"d hystérésis"

Approximation plate d'un
système hybride à hystérésis
J.-C. Jolly
LISA – 23/06/2009

Système hybride à hystérésis
( ) ( )
Cas général :
,
,
X f X q
LX q q
ξ ξ
=
= =
ɺ
0 1
Variable d'hystérésis , seuils ,
q H H
q
0
H
1
H
ξ
0
1
(
)
(
)
( ) ( )
( )
1 1
Suite des instants de commutations : , = solution implicite de , 0,1
Suite des durées entre commutations : , , implicite
Suite des états correspondants :
n n
n n n i
n
n n n n q n q
n
nn
t t LX t H i
t t X
X
σ σ ψ ψ
∈
− −
∈
∈
− = =
− = − =
−
ℕ
ℕ
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
1
1 1
1 0
0 1
, , , ,
Soit . Comme alterne entre 1 et 0, on a ou .
Le couple , est le système discret qui pilote le système hybride à hystérésis.
n n n n n
n n n n
n q n n q n q q q
q q q n n q
X g X G X G g
h G G q q t h h h
h h
σ ψ
−
− −
+
= = ⋅ = ⋅ ⋅
− = = =
−
ℕ

Réponses
( )
( )
( )
0 1 0 1
0 1
La réponse fréquente est un 1-cycle lim
ite
correspondant à un point fixe , de , ,
et des temps de cycle ,
X X h h
σ σ
−
(
)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 1 2 1
00 1
1 2 2 3 1 0
0 0 0
2 1 2 2 2 2 3 1
1 1 1
Une réponse plus générale est un cycle
limite , , ,
correspondant à un point fixe , de , ,
avec ,
et des temps de cy
n
n n n
n n n n
n n n n n
n X X X
X X h h
X h X h X h X
X h X h X h X
−
− − − −
− − − −
− −
= = = =
= = = =
…
⋯
⋯
( )
0 1 2 1
cle , , , n σ σ σ
−
…
On peut aussi observer un comportement
chaotique
−

Méthode dans le cas linéaire
( )
( )
n
1
q
0 1
0 1
Intégration exacte entre et
Détermination numérique des temps de cycle (Newton)
Calcul des points fixes de , détermination des cycles limites
Jacobienne de , , multi
n
n n q
n n
t t g
h h n
h h
ψ
−
−⇒
−⇒
−⇒−
−plicateurs caractéristiques stabilité de
s cycles limites
Dérivées d'ordre supérieur conditions suffisantes de bifurcation
n⇒−
−⇒
Cette méthodologie devient inopérante dè
s que l'on perd l'intégrabilité exacte,
ce qui est le cas général en non-linéaire.

Cas non-linéaire :
linéariser n’a pas de sens
0 2 1
*
Un cycle est défini par 2 points , , .
Il n'y a pas de critère de choix d'un po
int plutôt qu'un autre
pour le voisinage de linéarisation.
n
n n X X
X
−
− −
…
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
* * * 2 *
L'approximation par un développement li
mité
1
, , ,
2
d'ordre élevé est hors de portée.
X f X q Df X q X X D f X q X X
−
= + − + − +
ɺ
i i ⋯
( )
( )
( )
( )
( )
( )
* *
0 1
0 1
Le système discret associé au système l
inéarisé , , n'est pas
,
le linéarisé du système discret associé au système initial , .
,
f
X f X q X q X X
X
h h X f X q
X X
∂
− = + −
∂
∂=
∂
ɺ