"d hystérésis"

Approximation plate d'un
système hybride à hystérésis
J.-C. Jolly
LISA – 23/06/2009
Système hybride à hystérésis
Cas général :
 Xɺ = f ( X , q )

ξ = LX , q = q (ξ )
Variable d'hystérésis q, seuils H 0 , H1
q
1
0
H0
H1
ξ
− Suite des instants de commutations : ( tn )n∈ℕ , tn = solution implicite de LX ( tn ) = H i , i = 0,1
− Suite des durées entre commutations : (σ n ) n∈ℕ ,σ n = tn − tn−1 = ψ qn ( X n−1 ) ,ψ qn implicite
(
− Suite des états correspondants : ( X n )n∈ℕ , X n = g qn (σ n , X n−1 ) = Gqn ( X n−1 ) , Gqn ( ⋅) = g qn ψ qn ( ⋅) , ⋅
− Soit hqn = Gqn Gqn−1 . Comme qn = q ( tn + ) alterne entre 1 et 0, on a hqn = h1 ou h0 .
− Le couple ( h0 , h1 ) est le système discret qui pilote le système hybride à hystérésis.
)
Réponses
− La réponse fréquente est un 1-cycle limite
correspondant à un point fixe ( X 0 , X 1 ) de ( h0 , h1 ) ,
et des temps de cycle (σ 0 ,σ 1 )
− Une réponse plus générale est un n − cycle limite ( X 0 , X 1 ,…, X 2 n−1 )
correspondant à un point fixe ( X 0 , X n ) de ( h0 n , h1n ) ,
 X n−1 = h0 ( X n−2 ) = h0 2 ( X n−3 ) = ⋯ = h0 n−1 ( X 0 )

avec 
,
2 n −1
2 n−2
2
2 n −3
n −1
n
= h1 ( X
) = h1 ( X ) = ⋯ = h1 ( X )
 X
et des temps de cycle (σ 0 ,σ 1 ,…,σ 2 n−1 )
− On peut aussi observer un comportement chaotique
Méthode dans le cas linéaire
− Intégration exacte entre tn−1 et tn ⇒ g qn
− Détermination numérique des temps de cycle (Newton) ⇒ ψ qn
− Calcul des points fixes de ( h0 n , h1n ) ⇒ détermination des n − cycles limites
− Jacobienne de ( h0 , h1 ) , multiplicateurs caractéristiques ⇒ stabilité des n − cycles limites
− Dérivées d'ordre supérieur ⇒ conditions suffisantes de bifurcation
Cette méthodologie devient inopérante dès que l'on perd l'intégrabilité exacte,
ce qui est le cas général en non-linéaire.
Cas non-linéaire :
linéariser n’a pas de sens
− Un n − cycle est défini par 2n points X 0 ,…, X 2 n−1.
Il n'y a pas de critère de choix d'un point X * plutôt qu'un autre
pour le voisinage de linéarisation.
− L'approximation par un développement limité
2
1
Xɺ = f ( X * , q ) + Df ( X * , q )i( X − X * ) + D 2 f ( X , q )i( X − X * ) + ⋯
2
d'ordre élevé est hors de portée.
∂f
− Le système discret associé au système linéarisé Xɺ = f ( X * , q ) +
( X , q ) ( X − X * ) n'est pas
∂X
∂ ( h0 , h1 )
le linéarisé
du système discret associé au système initial X = f ( X , q ) .
0
1
∂( X , X )
Application considérée : système à deux bacs
 xɺ1 = sk x2 − x1 − c


 xɺ2 = − sk s ( x2 − x1 ) + qd
C
D
K
où c = , d = , k = ,
S
S
S
s = s ( t ) = sign ( x2 ( t ) − x1 ( t ) ) , q = q ( x2 ( t ) ) .
Solution exacte
 y1 = x1 + x2

 y2 = x2 − x1
 yɺ1 = qd − c ⇔ y1 ( t ) = y1n + ( qd − c )( t − tn ) sur [tn , tn+1 ]

( 2)
 yɺ 2 = −2 sk sy2 + qd + c
(1)
 yyu' = y − β s ,q ,
t

Résolution de ( 2 ) : u = − , y ( u ) = sy2 ( t ) , ( 2 ) ⇔ 
( 3) ,
s
k
( qd + c )
 β s ,q =
2k

(équation d'Abel de la première forme)
v = − β s ,q u, ( 3) ⇔ yyv' = −
ξ = y+
v
β s ,q
,
y
β s ,q
+ 1 ( 4),
 ξ
1
1
v
'
'
y
v
v
=
+
,
4
⇔
=
−
⇔
=
exp
ξ
α
(
)
 −
v
ξ
β s ,q
β s ,q
vξ'
 β s ,q
On a trouvé : y = ξ −
v
β s ,q
t = −ku = −k ( y − ξ ) =
=−
kv
β s ,q

2
 + β s ,qξ − β s ,q

 ξ 
α
exp  −
+ β s ,q ,
 β 
β s ,q
s ,q 

 α
 ξ
= k
exp  −
 β
 β s ,q
 s ,q



−1
ξ
β
+
−

s ,q  = f s ,q ( ξ ) , ξ = f s ,q ( t ) ,



et donc
2
−1





f
t
(
)
α
s ,q
2
exp  −
 y2 = sy = s 
 − β s ,q 
 β
 β s ,q
 , qui est défini à l'inversion près de f s ,q .

s ,q 




α constante d'intégration réelle
( 5)
Relation remarquable des temps de 1-cycle
Relation entre σ 0 ,σ 1 :
(1) ⇒ y1n+1 = y1n + ( qn d − c )σ n ⇔ x1n+1 = x1n + ( qn d − c )σ n − ( xn2+1 − xn2 ).
Or on a xn2+1 − xn2 = ( 2qn − 1) ∆H , ∆H = H1 − H 0 , d'où
 x1n+1   x1n 
 dσ n + 2∆H   ∆H + cσ n 
=
+
q
 2   2  n 
−
 . En composant avec le rang suivant, on a :
2
∆
H
∆
H

 

 xn+1   xn 
 x1n+ 2   x1n   d ( qnσ n + (1 − qn )σ n+1 ) − c (σ n + σ n+1 ) 
 . La condition de 1-cycle donne :
 2  =  2  + 
 xn+ 2   xn   0

cσ 1 = ( d − c ) σ 0
q =1
q=0
c* , d ( t )
c (t ), d *
Sortie plate
t2 = σ 0 + σ 1
t0 = 0
t1 = σ 0
t3 = 2σ 0 + σ 1
Sortie plate x1 sur 0,σ 0  :
•
Condition de continuité en t0 ( ou t2 ) et t1 pour x2 :
2
2
2
s
s
s
x01 + 02 ( xɺ01 + c* ) = H 0 , x11 + 12 ( xɺ11 + c* ) = H1
(1) ⇒ x2 = x1 + 2 ( xɺ1 + c* )
(7)
k
k
k
s


xɺ1 + xɺ2 = d − c* ⇒ d = 2  xɺ1 + 2 ɺɺ
x1 ( xɺ1 + c* )  + c*
k


•
Sortie plate x2 sur σ 0 ,σ 0 + σ 1  :
s
2
( 2 ) ⇒ x1 = x2 − 2 ( xɺ2 )
k
s 

xɺ1 + xɺ2 = −c* ⇒ c = −2 xɺ2 1 − 2 ɺɺ
x2 
 k

•
•
Condition de continuité en t0 ( ou t2 ) et t1 pour x1 :
s0 2 2 1
s1 2 2
ɺ
x
,
x
=
H
−
(
)
( xɺ1 ) ( 6)
0
1
1
k2
k2
 d ( t ) ≥ 0 sur 0,σ 0 



Contraintes : 
0
0
1
c ( t ) ≥ 0 sur σ ,σ + σ 
x10 = H 0 −
•
(8)
Approximation par un polynôme d’Hermite
•
p0,0
Sur 0,σ 0  : x1 = x10 p0,0 + x11 p1,0 + xɺ10 p0,1 + xɺ11 p1,1
 t −σ 0 
=

0
 σ 
2
2

 t −σ 0  t 
t  t −σ 0 
 t  
1 − 2 
 0  , p1,0 =  0  1 − 2 0 
,
0
0
σ
σ
σ
σ
σ
  

 



2
 t −σ 0 
0  t 
σ
p0,1 = t 
,
p
=
t
−
(
)  σ 0  .
 1,1
0
σ


•
Formules analogues pour x2 sur σ 0 ,σ 0 + σ 1  . Compte tenu de x02 = H 0 ,x12 = H1 ,
2
il reste 6 paramètres x10 ,x11 ,xɺ10 ,xɺ11 ,xɺ02 ,xɺ12 soumis aux contraintes égalité ( 6 ) , ( 7 ) , ( 8 ) .
Cela fait 2 paramètres libres, mettons xɺ02 ,xɺ12 , avec des conditions de domaine.
•
Critère : J ( c, d ) = ∫
σ0
0
( d (t ) − d )
* 2
dt + ∫
σ 0 +σ 1
σ0
(c (t ) − c )
* 2
dt
Résultats
Sur 0,σ 0  :
H1 = 11
H 0 = 10
d = 0.125
*
x2 ( t )
d (t )
•
Par simulation : x10 =9.77, x11 = 9.79,σ 0 =9.75,σ 1 =55.5
•
•
Résultat graphique insatisfaisant.
Difficultés :
− valeur de s ;
− signe de c ( t ) , d ( t ) ;
•
− augmenter le nombre de points pour améliorer la satisfaction du critère.
Pire : la convergence des dérivées de x1 , x2 n'est pas assurée ... ?
Les polynômes d'Hermite ne semblent pas adaptés à l'approximation plate.