre approche sur problAme test de stockage
d'Anergie dans des bobines supraconductrices.
2. Algorithme gdn4tique
Les algonthmes gdnAtiques sent des algorithmes d'optimisation qui s'appuient sur des tech-
niques dArivAes de la gdnAtique et des mdcanismes de la sAlection naturelle. Pour transposer
les processus gdndtiques observds dans l'dvolution des espAces au domaine de l'optimisation,
Holland iii aintroduit deux points fondamentaux
L'dvolution des espAces est un processus qui opAre sur des[ structures appeldes chro-
mosomes. Dans l'algorithme gdndtique, on transformera donc l'espace des solutions du
problAme d'optimisation en un ensemble de chromosomes (ippelds encore chaines ou
individus). Chacune de ces chines est en fait une solution (potentielle du problbme
elle reprdsente sous une forme codde l'ensemble des paramAtres. Par exemple, pour un
problAme de six paramAtres, une chaine sera formde par la c/ncatdnation de six valeurs
rdeiles lies gines): <ziz2z3z4zsx6 >c'est hdire, un vecteur 'que l'on notera x. Ce type
de codage n'est absolument pas une rAgle et it dApend, en gAn$rat, fortement de la nature
du problAme [4].
Dans la nature, l'adaptation d'un indwidu reflAte sa capacitd hsurvivre dans l'environ-
nement qm l'entoure. En optimisation, l'dvaluation de la fonction objectif jouera le role
de l'environnement. Un individu sera donc d'autant mieux adaptA qu'il satisfera bien le
critAre de l'optimisation. C'est cette unique information sur l'dvaluation qui guidera I'AG
vers les individus les plus performants.
Ipartir de ces deux concepts, codage du problAme et mesure de on peut ddcrire
le fonctionnement gdndral des algorithmes gdnAtiques :
L'AG (Fig. i) ddbute par l'initialisation alAatoire d'une P de Nindividus. La
population dvolue ensuite sur plusieurs gdndrations. Achaque t, les individus de
Pit) sent Avaluds et les plus performants vis-h-vis du critAre se allouer un plus grand
nombre de descendants (ou copies) par l'opdrateur de sdlection. Une ouvre possible pour
cet opArateur consiste h calculer, pour chaque individu, une un descendant
dans la gdnAration suivante qui soit proportionnelle hl'adaptation l'indwidu. Puis, en se
basant sur ces probabilitds, on gdnAre, hl'aide d'un tirage au sort une nouvelle
population P'(t), de mAme taille N, formde de copies des individus hse reproduire

N°11 OPTIMISATION "G#NiTIQUE" D'UN SYSTEME ELECTROMAGNETIQUE 2191
Programme Genetique
d4but
t=0
initialiser( P(t) )
tant que condit>on fin fausse faire
4valuer(P(t))
P'(t) <= selection( Pit) j
P(t+I) <= croisement&mutation( P'(t)
t=t+ I
fintq
4valuer( Pit)
fin
Fig. 1. Algorithme gAnAtique simple.
[A simple genetic algorithm
<Xl X2 x3 X4 X5 X6> ~<Xi X2 JSi X4 ~@>
~~ ~ ~ ~~@~ ~~ ~ ~ ~ ~~~~
Fig 2Opdrateur de croisement I-point.
[One-point crossover.)
Pour former la nouvelle population P(t +i), des opdrateurs de croisement et de mutation
sent appliquds sur certains individus sdlectionnds aldatoirement dans P'(t).
Le role des op4rateurs de croisements consiste hrecombiner ou hdchanger des informations
entre deux individus. Un exemple d'un tel opdrateur est prdsentd sur la figure 2it s'agit d'un
croisement pour lequel un point de coupe est choisi aldatoirement entre 2composantes et les
composantes situAes h droite de ce point sent Achangdes entre les deux individus. Les deux
nouvelles chaines sent atom placdes dans P(t +i). L'opdrateur de croisement anthmdtique est
lAgArement diffArent l'Achange d'informations se fait, dans ce cas, au travers d'une moyenne
arithmAtique entre deux cliaines xet y. En pratique un nombre aest gAnArA alAatoirement
dans l'intervalle [0; ii et les deux chaines
ax +Ii a)y et Ii a)x +ay remplacent xet ydans Pit +i).
On peut remarquer que lorsque les deux individus croisAs ant des patrimoines gAnAtiques trAs
diffArents, les opArateurs de croisement permettent l'exploration de nouvelles zones de l'espace
de recherche.
Les opArateurs de mutations n'agissent que sur un seul individu. Its introduisent des varia-
tions dans la chaine en perturbant de maniAre aldatoire une ou plusieurs composantes. Cet
opdrateur permet de relancer l'exploration vers des rAgions de l'espace qui n'ont pas pu Atre
atteintes par le seul effet du croisement. En effet, l'action de l'opdrateur de sdlection, qui pousse
les meilleurs individus hse reproduire trAs frAquemment, va rdduire les chances de recombinai-
son d'individus gdndtiquement diffdrents et done empAcher l'exploration de nouvelles zones.

2192 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°11
Dans notre algorithme gdndtique, nous avons implantA quatre opdrateurs de croisements
(i-point, 2-points, uniforme, arithmdtique) et trois opdrateurs de mutations (uniforme, non
uniforme, gaussienne):
L'opdrateur de croisement 2-points est semblable au croisemelit I-point mais deux points
de coupe sent gAndrds aldatoirement. Le croisement uniforme /change chaque composante
entre les deux individus avec une probabilitd agate h0,5.
La mutation uniforme sdlectionne un gAne kdans la chaine j=< xi, z2;. ,zk;.., zn >
et g4nAre la nouvelle chaine x' =< xi, z2, .., xi,..., zn >oh ~[ est une valeur aldatoire
prise dans l'intervalle [z'f"', zf~). La mutation non uniformi g4nAre aussi une nouvelle
valeur sun le gAne ks41ectionn4 mais ici xi est donn4 par la f(rmule
zk +/h(t, z'f~ zk)
Z~ "OU
~~ ~j~ ~~ ~min)
k
off treprdsente la gdndration courante et /h(t, y) une fonctioil qui retourne un nombre
aldatoire dans [0; y] et dent la probabilitd de renvoyer un nonibre proche de 0augmente
lorsque taugmente. Cette propriAtd de /h permet hl'opdraieur de chercher de faqon
uniforme dans l'espace de solutions dans les premiAres gdndiations puis de faqon plus
"locale" en fin d'exdcution. Nous averts utilisd pour /h la fonction [4j :
~~~' ~~ ~~ ~NB~EN~
oh NBGEN est le nombre maximum de gdndrations run nombre aldatoire
dans l'intervalle [0; ii et bun paramAtre de l'opdrateur qui le degrd de non uni-
formitd.
En plus de ces deux mutations, nous avons implantd un opdrateur locale basd sur
des perturbations de type gaussien. Cet opdrateur peut Atre vu un Hill-Climbing [5j
intdgrd dans l'algorithme gdnAtique. Il agit sur un individu xet perturbe suivant une loi
normale N(x, aId) off Id reprdsente le vecteur Identitd et ardel strictement positif.
BriAvement, on peut ddcrire cet opdrateur pour une comme prdsentd sur la
figure 3.
Cet opdrateur rentre dans la Masse des mutations puisqu'il ne perturbe qu'une seule chaine
Mais il agit comme un algonthme de recherche locale hpart entiAre it tente en effet d'amdliorer
le point courant en effectuant un certain nombre de tirages. Si le noiribre de tirages maximum
est dgal hialors cet opdrateur est dquivalent hune mutation mais de loi gaussienne
plut0t qu'uniforme. Pourquoi utiliser un tel opdrateur ?En fait il hnotre algorithme
gdndtique de gravir le pic, s'il existe, de la r6gion occupde par Intuitivement,
cet opdrateur apporte de l'information quant hla topologie du car il est capable de
gravir des optima dons certaines rdgions de l'espace de recherche. entendu, cet op6rateur
ne devra pas Atre employd avec un poids trAs dlevd on alors de faire converger
les individus vers un optimum local. En revanche en fin s'il est employA avec un
taux important, il permet hl'algorithme gdndtique de se un algorithme de
recherche locale.
Nous ovens affectd hchaque opdrateur des probabilitds dCelles ci permettent de
sAlectionner l'opdrateur devant agir sur les individus issus de la Nous avons choisi
d'adapter ces poids tout au long de l'ex6cution de faqon lindaire. Les valeurs initiates et finales