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LE DESSIN AXOKOHÉTRIOUE
LTSAGÉ DES ETABLISSEMENTS D'EDUCATION INDUSTRIELLE
ET
DES ECOLES « A R T S ET M E T I E R S
PAK
ANT.
PH. LAEGIADÈR
F HOFE S iE LE DE MATHÉMATIQUES ET DB DESSIN TECHN1QUK A L'ÉCOLK
INDUSTRIELLE DE FBAIENFKLD.
PREMIERE PARTIE.
THÉORIE.
TRADUCTION DE D'ALLEMAND AUTORISÉE PAR L'AUTEUR.
^rttuenTHS* 1 c£efje.
B u r e a u d e * P u b l i c a t i o n * (A. Louis)
1858.
L'auteur se réserve la faculté de faire traduire cet ouvrage en
langues étrangères.
Dédié par l'auteur à son ami
Frédéric Crrabergr
dont le zèle scientifique dans le domaine des mathématiques, et
particulièrement dans celui de la géométrie descriptive, a été la
première cause de ce travail.
FsAUBNFBLD, 25. Kovembre 1857.
Reproduktion
Bern : Schweizerische Landesbibliothek, 2004
Reproduction
Berne : Bibliothèque nationale suisse, 2004
Riproduzione
Berna : Biblioteca nazionale svizzera, 2004
PRÉFACE DE L'BDITM ÂLIEMANDE.
Il y a à peu près six mois, Fauteur de cet écrit eut l'occasion de
prendre connaissance des mémoires sur l'axonométrie qui ont paru
dans les volumes II et HT du Civil-ingenitur; plus tard, je lus
aussi les écrits de Mr. le professeur MöLiinger de Soleure, qui
traitent ce sujet Ayant été chargé de renseignement du dessin
technique à l'école industrielle de Frauenfeld, et convaincu d'ailleurs que le dessin axonométrique peut être employé avec avantage, et à ce titre, mérite d'être introduit le plus tôt possible dans
les établissements d'éducation industrielle et dans les écoles d'arts
et métiers, j'étudiai avec plus de soin les ouvrages que je viens de
ûter. Si l'on suppose chez les élèves la connaissance de la trigonométrie et de la géométrie analytique, si en général on se propose de traiter les problèmes axonométriques par la voie du calcul,
je n'hésite pas à donner, parmi toutes les théories que je connais,
la préférence à celle de Mr. le professeur Weissbach de Freiberg,
à cause de sa perfection. Mais, dans les écoles techniques et industrielles, il arrivera souvent, si Ton veut enseigner l'axonométrie,
non pas seulement théoriquement mais aussi pratiquement, qu'il
faudra s'adresser à des élèves ne possédant pas les connaissances
préliminaires nécessaires pour comprendre la théorie de Weissbach.
Cela arriverait encore à un plus haut degré lorsque l'on voudrait s'appuyer sur des théories qui supposent la connaissance
de la trigonométrie sphérique. D'ailleurs je suis fermement con^
vaincu que les problèmes axonométriques sont des problèmes de
géométrie, et qu'il ne faut y appliquer le calcul, que lorsque leur
X
solution par La géométrie, c'est à dire au moyen de construction.«
planîmétriques, n'est pas possible. Pour que l'axonométrie puisse
s'introduire dans les écoles et tomber dans le domaine de la pratique, il faut qu'elle soit fondée sur une théorie élémentaire; cette
dernière considération et la nature même des problèmes axonométriques exigent que cette théorie fondamentale soit purement géométrique et non analytique.
Tels sont les motifs qui, joints à l'exemple stimulant de l'ami
que j'ai nommé, m'ont engagé à entreprendre ce travail, et l'auteur
laisse volontiers aux hommes compétents le soin de déterminer jusqu'à quel point il a atteint son but
Remarquons encore que les théorèmes exposés dans les paragraphes 1 à 5, ont surtout pour but de rendre familière au lecteur
la signification des notations employées dans la suite.
Cette première partie, contenant la théorie du dessin axonométrique, sera suivie dans le courant de Tannée 1858 d'une seconde
partie contenant la pratique du dessin axonométrique exposée d'une
manière analogue.
FRAÜBNFELD, 16 octobre 1857.
ANT. PH LASGIADÈB
PRÉFACE DE L'ÉDITION FRANÇAISE.
La géométrie descriptive donne au géomètre le moyen de dessiner des images parallélo-perspeetives de tout objet de forme déterminée; les moyens servent encore dans les cas où le corps occupe
une position oblique quelconque par rapport aux plans de projection; il est toujours possible, soit directement, soit au moyen de
rotations convenables, opérées sur l'objet ou sur les plans de projection, de construire des vues obliques de l'objet donné. Mais tous
ceux, qui ont eu à dessiner de pareilles vues, fut-ee même pour
des objet» simples et réguliers, savent combien ce travail est pénible et souvent difficile; pour les corps compïïqués, la difficulté
est naturellement encore plus grande. Cependant, dans bien des
cas, il est désirable et même nécessaire d'avoir des vues obliques
des objets, parceque dans les représentations ordinaires, dites droites,
des objets, trop de parties se cachent mutuellement et quf alors le
dessin ne permet pas de se faire une idée assez exacte de l'objet
qu'on a voulu représenter. Qu'on nous permette donc, de faire
connaître un procédé, au moyen duquel, sans nuire à la rigueur
scientifique et à l'exactitude, on peut, sans opérer de rotations, construire des images d'un objet placé dans une position oblique quelconque par rapport aux plans de projection. L'axonométrie procure les moyens d'atteindre complètement ce but On imagine dans
l'espace trois lignes (axes) parallèles à trois dimensions perpendiculaires entre elles du corps qu'on veut dessiner, et ensuite on
détermine la position du plan de projection (tableau) par rapport
à ces axes; on peut donner alors à ce plan toutes les positions
XII
possibles par rapport aux lignes principales de l'objet à représenter.
Les images que l'on obtient ainsi, ont cela de commun avec celles
que fournit la géométrie descriptive, qu'elles sont aussi paralléloperspeetives; elles sont donc propres à faire connaître les vraies
dimensions de l'objet qu'on a voulu représenter; d'un autre côté elles
ont une grande parenté avec celles que fournit la perspective (images
polaires-perspectives), puisqu'on peut donner ici aux rayons visuels
(direction de projection), une direction quelconque et par conséquent
représenter réellement des objets en relief. Souvent une seule vue
en relief d'un objet peut rendre de meilleurs services que deux vues
planes accompagnées de coupes, comment le prouvent suffisamment les travaux des auteurs qui ont fait usage de cette manière
de dessiner. Les dessins axonométriques réunissent, de la manière
la plus heureuse comme nous venons de le dire, les avantages des
dessins en perspective proprement dits et des représentations géométriques. L'auteur de cet ouvrage croit donc pouvoir recommander
ce nouveau procédé de dessin aux géomètres français et aux établissements d'éducation industrielle, il le fait avec d'autant plus de
confiance, que c'est la première fois que ce sujet a été traité,
comme il doit l'être, d'une manière àia fois purement géométrique
et élémentaire.
FBAUENFKLD, janvier 1858.
ANT. FH. LAEGIADÈE.
TABLE DES MATIÈRES.
PBÉFÀCE
Page.
V
IKTEODUCTIOH.
§.
§.
§.
I. Détermination de la position d'un point dams l'espace au
moyen de coordonnées rectangulaires
.
II. Image ou projection ò?un point sur un plan . . .
.
,
ILL Projection d'un point donné par sea coordonnées, sur un plan
dont la position par rapport aux axes coordonnés est connu»
1
4
5
PREMTRKE SECTIOH.
§.
§.
§.
§.
§.
IY. Définition des projections axonométriques. — Problèmes prin-*
cipaux dont la solution est la condition de possibilité d'une
projection axonoraétrique
.
.
.
,
.
.
.
V. Sur la position du tableau ou plan de projection
.
VX Projection du système des axes sur un tableau dont la position est connue
,
.
.
.
.
.
. . .
VIL Recherche de& relations qui ont lieu entre les coordonnées
d'un ou de plusieurs points et leurs projections . . .
Vili. Détermination des rapports de raccourcissement pour les
trois axes
.
.
.
.
.
,
.
7
8
10
14
17
SECONDE SECTIOH.
§.
IX. De l'influence des angles a , /3, y sur une projection axonométrique
X. Valeurs-limites des angles a , # , /
.
.
.
.
.
20
21
XI. Détermination de l'un des trois angles a , (3, y, les deux
autres étant connus
. . .
§. XII. Sur quelques valeurs particulières des angles a , £ et y
23
26
§.
§.
§. X m .
Détermination des angles a , 3 , y de manière que les relations de raccourcissement des trois axes satisfassent à certaines conditions
.
.
.
.
.
.
.
.
.
§. XIV. Sur les valeurs que peuvent prendre m, n et p .
26
30
Vili
Pago.
§. XV. Influence des nombres m, n, p sur les angles (p. i^, ^ que
forment entre elles les projections des axes .
.
§. XVI. Classification des différents genres de projections axonométriques
32
33
APPENDICE.
Détermination des angles a , ß, y, (p, $ et % e n fonction dei» nombres m, n et p au moyen du calcul trigonoœétrique. .
.
34
AXOVOJTETRIE.
INTRODUCTION.
§. L
Détermination de la position, d'un point dans l'espace an moyen de coordonnées
rectangulaires.
Trois plans indéfinis, perpendiculaires respectivement deux à deux,
divisent l'espace entier en 8 parties égales qu'on nomme angles solides. — Les trois lignes d'intersection de ces plans sont perpendiculaires entre elles. — Ces trois plans peuvent servir à fixer la
position d'un point dans l'espace; ils se nomment alors plans coordonnés et leurs intersections deviennent les axes coordonnés; enfin,
le point commun à ces intersections a reçu le nom d'origine des
coordonnées. — Si Ton connaît la position de ces trois plans, on
connaît aussi celle d'un point quelconque du moment que Ton sait
quelles sont les distances de ce point à ces plans, et dans quel sens
il faut les prendre» — Ces distances sont ce qu'on appelle les coordonnées du point
F'*g. 1
_
2
—
Supposons que les plans X Z X ' Z ' , YZ'Y'Z' et X Y X ' Y ' soient
donnée perpendiculaires entre eux; leurs intersections sont X X ' ,
Y Y', ZZ'; à l'avenir,' et pour plus de simplicité, nous emploierons les
désignations suivantes:
X X ' se nommera Taxe des X
YV
Y
ZZ' „
n • . n n Z
le plan YZY'Z' et en particulier la partie YOZ sera le plan des X
le plan XZY'Z' et en particulier la partie XOZ sera le plan des Y
le plan XYX'Y' et en particulier la partie XOY sera le plan des Z.
Considérons par exemple l'angle solide O X Y Z , et étudions comment on peut trouver un point dont on connaît les coordonnées, c'est à
dire les distances aux trois plans de projection, et que, pour plus de
simplicité, nous supposerons situé dans ce même angle solide.
Fig. 2.
Soient x,y,2 les distances respectives dû point P aux plans X, Y,Z;
dans ce cas nous nommerons :
x l'abscisse
\
y rprdonnée en largeur v du point P.
z l'ordonnée en hauteur)
.—
3
—
Le point P pourra se déterminer en menant:
1° OK ^z. X
K ß = y et parallèle à#OY
RP z= z et paralèlle à OZ ou
2° OL = y
LQ = . z et parallèle à OZ
QP = X et parallèle à OX ou
3° OM =s z
MN = X et parallèle à OX
NP = y et parallèle à OY etc.
Dans les 3 cas, le point P est le sommet opposé à l'origine des
coordonnées, d'un parallélipipède rectangle construit sur les 3 lignes
x, y et z qui se réunissent au point 0.
Soit d la diagonale OP de ce parallélipipède, et PK = m,
PL = n, PM . = p: on trouve facilement au moyen du théorème
de Pythagore, les relations suivantes:
d* = x 2 + y« - f z 2
m 2 = y 2 + '**
n2 = x« - j - z 2
p* = x 2 4 - y 2
et par suite, en additionnant membre à membre les 3 dernières
équations:
2d 2 = m2 + n 2 + p 2
Ces simples relations nous serviront dans la suite.
On trouverait exactement de la même manière que le point P,
tout autre point P' dont les coordonnées x', y', z' seraient données. — Réciproquement ^n trouve les coordonnées qui appartiennent à un point, en abaissant de* ce point .sur les plans coordonnés des perpendiculaires qu'on mesure.
Lors qju'on déte^
ses plus
courtes distances à trois plans perpendiculaires entre eux et de position connue, on dit que ce point est rapporté à un système de plans
orthogonal ou rectangulaire. — Souvent aussi on dit qu'il est rapporté à un système d'axes rectangulaire, ce qui signifie simplement
que l'on connait les longueurs x , y , z qu'il faut porter sur les axes
OX, OY, OZ, à partir du point 0, pour obtenir le parallélipipède
rectangulaire dont le sommet P opposé au point 0 sera le point
cherefté. — En parlant d'un corps géométrique, on dit qu'il est
rapporté à des axes ou à des plans rectangulaires, lorsqu'il en est
ainsi pour les points qui fixent sa forme et sa grandeur.
8. II.
Image ou projection d'un point sur un plan.
Lorsqu'on a un plan indéfini E, et hors de ce plan un point P,
on obtient l'image de ce point sur ce plan en faisant passer par le
point uue ligne droite que Ton prolonge jusqu'à ce qu'elle rencontre
<*le plan en un point p par exemple. — Le point p est l'image du point
P, ou comme on le nomme ordinairement, la projection du point P,
de même que le plan E est appelé tableau ou plan de projection.
Fig. 3.
La ligne Pp se nomme ligne projetante ou rayon de projection f
et lorsque l'on a construit l'image p de P, on dit qu'on a projeté
le point P sur le plan E. — Si on doit projeter plusieurs points sur
le plan E, on n'a qu'à agir ; rbitrairement pour chacun d'eux, comme
on l'a fait pour le point P, à supposer que ces points soient indépendants les uns des autres. — Mais si les points qu'il s'agit de représenter sur Je plan E ont une dépendance quelconque les uns par
rapport aux autres, si peut-être ils déterminent la grandeur et la
forme d'un corps géométrique, alors, pour obtenir une représentation
convenable, il faut que tous les points soient projetés de la même
—
s —
manière.• — Deux systèmes surtout sont employés. Dans l'un, les
ligues projetantes ( A P p , AP'p' et AP"p") ont la propriété de
se réunir toutes en un même point A de Fespace. — De cette manière on obtient de l'objet à représenter (dans la figure un triangle)
une image (p p' p") qui est celle qui se peindrait dans un oeil situé
au point de concours des rayons de projection ; ce genre d'images
se nomme images polaire-perspectives ou simplement perspectives.
Dans le second système, les rayons de projection (Po, P'o' et P"o")
jouissent de la propriété d'être tous parallèles entre eux et perpendiculaires sur le tableau. — Limage (oo'o") d'un objet, que'l'on
obtient de cette manière sur le tableau, est celle qui se produirait
dans un oeil infiniment éloigné de l'objet dans la direction des rayons
de projection. — Ce système est le système de représentation parallélo-perspectîve et limage que l'on obtient est la projection orthogonale de l'objet —• Nous emploierons continuellement dans la
suite cette méthode de projections, et prions par conséquent le lecteur de tenir compte 4e ce x^ui suit:
„Pour obtenir la projection orthogonale ou simplement la projection d'un objet, on abaisse de chaque point de l'objet une perpendiculaire sur le tableau ou plan de prcjectiop. — Si l'objet est
un corps géométrique, (point, ligne, figure plane, corps limité) on
n'abaissera ces perpendiculaires que des points qui fixent la forme
et la grandeur de l'objet et on en joint convenablement les projections
entre elles; la figure plane obtenue de cette manière sur le tableau
est la projection ou l'image du corps géométrique.
§. 1IL
Projection d'un point donné par see coordonnées, sur un plan dont la position
par rapport anx axes coordonnés est connue.
Imaginons les trois axes coordonnés OX, OY, OZ coupés par
un plan ABC à des distances quelconques fixes 0 A , OB, OC de
l'origine 0 , et proposons nous de projeter sur ce plan un point P
donné par ses coordonnées x, y, z. — Comme nous l'avons dit plus
haut, nous emploierons la méthode des projections orthogonales. —
Quant au tableau ABC, nous remarquerons que les portions OA,
OB, OC des axes qu'il coupe, se nomment ses paramètres et que
les intersections AB, AC, BC de ce plan avec les plans coordonnés
reçoivent le nom de traces. —
La projection Pi du point P sur le plan ABC peut se trouver
de plusieurs manières:
6
—
1) Du point P on mène une perpendiculaire PPA sur lojphin ABC;
le pied P] de cette perpendiculaire est la projection cherchée.
2) De l'origine 0 des coordonnées on mène une perpendiculaire
0 0' sur ABC; par le point P on mène une parallèle PP,
àOOi, ce qui redonne comme projection le point P, trouvé
précédemment.
Fig. 4.
S)-On peut encore tirer la ligne 00 A comme dans 2); puis on
joint A, B, et C avec le point Olt alors OiA, OiB, 0,C représentent les projections des parties OA, OB, OC des axes,
coupes par le tableau; enfin si Ton tire:
7
KK,, LLi et HMj toutes les trois parallèles à OOj
M,N,. et L,K, parallèles à 0 ^ ! ou à OaA
M, Q, et K, Bi parallèles à 0, Y, ou à Ol B
LjQ, et K,K| parallèles à QtZL ou à 0AC
Q,Pj parallèle à O t A
N,P, parallèle à OiB.
K,Pi parallèle à 0,C
on obtiendra en 0* Pj la projection sur le tableau, du parallélipipède OP, formé avec les coordonnées x, y, z et par suite le
même point l\ se retrouvera encore comme projection du point P. —
On construirait exactement de la même manière la projection de tout
autre point donné par set» coordonnées. — Le troisième procédé,
que nous venons d'indiquer est en apparence le plus compliqué,
mais si Ton réfléchit que nous avons supposé le point P déterminé
par ses coordonnées, et que nous pouvons dessiner la projection
entière du parallélipipède OP, si tôt que nous avons celle de 3 côtés
partants du même point, (côtés pour lesquels nous choisissons les
lignes OK = x, OL = y et ÒM ==; z, c'est à dire les coordonnées
du point donné) on reconnaîtra que ce prpeédé est assez simple. —
Ce procédé se simplifie même considérablement lorsque plusieurs points
doivent être projetés sur le même tableau, — ce qui ß&t toujours
le cas dans les applications pratiques, — car alors on projette les
axes une fois pour toutes. — Il n'est pas non plus difficile de voir,
qu'il y a certaines relations entre les projections des coordonnées et
celles des axes qui leur correspondent; relations qui restent les mêmes
tant que le tableau ne change pas. — Aussi ce procédé est-il exclusivement employé pour les projections axonométriques.
PREMIÈRE SECTION
§. IV.
Definition des projections axonométriques. — Problèmes principaux dont la
solution eut la condition de possibilité d'une projection axonométrigue. —
Après les remarques que nous venons de faire, essayons de
définir d'une manière exacte ce que l'on entend sous le nom de
projection axonométrique d'un corps géométrique.
—
8
—
Projeter ou représenter âxonométriquement un corps géométrique,
c'est rapporter à 3 axes rectangulaires les points qui déterminent la
forme et la grandeur de ce corps, et projeter ce dernier sur un plan
dont la position par rapport aux axes est connue; cette projection
s'obtient en projetant sur le plan donné le système des axes et en
portant sur ces axes projetés, les projections des coordonnées. —
Conformément à cette définition, il faut:
a) Rapporter à 3 axes rectangulaires les points déterminants d'un
corps géométrique. —
b) Projeter ce système d'axes sur un plan dont la position par
rapport à ces axes est connue.
c) Pouvoir donner les relations qui unissent les coordonnées à
leurs projections.
Notre tache est seulement de montrer comment on peut satisfaire
à ces conditions avec le secours de la géométrie; — Pour ce qui
concerne la première condition, nous avons e>posé précédemment
tout ce qui nous est nécessaire et nous renvoyons le lecteur à cet
exposé. — Il faut se souvenir, que le parallélipipède rectangle,
dont nous avons parlé à l'occasion de la détermination et de la
projection d'un point, peut toujours se construire, lorsqu'on en connaît 3 côtés partant d'un même point; ces 3 côtés sont toujours
donnés par les coordonnées du point qu'on veut représenter. —
Rappelons encore que la projection de ce parallélipipède se construit toujours lorsqu'on connaît les projections de ces 3 côtés.
§. V.
Sur la position du tableau ou plan de projection.
La seconde opération à faire pour représenter un objet âxonométriquement, est la projection du système des axes sur un plan
dont la position par rapport à ce système est connue. — Cherchons
d'abord comment se détermine la position du tableau par rapport
aux axes coordonnés. — Précédemment nous avons supposé que
l'on connaissait les 3 points A,B,C, où les axes rencontrent le tableau. — Cette supposition faisait connaître trois points du plan,
c'est à dire donnait assez d'éléments de détermination. — Mais
si l'on réfléchit que dans une projection parallélo-perspective,
l'image de l'objet que l'on veut représenter ne dépend nullement
de la position absolue du tableau, mais seulement de son inclinaison
9
sur les axes, et que, par suite, la grandeur et la forme de cette
image ne changent pas avec la distance, mais avec l'inclinaison
du tableau, on reconnaît bien vite qu'une pareille détermination de
ce plan est beaucoup trop arbitraire. — Sur tous les plans parallèles à ABC, on obtiendra les mêmes images que sur le plan ABC,
car les rayons de projection sont tous coupés de la même manière
par tous ces plans parallèles, et il en résulte des images parallèles
et de même grandeur. — Or quand ou représente un objet, on ne
considère ordinairement que la forme et la grandeur de l'image et
rarement sa distance à l'objet; à l'avenir, nous ne fixerons doncque l'inclinaison du tableau en laissant indéterminée sa distance à
l'origine des coordonnées. — Plusieurs moyens se présentent à nous
pour fixer cette inclinaison. — On peut donner ou hîen les angles
que forme le tableau avec les plans coordonnés, ou bien ceux qu'il
forme avec les axes coordonnés ; on verra du reste facilement que
ces derniers angles sont respectivement les compléments des premiers,
c'est à dire que:
Angle entle tabLetl'axedesX^-Ang. ent. le tabi, et le plan desX=r90°
n
un
n
v
n
* "T"
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n
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T.
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it
n
n
n ^
^
On peut donc trouver l'un des groupes d angles lorsque l'autre est
connu. Mais nous pouvons encore déterminer autrement l'inclinaison
du tableau, en indiquant, par exemple, quels angles forme avec lès
axes coordonnés une ligne perpendiculaire à ce plan. — Ce dernier
moyen présente plusieurs avantages; en effet, la direction d'une
pareille ligne fait connaître celle des rayons de projection, qui sont
tous parallèles entre eux. — Si nous faisons passer cette perpendiculaire par l'origine des coordonnées, son pied sera la projection
de cette origine sur le tableau, et comme on peut faire passer ce
dernier par un quelconque de ses points, il est clair que l'on peut
toujours considérer le pied de cette perpendiculaire comme connu,
sitôt que la ligne qui passe, par l'origine 0 et qui est perpendiculaire sur le tableau est donnée. — Désignons désormais la ligne
OOi, par le nom de direction de projection, et par », fi, 7, les angles
qu'elle forme avec les axes coordonnés OX, OY, OZ; soient A,B,C
les angles que forme le tableau avec ces mêmes axes et a, b, c ceux
qu'il forme avec les plans coordonnés,
_
10
-=-
Fig. ö.
la figure fait iiumédiatement connaître les relations très simples
suivantes:
a = a — 90° — A
ß-=b'~
90° — B
y = e :== 90° — C
ces relations peuvent au besoin servir à exprimer un groupe d'angles
au moyen de Vi ut re. .
Pour se "convaincre de la justesse de ces relations, on n'a qu'à
remarquer que le triangle AOD est rectangle en 0 ; que les triangles D 0 Oj et A 0 Oi le sont en 0, etc.
S- VI.
Projection du système àes axes sur un tableau dont la position est connue.
Supposons maintenant que les angles a, tf, y soient connus, il en
est alors de même de la direction de projection. Le tableau sera,
dans ce cas, un plan passant par un point quelconque de cette
—
Il
—
direction et perpendiculaire sur elle, nous pourrons le considérer
comme un horizon par rapport auquel nous connaissons la direction d'une verticale. — Le système d'axes qu'il s'agît <|e projeter est
une combinaison de trois angles droits plans qui ont deux à deux
un côté commun et dont les côtés et les plans forment avec le tableau ou horizon des angles connus. — Ceci posé, nous pourrons
exprimer de la manière suivante l'article b §. IV : „Il faut projeter
ou réduire 3 angles droits surun certain horizon, connaissant les
inclinaisons àes côtés de ces angles avec la direction de projection^
Mais, comme dans le cas précédent les angles en question ont
deux à deux un côté commun, il suffit de projeter deux de ces
angles, et la projection du troisième estimmédiatement connue. —
La solution de ce problème est-expliquée dans tous les cours de
géométrie descriptive, et nous pouvons la supposer connue de la
plupart de nos lecteurs; nous l'indiquerons cependant pour être
plus complet. Imaginons que l'on tourne le tableau et'le système
des axes, sans changer leur position relative, jusqu'à ce que le
tableau coïncide avec le .plan de la figure 7, et que l'origine des
coordonnées se trouve devant ce plan (par conséquent entre la figure
7 et le lecteur). — La direction de projection sera alors une ligne
droite passant par l'origine des* coordonnées et perpendiculaire sulle tableau, c'est à dire maintenant, sur le plan de la figure 7. La
partie du système des axes qui sera devant ce plan, (considérée
depuis le point 0 ) déterminera en général une pyramide oblique,
et ce que nous cherchons, n'est pas autre chose que la projection
de cette pyramide. —
Remarquons, que puisque nous avons pris le plan de la figure 7
comme tableau, un point quelconque de ce plan pourra être pris
pour' le point 0 l 7 c'est à dire comme projection de l'origine.- De plus
on peut prendre arbitrairement la direction de la projection de l'un
des axes; car, comme nous le démontrerons plus tard, ce n'est pas
la position absolue de ces projections qu'il importe de connaître,
mus seulement les angles qu'elles forment entre elles. — Un changement de position de la projection d'un des axes sur le tableau entraîne le même changement pour les projections des autres axes;
mais, la position de l'objet par rapport aux axes restant la même,
il ne s'en suivra qu'un changement de position de limage, sans que
celle-ci soit a'térée. — Nousfixeronsdonc la position de la projection de
l'origine et de celle de laxe des Z; soient Oi et OiZx ces projections.
Les angles a, £, y sont donnés par la figure 6. Imaginons ui:e
ligne menée par le point Oi perpendiculairement au plan de la figure;
Kg. 7.
pjir cette ligne et par Oi-Zj faisons passer un plan et rabattons
ce plan sur celui de la figure ou sur le tableau en prenant OjZj
_
13
—
comme axe de rotation. — Le point 0 se trouvera quelque part sur
la ligne 0 Oj, en 0' par exemple ; le véritable axe des Z passera par
ce point 0' et fera avec 0 Oj l'angle y. — Construisons cet angle y
en 0' et prolongeons son côté jusqu'à ce qu'il rencontre OjZ! en C;
le point C est la trace de la ligne OC sur le tableau, correspondante à la supposition que nous avons faite que le point 0 esten
0 ' ; l'axe des X passera par le même point 0*; il forme avec OOi
l'angle a et rencontre ee tableau en un point A que nous voulons
essayer de déterminer. — Par 0 Oi A faisons passer un plan vertical,
vertical par rapport au tableau que l'on considère comme horizontal
et faisons le tournerautour de 0 Oi jusqu'à ce qu'il coïncide avec
0 0 | C , puis rabattonsTle autour de Oi Zi ; le côté Oj A deviendra
O'A', position que nous connaissons puisque l'angle a est donné. —
Pendant la rotation du plan 0 0] A, (autour de Oi 0,) le point A
décrit un cercle dont le plan est horizontal (c'est le plan du tableau)
et dont le rayon est QiA'; la circonférence décrite du point Ov
avec le rayon OiA' sera donc le lieu géométrique du point A.
Pour trouver un second lieu géométrique de ce poînt, représentonsnous les points A et C unis par une ligne droite; nous formons ainsi
un triangle plan OAC dont nous connaissons deux côtés:
O'A == O'A'
O'C = O'C
et l'angle compris entre ees côtés:
AO'C#z= 90°
construisons ce triangle sur 0^G, et nous obtiendrons A"C qui est
le troisième côté de ce triangle; en réalité ce côté est dans le tableau et nous avons Tune de ses extrémités C. — La seconde extrémité A sera sur la circonférence décrite du point C comme centre
avec A"C pour rayon, et comme le point A doit déjà se trouver
sur la circonférence décrite de Oi comme centre avec 0 X A' pour
rayon, il sera précisément à l'intersection A de ces 2 circonférences. —
La projection de l'axe OX devant passer par lès 2 points 0A et A,
sera Ot Xi et nous connaissons maintenant la projection Z\ 0\ X x
de l'angle ZOX.
Pour trouver Ox Yv, c'est à dire pour projeter l'angle XOY, nous
pouvons répéter avec OiX| et OY exactement ce que nous avons
fait avec OjZi et OX, et déterminer ainsi la trace B de l'axe 0Y
sur le tableau. La figure suffit pour guider le'lecteur qui remarquera facilement qu'on arriverait au même résultat en partant de
OiZi. Le plan vertical qui passe par les lignes 0 2 Y, et 0 A 0 con-
—
14
—
tient aussi l'axe OY, il est perpendiculaire au tableau et au plan
des Y (et par conséquent à l'intersection de ces deux plans qui est
la trace AC); cette observation nous montre, comment Ton peut
trouver rapidement la projection Ot Yi, sans le secours de l'angle fi
En etìet l'intersection Ot Yi dece plan vertical avec le tableau, est
perpendiculaire sur la trace AC, et peut toujours se construire si tôt
que cette dernière est connue..— On peut trouver le point B en construisant la trace AB perpendiculaire à OjZu.ou la trace BC perpendiculaire à OiX,.
On pourrait aussi employer le point B pour trouver l'angle fV
s'il n'était pas connu d'avance ; observons encore que Ton peut
complètement projeter le cysteine des axes lorsque deux seulement
des angles a, tf, y sont donnés. — Les 3 axes projetés forment
trois angles dont la somme fait évidemment 360°; nous désignerons
ces trois angles de la manière suivante.
BOA C = Y 1 O l Z l =z cp
AOÂ C = X ^ i Z i = ù
AOi B = X ^ Y , = x
§. vn.
Becnerche des relations qui ont lieu entre les coordonnées d'un ou de
plusieurs points et Igurs projections.
Après avoir montré dans ce qui précède, comment on détermine la position du
tableau par rapport
au système des axes,
et comment on fait la
projection de ce système sur le tableau,
étudions les relations
qui existent entre les
coordonnées d'un ou
de plusieurs points et
leurs projections.
Pour cela, soient
OX, OY, OZ les trois
axes de notre système
Fig. 8.
—
15
—
rectangulaire; ABC un tableau pris arbitrairement; OjX l7 0 , Y n
U,Zi, les axes projetés sur ce plan; QOj la direction de projection
qui forme avec les axes les angles a, ßy y; soîent enfin:
OK = x l'abscisse
\
OL = y l'ordonnée en largeur
( d'un point P
OM = z l'ordonnée en hauteur \
OK' = x' l'abscisse
)
OL'^=: y' l'ordonnée en largeur ( d'un point P'
OM' = z' l'ordonnée en hauteur )
Oi'K! — x x ;
Ö,L, = yii
' 0,M, = zx
0 ^ , ' - -x,';/
0 , L / = y/;
0 ^ ' = z/
les projections correspondantes de x, y, z, et de x', y', z'.
On peut immédiatement écrire les proportions suivantes à cause
des triangles semblables:
x : Xi = x' : x / = OA : 0! A
y : yx = y' : y / = OB : 0 , B
z : z* — z' : Zi' = OC : 0, C
c'est à dire que: „L'abscisse, l'ordonnée en largeur et l'ordonnée en
hauteur d'un point sont à leurs projections, comme l'abscisse, l'ordonnée en largeur et l'ordonnée en hauteur dVn autre point sont à
leurs projections ou enfin, comme les paramètres du tableau sont à
leurs projections.- — Or pour un même tableau ces paramètres et
leurs projections sont <des quantités constantes, de sorte qu'il en est
de même pour les rapports des coordonnées d'un point à leurs projections. ~ Si donc pour un tableau donné, on détermine les rapports
des paramètres ÖA, OB, OC à leurs projections 0XA, 0 Z B, OiC, les
proportions précédentes permettent de déterminer la grandeur des
projections des coordonnées d'un point sans projeter ces coordonnées;
en effet pour déterminer ^ix-jit %\ °n a toujours les proportions:
X! : x ==.' OjA r OA
y, : y = OiB : OB
zx : z . = OiC ; OC
Pour résoudre le problème que nous nous sommes proposé, il
suffira donc de montrer de quoi dépendent les rapports
OxA : OA; OiB : OB; (^C : OC
et comment on peut déterminer Jeurs valeurs.
On voit encore facilement, qu'en supposant un second tableau
paraUèle au premier ABC, ces rapports restent les mêmes. — En
effet si le plan A'B'Ç' est parallèle à ABC, on a des triangles
semblables en vertu desquels:
16
—
AO, : AO = A'O/ : A'O
BOi : BO = B'O/ : B'O
COi : CO = C^O/rC'O
Fig. 9.
La position absolue du tableau n'entrant pas ici en considération,
on peut se demander si ces rapports changent avec son inclinaison,
et dans ce cas, comment ces changements ont lieu. — Nous avons
déterminé la position du tableau en donnant une perpendiculaire
à ce plan, passant par l'origine dés coordonnées, ou ce qui revient
au même, en faisant connaître les angles a, ß, y que la direction de projection 0 0 / fait avec les axes OX, OY et OZ. — Si
nous changions l'inclinaison du tableau, nous changerions la grandeur
des angles a, ß9 y\ mais pour tous les plans parallèles entre eux,
ces angles ont les mêmes valeurs. — Pour étudier quelle influence
les variations de ces angles ont sur les rapports des paramètres du
tableau à leurs projections, prenons dans la figure 8 un des triangles
00 t A, 0 0 t B , 0 0 ^ , par exemple le premier, et dessinons-le dans
sa vraie grandeur. — On voit immédiatement que la valeur numérique
17
du rapport 0XA : 0 A augment» et diminue en même temps que l'angle a (pas
cependant proportionellement avec cet
angle).
Fig. 10.
Pour a = 0° on a: AOt : AO = O
a = 90°
A 0 4 : AO = 1
Pour toutes les valeurs intermédiaires d'à, on a AOx : AO < 1
Une étude analogue des triangles
O OxB et O OxC montre que :
pour ß =
ß=
>
ß<
pour y =
.. y =
O
90°
0°
90°
0.
90°
0»
90»
0,B
0,B
OB
OB
0
1
0
>
OjB : OB
< 1
0,C OG = 0
OtC OC
OtG : 0 6
> 0
< 1
Ceci nous apprend que, en général, les paramètres, et par
suite» les coordonnées deviennent toujours plus petits dans Vppération de la projection. Par cette raison, nous donnons aux rapports:
AO, : AOj BO, : BO; CO» : CO
le nom de rapports de raccourcissement; ils indiquent en effet comment les coordonnées des axes correspondants sont raccourcies dans
la projection.
§. vm.
Determination das rapport« de saeeoureisMnte&t pour les trois axai.
La détermination des rapports de raccourcissement est très simple,
lorsque les angles a, ß, y sont connus, ce qui arrive toujours lorsque l'inclinaison du tableau est connue.
2
_
18
—
Pour faire cette détermination, soit 0 0 , la
distance du tableau à l'origine des coordonnées
et soient 0 0 , A , 0 0 , B , OOïC, les trois triangles correspondants à cette longueur OOj,on
les obtient simplement en menant par le point
Oi une perpendiculaire sur OOi et en construisant eu 0 les angles a,&7; OjA, OiB, OiC,
représentent les projections de OA, OB, OC et
on n'a plus qu'à exprimer numériquement les
rapport*
Fig. Il
O t A-:OA; O f B:OB; 0,C:OC
(on peut aussi les déterminer par construction
géométrique, lorsqu'on ne préfère pas les mesurer directement). La même relation qui a lieu
entre les paramètres et leurs projections, a lieu
aussi entre les coordonnées des axes correspondants et leurs projections.
Remarquons ici que :
1° Pour toute autre longueur de OOi, on obtiendrait d'autres
triangles; mais ceux-ci seraient semblables aux premiers, et les
valeurs numériques des rapports
jrç^. J2.
de raccourcissement seraient les
mêmes. La longueur de la ligne
OOi est donc arbitraire dansées
constructions, ce qui est parfaitement conforme à ce que nous
avons dit précédemment sur la
portion du tableau.
2U On peut, nu lieu des trois
triangles rectangles 0 Ot A,
0 Oi i », 0 Oi C qui correspondent à la longueur 0 0 , , employer trois autres triangles qui
auront les hypoténuses égales,
sans changer les rapports de rac- |
court i>sement, pourvu que les
angles <*fßfy restent invariables.
On peut facilement s'en convaincre en remarquant que dans I
la figure 12
—
19
—
le triangle OOjA est semblable an triangle 0 0 / A '
»
r
00.B
,
,
00."B"
n
*
OOiC „
,
,
00."'C"
et que, par suite, on a:
OiA : OA = 0 / A ' : OA'
O x B:OB = Oi"B":OB"
OiC:OC = 0 / " C " : OC".
Si l'on construit les triangles de manière que
OA' = OB" = O C "
les lignes 0 0 ^ , 0 0 / ' 0 0 / " seront inégales, et ne sont pas autre
chose que les distances à l'origine des coordonnées de trois plans
parallèles A'B'C, A"B"C", A'"B'"C". A'O, B"0 et C " 0 sont des portions égales des axes qui ont été
projetées sur ces plans. — Cette manière de voir met parfaitement
d'accord cette indétermination des hypoténuses avec nos remarques
sur la position du tableau. En adoptant ces derniers triangles pour
déterminer les rapports de raccourcissement, non seulement la construction est simple, mais encore on peut facilement comparer entre
eux les rapports de raccourcissement des trois axes.
Si on pose:
le rapport de raccourcissement pour l'axe X = m
'
n
v
n
' »
•
n
n
un
a
7»
n
*
i
ï
^
=
^
B
P
on aura, d'après les proportions précédentes:
0<A : OA = <V A' : 0 A' = m
0 t B : OB = O/'B" : OB" =s n
p r C : OC = 0 / " C " : 0 C " = p
et comme:
0 A ' = OB" = O C "
on a:
m : n : p = 0 / A' : O/'B" ; 0 / " C "
c'est à dire que les rapports de raccourcissement sont entre eux,
comme les projections <jte portions égales des axes.
3° Si les angles a, (2, y n'étaient pas eux-mêmes connus, mais
si on donnait ou prenait arbitrairement les angles 9 , •$, %, on déterminerait facilement au moyen de ces trois derniers angles, ou
pour des projections du système des axes prises arbitrairement, les
grandeurs correspondantes des angles a, (3,7 et le rapport de raccourcissement qui convient à chaque axe; on peut s'en convaincre
par les considérations suivantes.
— • 20
^
Soient fp = Y± 0, Z,, '.#. sp. Xi 0^ Zu x — Y* ° i x * , e s a n S l e 8
compris entre les projections des axes; les sections principales BC,
AC, AB, sont données de position, puis qu'elles sont respectivement
perpendiculaires sur XjOi, YiO x , ZjOj. Ici un des trois points
A,B,C est arbitraire,, de même que rétait le point O lors de la
projection du système des axes. Les angles a, à, y sont les angles
aigus adjacents au côté commun 0 0 4 dans les trois triangles AOjO,
B0,O, COiO, rectangles en 0%. Dans chacun de ces triaugles, nous
connaissons un côté, savoir A 0 . , BO i9 CO,; pour déterminer la
longueur du côté commun 0 0 , , on n'a qu'à se représenter le milieu M
d'une des trois sections principales, de AB par exemple, joint avec
0 et 0|,- il en résulterait un nouveau triangle JO,M, rectaugle en
0,, et dont on connaît le côté MO, iinsi que l'hypoténute ÛM =
AM = BM; on connaît cette dernière longueur, parceque l'angle
A OB inscrit dans une demi-circonférence dont le diamètre AB =
2 AM, est droit. Ce qu'il faut encore pour achever de déterminer
a, ß, y se trouve de soi-même; quant aux rapports de raccourcissement, nous renvoyous au paragraphe précédent.
SECONDE SECTIO!
§. IX«
De l'influence des angles </, S, ? sur une projection axonooftétriqne.
En chercliant les relations qui existent entre les coordonnées d'un
point et leurs projections, nous avons trouvé:
a) Les projections des coordonnées sont dans la règle plus petites
que celles-ci', c'est à dire^que par la projection les coordonnées sont raccourcies suivant certaines proportions«
b) Les rapports de raccourcissement pour un même tableau et
pour tous les tableaux parallèles entre eux sont constants,
c) La valeur numérique du rapport de raccourcissement pour chaque axe, dépend de l'angle que forme ce dernier avec la direction 4e projection. Cette valeur peut se trouver en construisant
un triangle rectangle qui contient l'un des angles a, ß, y comme
angle aîgu etc.
d) Les rapports de raccourcissement des trois axes sont entre
eux comme les projections àes portions égales des axes, ou
—
21
—
comme les côtés opposés aux angles a, ß, y dans trois triangles
rectangles dont les hypoténuses sont égales.
§. X.
Valeurs-limites des angles a, 3, y.
Nous venons de le voir, les coordonnées sont raccourcies par la
projection, et la grandeur de raccourcissement dépend des angles
a, ß, y] il est de plus évident, que la forme et la grandeur de limage
qu'on veut obtenir, sont déterminées par ces raccourcissements; entin, comme les angles que forment entre elles les projections des
axes, dépendent de la grandeur àes angles a, ß, 7; on est amené
à choisir ces angles de manière que les raccourcissements, la forme
de l'image etc. s'obtiennent d'une manière convenable. — Mais s'il
faut choisir certaines valeurs pour u, ßety, il faut d'abord décider
entre quelles limites on peut disposer arbitrairement d'eux, et si on
peut le faire.
On voit d'abord que la direction de projection ne peut former
avec aucun des axes un angle plus grand que 90°, puisque c'est
une ligne droite passant par l'origine des coordonnées, et se trouvant dans l'intérieur de l'angle solide déterminé par les trois axes.
En général, cet angle de la direction de projection avec l'un des
axes, sera plus petit qu'un angle droit. Prenons donc arbitrairement « <C 90° et recherchons quelles valeurs les deux autres angles
peuvent encore avoir. Nous examinerons spécialement les cas où
u ou ff.,- ou y z=z 90° et
a ou ji, ou y = 0°.
Si Taxe OX fait avec la dipig9 23.
rection de projection OOj l'angle </, l'axe Y e&t seulement assujeti à la condition d'être perpendiculaire à l'axe X; ce sera
donc une ligne passant par le
point Oi et perpendiculaire à
l'axe X, c'est à dire qu'il sinV
tit qu'elle passe par le point O
et soit située dans un plan perpendiculaire à OX en O; passons en revue les différentes
valeurs que prend l'angle ß
compris entre O Oi et O Y, lors-
—
22
que OY tourne autour du point O, dans le plan perpendiculaire à
OXenO. Nous remarquerons d'abord deux positions OY"etOY'
où OY, OX et 0 0 ! sont dans le même plan. Dans la position
OY" de l'axe OY l'angle ß a sa plus petite valeur, on a alors
ß" = 90° - a
l'axe OY ne peut plus s'approcher de 0 0 ! sans sortir du plan perpendiculaire à 00t. Dans la position OY', ß a la plus grande valeur dont il soit susceptible; dans ce cas
0* - A 90* + a.
Si on voulait faire l'angle ß encore plus grand, OY devrait sortir
du plan perpendiculaire à OOi, ce qui ne peut avoir lieu sans changer l'angle droit compris entre OY et OX. Si donc on a pris a
entre les valeurs
a' = 0° et
a" = • 90°
ß peut encore se prendre arbitrairement entre les valeurs
ß" = 900 _ a
p' s 90° + a.
En tenant compte de ce que nous avons dit plus haut sur la
grandeur de a, ß, yì nous pouvons admettre comme limites de l'angle ß :
0" = 90° - a
ji' =
90«
car ß ne doit pas être supposé plus grand que 90°.
Dans les cas particuliers ß" = 90° — a, ß4 = 90° + a les
axes OY et OX sont dans le même plan que la direction de projection, et par suite leurs projections sont dans la même direction.
Ces deux projections se couvrent si
fi' = 90° + a
et l'une est le prolongement de l'autre si
p" = j ? 0 0 — a.
Une fois que l'on a choisi la direction de l'axe X de manière que
< 90°
et celle de l'axe Y de manière que
0 > 90° — a
ß < 90°
il en résulte que l'axe Z doit satisfaire à la double condition :
1° d'être situé dans un plan perpendiculaire en O sur O Oi ;
*
»
»
» n n
»
» O n OY;
OZ sera donc l'intersection de deux plans perpendiculaires entre eux,
—
23
—'
et de positions connues, et son inclinaison sur la direction de projection est complètement déterminée par la grandeur des angles a, £,
c'est à dire, que, lorsque a et ß ont été choisis entre les limites que
nous avons fixées, y n'a qu'une seule valeur. Nous aurions obtenu
exactement le même résultat en prenant ßouy comme point de départ.
On trouve toujours que si l'un des angles a, ß, ou y a reçu une certaine
valeur V entre 0° et 90°, le second sera compris entre les limites
90*> + V
et le troisième sera complètement déterminé par les deux autres.
Ce résultat qui explique et motive ce que nous avons dit à la fin
du §. Yi, nous.engage à indiquer les moyens de déterminer Tun
des trois angles lorsque les deux autres sont donnés*).
g. XI.
Détermination de l'un des trois angles a, tf, 7, les deux autres étant connus.
Ce problême peut se résoudre par la construction de deux angles
solides dont on connaît, pour l'un, trois côtés, pour l'autre, deux
côtés et l'angle compris. Mais nous préférons employer une méthode
plus simple, qui permet de mieux saisir le problème et avec laquelle nous n'avons nullement besoin de connaître les angles solides. Pour y arriver, soient OX, OY et OZ nos trois axes rectangulaires; soit OOj la direction de projection formant avec OX l'angle
donné oc, et avec O Y l'angle
donnérf.On cherche l'angle
y compris entre O O, et O Z.
Supposons pour un moment
le problème résolu; représentons nous OOx dans sa
véritable position dans l'angle solide déterminé par
les axes; et d'un point quelconque D de OOi, abaissons les . perpendiculaires
DE, DF^DH sur les trois
axes coordonnés, et les perpendiculaires DG, DI, DK
sur les 3 plans coordonnés,
joignons le point
*) Le procede déjà indiqué au §. VI est déjà uii de ces moyens de détermination.
—
24
-
H avec F et G
I avec E et G
K avec E et F
nous aurons ainsi formé un parallélipipède rectangle. Les angles
donnés a et ß font partie des triangles ODE et ODF rectangles en
E et en F; l'angle cherché / se trouve dans le triangle OD G rectangle
en G. Nous pouvons construire les triangles ÖDE, ODF, caries
angles a et j* sont connus, et les hypoténuses OD peuvent être
prises arbitrairement pourvu qu'elles soient égales dans les deux
triangles. Le triangle OD G aura la même hypoténuse, et il ne
nous reste plus qu'à connaître un côté de ce triangle pour pouvoir
le construire. Le côté DG, ou le côté OG peuvent se construire
d'après les lignes connues OD, DE et EO, OD, DF et FO. Pour
construire DG par exemple, posons:
OD = d
DE = m
DF = n
DG = p
on sait que
2d«
m" + nT+p*
d'où
p« = 2d* - (m« + n2)
c'est à dire que le côté est tel que son carré est égal à deux fois
celui de Tinpoténuse OD = d moins la somme des carrés des
côtés connus DE — m et DF = m On peut, par suite, construire
DG = p et l'angle D"OL = y comme il est indiqué dans la figure
15 a ; dans cette figure,
Fig. 15 a.
D'"OL = a
D'OL=:(*et
OL = d
Il en résulte que
D'"E = DE = m
D'F = DF = n
Si on prend le rayon
OM. ss: | d, on aura:
LN*= 2. ÔD = 2 d«.
De plus faisons
-~
juqsqu*
o» a :
25
—
KR ss D*F
LQ ss LP = D'"E
LS = RQ
ST ss LN;,
a
» _JI
RQ» s s LR + LQ ss n* + m«,
2
t
4
LT ss ST - LS
s s LN — (LR + LQ) ss p«
c'est à jlire
p ss LT ss D'G et
y ss D"OG.
Pour construire le côté 0G ss DK du triangle DOG,* servonsnous du triangle DFK (Fig. 14). Nous connaissons dans ce triangle
l'hypoténuse FD — n et côté FK ss OE; nous pouvons donc le
construire; le côté DK de ce triangle, combiné avec'DO comme
hypoténuse d'un triangle rectangle, nous donne l'angle y qui est
l'angle agacent à OG ss DK.
La figure 15 b dans laquelle on a pris:
l'angle MON s s a
^ OPQ gg ^ DOF
„
POQ ss ß
n OMN g
r ODE
DOssd
OEssPQssFD
fait voir les simples constructions qui résolvent le problème.
B suffit* que dans tontes ces
Ftg. 15 b.
constructions l'hypoténuse Ou
soit la même pour tûusl&s triangles, cette condHfau étant
remplie, on peut la prendre arbitrairement de même que le
point D sur la ligne O Oj ; point
à partir duquel on abaisse les
diverses perpendiculaires. En
effet, de quelque manière que
l'on prenne le point D sur O 0|,
on obtiendra toujours un parallélipipède semblable à celui
que l'on a d'abord dessiné, et
dont les diagonales et les côtés donneront toujours pour déterminer
26
—
l'angle 7, des parties proportionnelles, si, comme on le suppose,
les angles a et ß restent invariables.
On détermine l'angle.ß au moyen de a et de 7 et
l'angle a au moyen de ß et de 7
de la même manière que nous venons de trouver l'angle y au moyen
de a et de ß.
§. XII.
Sur quelques valeurs particulières des angles a, ß et 7.
Considérons le cas particulier a = 0 ° ; on peut dire qu'alors la
direction de projection, coïncide avec l'axe X et forme un angle de
90° avec chacun des deux autres. Les abscisses sont toutes réduites en projection à des points, et les ordonnées en largeur et en
hauteur se projettent en vraie grandeur.
On trouve de même pour ß s s 0°
a s s 90° et y — 90°
Alors les ordonnées en largeur out des points pour projections;
les abscisses et les ordonnées eu hauteur n'éprouvent point de raccourcissement en projection.
Enfin pour
7 s s 0°
a s s 90 ü et ß s s 90 ü
ce qui s'interprète de la même manière que précédemment.
Si on prend a s s 90.° il en résulte que OOi se trouve dans
un plan perpendiculaire à Taxe X et qui contient aussi OZ et OY,
on a donc:
ß + 7 z=z 90°.
De même si
ß s s 90°
ÖL -f- 7 ss 90**
et si
y = 90«
ce + •{» ss 90°.
§. xin.
Detemination des angles a, ßyy de manière que les relations de raccourcissement des trois axe» satisfassent à certaines conditions.
Le plus souvent, dans les applications de l'axonométrie, on ne
peut pas prendre arbitrairement les angles a, ß, 7; mais le problème consiste à les choisir de telle manière, que les rapports de
raccourcissement des trois axes aient entre eux certaines relations
données. En général, on demande de prendre les angles a, S, 7
—
27
^
de manière que les projections de portions égales des axes OX,
OY, OZ, soient entre elles comme trois nombres donnés m, n, p
et l'on se réserve de choisir ces trois nombres d'une manière convenable; c'est ce problème que nous allons essayer de résoudre.
Soient donc OX,
jfigm iß,
OY, OZ nos axes
rectangulaires et prenons sur ces axes les
longeurs
OA'ssOB"ssOC".
Soit OOj la direction
de projection, qui
forme avec les trois
axes les angles cherchés m% ßf y\ des
points A', B"> C"
abaissons les perpendiculaires A'O/,
B"Oi", C ' O / " sur
Oui; les lignes A'O/,
B"Oi", C"Ot'" représenteront les projections de OA', OB", OC", sur trois tableaux
parallèles entre eux et perpendiculaires àia ligne OOj en Oj', Oj",
Oi'", ce qui revient au même, quant à la grandeur des projections,
que si on avait projeté les portions d'axes sur un tableau quelconque perpendiculaire à OOx; déterminons maintenant les angles
a, ßjj de telle sorte que :
A'Oi' : B"0," : C O / " s s m : n : p,
on peut considérer le problème comme résolu si l'on peut construire en vraie grandeur les triangles 0 0 / A ' , OO/'B", O O ^ ' C "
ou trois autres triangles qui leur seraient respectivement semblables.
Or, si les projections de portions égales des axes doivent être
entre elles comme les nombres m, n et p, on peut dire que ces
nombres, à supposer qu'on les représente par des lignes, sont les
projections de longueurs égales des axes, longueurs que nous ne
connaissons pas, mais dont nous savons que, projetées de la même
manière que OA', OB", OC", elles ont m, n et p pour projections.
Si nous réussissons à déterminer une de ces portions d'axe, nous
pourrions alors avec elle et avec les lignes qui représentent les
nombres m, n, p, construire trois triangles respectivement semblables
—
28
—
aux triangles 0 0 / A ' , 0 0 / ' B " , 0 0 , ' " C " et contenant les angles
cherchés a, £, 7.
Nous voyons d'abord que les angles ce, £• 7 ne changent pas,
lorsqu'on forme les trois triangles 00,'A', 00,"B", 0 0 / " C'" en
prenant un point D' sur la direction de projection, de telle manière que
OD' = 0A' s s OB" = OC"
et en abaissant de ce point D' des perpendiculaires D'E', D'F', D'G'
sur les axes; on aura:
D'E' s s 0,'A'; DéFé — 0,"B"; D'G' = 0 / " C " .
OE'ss 0 0 / ; OF' ss 00,"; OG' = 0 0 / " .
F
Les lignes D'E', DgF^ D'G'
& 17'
sont les projections de la même
ligne D'O; ici nous ne projetons
pas trois lignes égales d'inclinaisons différentes sur trois
plans parallèles, mais une seule
et même ligne sur trois plans
qui forment avec cette ligne les
mêmes angles que précédemment les axés formaient avec
le* plans parallèles il en résulte
que la grandeur des projections
n'éprouve aucun changement.
Au lieu des 3 portions égales
d'axes, nous avons donc maintenant la ligne O D / ; cette ligne a par apport à ses projections
D'E', D'P, D'G' une projection qui permet de trouver facilement les
relations qui unissent ces ligues. En eflet menons encore les lignes
D'il', D'1' et L'K' perpendiculaires sur les plans coordonnés, joignons
le point H' avec F' et G'
X'
Vé
E'
E'
G'
F'
et nous formons un parallélipipède rectangle dans lequel OD' est
la diagonale principale, D'F', D'E', D'G' sont les diagonales latérales.
On sait que:
2 OD' s s D'E' + D'F' + D'G'
—
29
mais une relation analogue
doit exister entre la ligne d
dont les projections sont m,
n, p et ces projections; on
pourra donc écrire:
2d« s s m* + n« + p8
—
Fig. 18.
Soient DE, DF, DG les
lignes qui représentent m, n
etp, alors OD doit être la
ligne projetée; pour avoir les
angles a, ß, y nous n'avons
plus qu'à construire dans leur
vraie grandeur les triangles
ODE, ODF, ODG, rectangles en E, F et G, qui ont
tous les trois la même hypoténuse OD = d et de chacun desquels
nous connaissons un côté de l'angle droit savoir:
DE s s m, DF s s n, DG s s pF%gri9.
—
30
—
Les angles cherchés a, ß, y sont opposés à ces côtés DE, DF
et DG.
La figure 20 montre les constructions nécessaires ; on prend
RQ s s p, RS s s n et OS s s m
puis
MQ s s MO s s OQ et il en résulte
2
OD s s DQ s s d; car on a
§. XIV.
8ur les valeurs que peuvent prendre m, n et p.
Nous avons fait voir précédemment que les angles a, £, y ne
peuvent pas avoir des valeurs tout à fait arbitraires, mais qu'ils
doivent toujours rester entre certaines limites. Or, puisque les
nombres m, n, p, déterminent complètement les angles a, ß, 7, il
est naturel de penser que ces nombres doivent être assujetis à certaines conditions. Pour rechercher ces conditions, nous n'avons
qu'à considérer le parallélipipède rectangle construit avec les nombres m, n et p (représentés par des lignes) comme diagonales latérales, et avec la ligne d comme diagonale principale.
Au lieu de DG prenons son égale FE, on aura:
EF s s p ; DF s s n et DE s s m.
—
31
—
On voit immédiatement que
les nombres n, m, p , repré
sentes par des lignes, doivent
(puisqu'ils sont les diagonales
latérale* d'un parallélipipède
rectangle) former constamment
entre eu* un triangle acutangle.
Fig. 21.
Remarque. La plus grande valeur qui; l'un des trois angles D, E, F
de ce triangle pourrait prendre serait 90° et cela n'arriverait que lorsque le parallélipipède aurait une de
1Bes trois dimensions réduite à zéro.
Les lignes qui représentent
les nombres m, n et p doivent
toujours être les diagonales d'un
même parallélipipède rectangle,
si ces nombres déterminent les
angles a,^î, 7; il en résulte que
ces lignes doivent toujours pouvoir former un triangle acutangle,
et qu'elles sont soumises, par conséquent, aux mêmes conditions
que les côtés d'un pareil triangle. Or dans un triangle acutangle
la somme des carrés de deux côtés quelconques est toujours plus
grande que le carré da troisième côté; il faut donc- choisir les
nombres m, n et p de manière qu'on ait toujours:
m 2 + n* > p*
m* + p* > n*
n* + P* > *»*
Remarque Cette dernière condition peut encore s'exprimer ainsi : si on
représente par des ligues les carrés des nombres m, n et p, ces lignes doivent toujours pouvoir former un triangle plan. Mr. le professeur ßchlömilch
à Dresde a déjà prouvé analytiquement, il y a plusieurs années, que dans
un triangle plan dont les côtés sont m2, n 2 et p 2 , les bissectrices des trois
angless peuvent être considérées comme les directions des projections des
axes. Nous n'avons pas utilisé cette propriété, parcequ'elle ne peut pas se
démontrer d'une manière purement géométrique et ne rentre par conséquent
pas dans le cadre de ce travail.
~
32 —
§. XV.
Influence des nombre« m, n, p sur les angles # j "ij X que forment entre,
eUes les projections des axes.
- Si on donne m ss n ss p, il en* résulte que a ss ß = 7, car ce
sont alors des angles qui dans des^riangles égaux sont opposés
à des côtés égaux. Mais lorsque les angles a, ß, y sont égaux,
en projetant le système des ^xes (vide Section I §.6), les portions
AO, BO et CO de ces axes coupées par le tableau, sont égales
entre elles et l'on a par conséquent:
A AOB ~ A BOC ~ A COA
parceque OA ss OB ss,0£, l'angle AOB ss BOC ss COB ss 90°
et par suite AB z=z BC ss AC. Ainsi) dans ce cas, les trois sections principales forment un triangle equilateral; les projections
OjXi, O1Y1, O1Z1 des axes passent respectivement par les sommets A,B,C de ce triangle, sont perpendiculaires sur les côtés
opposés BC, AC, JtB et dans ce cas forment entre elles des
angles égaux, c'est à dire :
pour m ss n s s p on a
a ss ß ss y et
<p s s ^ s s
Z
s s 120°
Remarque» Dans ce cas particulier on peut construire les projections
des axes au moyen d'un triangle, equilateral et de ses trois hauteurs.
Si Ton a maintenant
m s p ^ D
on a pour les mêmes raisons que précédemment»
et si, dans cette hypothèse, on projette les axes, on trouve aisément que
OAssOC>OB
Par suite et parceque
on a aussi
AOB ss BOC « AOC
A AOB g
A BOC >' AOC
done AB s BC ^ AC
•—
33
—
c'est à dire que dans ce cas les sections principales forment un
triangle isoscele. En s'appuyant sur le §. 6 et le §. 15 on trouve
encore sans peine
pour m s s p ^ n
ai = y >
0
cp = x >f<j,
Des considérations analogues font voir que si
m > '»•< p. on a
<
>
a
et
< # ^ r
>
<f>
< *..< x
§. XVI.
Classification des différents genres de projections axonométriques.
Cette classification est fondée sur les valeurs relatives des nombres m, n e t p , ou ce qui revient au même, sur les relations des
projections' de parties égales des axes.
Si l'on prend
m s s n s s p, d'où il résulte
a s s ß s s 7 et 9 z=x = ^
les trois dimensions principales de l'objet à représenter, c'est à dire
celles qui ont la même direction que les axes, sont également raccourcies et Ton dit alors que la projection est isométrique.
Si Ton prend
m s s p ^ n, d'où il résulte
a = 7 > ß et cp = x ^ 4*
deux des dimensions principales de l'objet seront raccourcies sur
la projection dans le même rapport, la troisième dimension est
raccourcie dans une autre proportion. On a alors une projection
monodimétrique ").
*) La projection serait encore monodimétrique si l'on avait pris
m ss n ^
Seulement l'hypothèse
ou n r s p j : m
m s p ^ u
est la plus usitée dans la pratique
—
34
—
Si enfin on prend
m o n ^ p, d'où il résulte
a > ß > 7 et ^ • > • *
> x
chacune des dimensions principales sera raccourcie en projection
d'après une échelle particulière, et la projection qui en résulte se
nomme une projection anisométrique.
APPENDICE.
Détermination des angles a, ß, yt <p, ij/, y en fonction des nombres m, n et p
an moyen du calcul trigonométrioue.
On ne manquera pas de reprocher à la méthode que nous avons
exposée peur déterminer les angles a, ^, 7, ^ , al/, % cte manquer
d'exactitude puisqu'on ne peut lui refuser d'être facile à comprendre,
simple et rapide. Cependant en réfléchissant au but de la détermination de ces angles, on sera amené à conclure qu'elle est,
sous le rapport de l'exactitude, préférable à toutes celles qu'on a
proposées jusqu'ici. H est vrai que par la trigonométrie on peut
ealeuler tous ces angles à ^ , J§Q de seconde près. Màis pour
appliquer ces résultats théoriques au dessin, poux construire entre
antres les angles (p, -ty et x, ce qui est indispensable, on est obligé
de reporter sur le papier ces angles calculés avec une si grande
approximation, au moyen de rapporteurs ou d'autres instruments
qui souvent ne donnent pas des résultats exacts S plus d'un degré
près; on peut donc, malgré le calcul le plus rigoureux, commettre
des fautes de 60 X 60 secondes.
En présence de ce fait, on est autorisé à croire qu'une détermination graphique exacte d'un pareil angle, a autant de valeur
que son calcul numérique, d'autant plus qu'elle permet de dessiner
cet angle à la place même ou l'on en a besoin. De même, la détermination des rapports de raccourcissement au moyen des sinus des
angles a, ß, y, ne présente en pratique aucune exactitude notable;
cette méthode est pénible et ennuyeuse pour le dessinateur. Dans
la seconde partie de cet ouvrage, où nous traiterons la pratique
du dessin axonométrique de la même manière que nous venons
d'exposer la théorie, nous donnerons un procédé pratique, d'une
—
Jo
—•
exécution facile et d'une exactitude suffisante, pour trouver les vrais
raccourcissements, dans le cas où l'on y attacherait quelque importance. Mais nous remarquerons, que, dans beaucoup d'applications
de l'axonométrie, on ne considère que les raccourcissements relatifs,
sans s'inquiéter des raccourcissements absolus.
La méthode, que nous proposons pour traiter l'axonométrie,
ne se recommande donc pas seulement comme une méthode naturelle, puisqu'elle résout géométriquement des problèmes de géométrie, — et ceux de l'axonométrie sont incontestablement de cette
espèce, — et les arrache du domaine de l'analyse qui leur est
étrangère, mais encore parceque, nous en sommes convaincus, elle
réunit les avantages de la facilité d'exécution et de l'exactitude.
Nous remarquerons seulement pour ceux qui veulent à tout prix
employer les calculs trigonométriques, que notre procédé permet
d'établir, presque sans aucun calcul, les formules qui expriment
les angles a, ß, y etc. en fonction de m, n et p. Nous renvoyons
le lecteur qui connaît la trigonométrie au §. 13; la figure 19 et la
relation connue
2d* = m 2 + n- + p*
lui feront voir qu'on peut immédiatement écrire:
DE _ in
sin a
ÏÏD — d
sm
^=ÖD = T>
DG _
sin 7 z=z OD —
{I)
p
d
OE
1 /Ti
72
cotg a s s - — = — yd"
—- m2
DE
m r
OF
cotg ß = -jjp =s — tfd* - n* ) (II)
OG
,2
= DG = 7
^d*-P
La figure 5 (§. 5), fait trouver avec une égale facilité, en résolvant trigonométriquement les angles solides 0 0 2 Y Z , OOiXZ
et OOjXY, qui ont le sommet commun O et les angles plans BOC,
CO A et AOB droits:
cos cp s s ~- cotg ß cotg 7 i
cos $ = ~ cotg a cotg 7 / (III)
cos x — *~ C0*S a c o t S £ '
C O t g r
_
:jü
_
En substituant les valeurs trouvées plus haut, pour cotg u,
Cotg $ et cotg 7, on trouve:
cos < p - = _ - L
cos 4 =
cos x =
j/(d*-~n<) (d*-p<)
~ y\d*-m*) (d*-p 2 ) V (1Y)
mp
'
1
— y(d--m*) (d*-n*)
Remarque. Les formules (S) pour cos <pj cos 4' et cos X> peuvent se
trouver sans avoir recours à la trigonométrie sphérique, en résolvant —
comme le propose le professeur Weissbach — les triangles plans BO A C,
C O i A , A O i B ainsi que les triangles rectilignes B O C , CO A et A O B , et
en observant que:
O O i ^ AO. cos a ST. BO. cos ß = CO. cos y.
NB. P a g e ' 2 9 , fig.•'18,"la lettre D ' a été gravée à rebours, le lecteur
est prié d'y faire attention.
Fraueufeld.
Typographie de Jacques Huber.