Réécritures dans I`algébre de Lie libre - LaCIM

Publications du Laboratoire de
Combinatoire et d’
Informatique
Mathématique
8
Guy Melançon
Réécritures dans I’algébre de Lie libre,
le groupe libre et l’algèbre associative libre
Département de mathématiques et d’informatique
“!Il Université du Québec B Montréal

Responsable de la collection:
Sre&o Brlek
LAC34
Université du Québec à MontrrZal
C.P. 8888, SU~C. A
Montr6al, Qc.
canada H3c 3P8.
e-mail: [email protected]
Ce num6ro constitue la publication d’une th5se soutenue devant jury. pour l’obtention du Ph.D.
Composition du Jury
P.M.COHN University Colleege. London
A. JOYAL UIZAM,
P.LEROUX VQAMt
c.IWJTENAUER UQAM,Directeur
D. THÉRIEN Mc Gill University
D@ôt Egal. deuxii?me semestre 199 1, BiblioWque nationale du Qu&e~.
ISBN 2-89276-094-l LACIM Montréal
0 LACIM, Montr&tl, Septembre 1991.
Laboratoire de combinatoire et d’informatique math6matique
Département de math6matique.s et d’informatique
Université du Québec à Montréal
C.P. 8888, SU~C. A
Montrt%l, Qc.
canadaH3c3P8

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL
THÈSE PRÉSENTÉE
COMME EXIGENCE PARTIELLE
DU DOCTORAT EN MATHÉMATIQUES
PAR
GUY MELANÇON
RÉÉCRITURES DANS L’ALGÈBRE DE LIE LIBRE,
DANS LE GROUPE LIBRE ET
DANS L>ALGÈBRE ASSOCIATIVE LIBRE
AVRIL 1001

Résumé
On élabore des systèmes de réécriture et on les applique à la théorie et aux calculs
effectifs dans certaines structures algébriques libres.
Dans le monoide libre, on étudie une famille de factorisations complètes; les mots d’une
telle factorisation sont appelés des ‘mots de Hall’. Le système de réécriture qu’on y
développe permet d’effectuer le calcul de la factorisation (unique) en produit de mots
de Hall des mots du monoïde libre. Nous l’utilisons aussi pour montrer d’importantes
caractérisations des mots de Hall, qui n’étaient connues que dans le cas où la factorisation
est ‘celle formée des ‘mots de Lyndon’.
On fait ensuite l’étude détaillée, dans l’algèbre de Lie libre, du redressement des bases de
Hall généralisées, à l’aide du système de réécriture développé dans le monoide libre. Une
version adaptée de ce système de réécriture nous permet de faire un travail analogue dans
le groupe libre. Dans ce contexte, on montre que les éléments du groupe libre s’écrivent
de façon unique comme produit de certains commutateurs. On donne aussi des identités
pour calculer les multiplicités de ces commutateurs dans la décomposition d’un élément
du groupe libre.
On met au point des algorithmes de calcul des bases standard des idéaux à droite
dans l’anneau des polynômes non commutatifs. Une des principales applications de nos
résultats est de rendre effectif le travail avec les idéaux et dans le quotient de l’anneau
par un idéal. Les résultats sur les idéaux sont ensuite généralisés aux modules à droite
sur l’anneau des polynômes non commutatifs.

Remerciements
Je tiens à remercier:
Monsieur P. M. Cohn pour l’honneur et le plaisir qu’il me fait en acceptant de se
joindre au jury de cette thèse.
Mon directeur C. Reutenauer, qui m’a amené à la combinatoire des mots. Je lui suis
reconnaissant pour tout le temps qu’il m’a dédié et pour ses encouragements constants
durant les années d’étude et de recherche qui m’ont conduit à la rédaction de cette
thèse.
Messieurs A. Joyal, P. Leroux et D. Thérien de s’être intéressés à ce travail et d’avoir
accepté de faire partie du jury.
Je remercie aussi les membres de l’équipe du LaCIM de leur soutien et leurs encourage-
ments tout au long de ce travail.
Enfin, cette thèse n’aurait pas vu le jour si je n’avais été chaudement entouré des membres
de ma famille: Milicska, Maya et Elie.
Je dédie ce travail à mes parents.