Effet de la Dispersion Modale d`une Fibre Optique Multimode dans

SETIT 2009
5th International Conference: Sciences of Electronic,
Technologies of Information and Telecommunications
March 22-26, 2009 – TUNISIA
Effet de la Dispersion Modale d’une Fibre Optique
Multimode dans le Contexte d’un Réseau Local
Hichem MRABET*, Iyad DAYOUB** et Rabah ATTIA*
* Ecole Polytechnique de Tunisie EPT, BP 743-2078, La Marsa, Tunis Tunisie
[e-mail]
[e-mail]
** UHVC-IEMN/DOAE (CNRS UMR 8520), Le Mont Houy 59313 Valenciennes Cedex 9, France
[e-mail]
Résumé: On se propose, dans cet article, d’étudier le phénomène de la dispersion modale d’une fibre multimode à
gradient d’indice à base de silice en fonction des paramètres de la fibre et des conditions d’injection dans le contexte
d’un réseau local.
Nous avons montré que le profile d’indice de la fibre a un impact sur la fonction du transfert modal. Toutefois, on peut
trouver de bons résultats, en choisissant une valeur appropriée du profil d’indice et en réalisant des conditions
d’injection optimales d’un signal en bande de base à l’entrée de la fibre multimode à base de silice.
Mots-clés: Fibre optique multimode, dispersion modale, réseau local.
INTRODUCTION
Aujourd’hui, les fibres optiques sont devenues un
support de transmission très fiable et qui offrent une
large bande passante à exploiter pour le transfert des
données multimédia.
On distingue deux types de fibres optiques à savoir
les fibres monomodes (SMF) caractérisées par une
faible fenêtre de perte pour les longueurs d’onde au
voisinage de 850, 1300 et 1550nm, utilisées pour les
connexions à longue distance pouvant atteindre une
dizaine de kilomètres et les fibres multimodes (MMF)
qui possèdent une bande passante de l’ordre de 5.2
GHZ pour le standard 802.11a et qui opèrent dans un
rayon de quelques centaines de mètres [5].
En pratique, les fibres optiques multimodes sont
utilisées pour les réseaux de courtes distances, tels que
les réseaux locaux (LAN) et les réseaux de stockage
(SAN).
On distingue deux types de fibres multimodes
standard opérant à 850nm et à 1300nm, à savoir les
fibres MMF de diamètre 62.5/125mm de portée
typique 300m et les fibres MMF de diamètre
50/125mm de portée typique 550m. Dans ce
développement, on va s’intéresser aux fibres MMF de
diamètre 50/125mm utilisées dans les réseaux optiques
qui s’appuient sur le protocole Ethernet, Fibre
Channel, FDDI, ATM, et le protocole Token Ring.
Les fibres optiques MMF sont plus faciles à
utiliser grâce à leurs larges dimensions qui offrent une
souplesse dans le câblage et la connexion par rapport
aux fibres SMF.
Cependant, les fibres multimodes permettent la
propagation de plusieurs groupes de modes. Chaque
groupe de mode se propage avec une constante de
propagation, entraînant le phénomène de la dispersion
modale, dû aux différentes vitesses de propagation de
ces groupes de mode.
L’objectif de cet article est l’étude de l’effet de la
dispersion modale des fibres multimodes à gradient
d’indice à base de silice dans le contexte d’un réseau
local LAN, à partir d’un modèle mathématique
approuvé [1,2].
Les paramètres du modèle de la dispersion modale
d’une fibre MMF dépendent de plusieurs facteurs,
notamment la dispersion du matériel, la source
utilisée, les conditions d’injection et les paramètres
relatifs aux modes.
Dans ce travail, on va focaliser notre attention sur
les paramètres qui dépendent des modes, en
l’occurrence, le délai de propagation modale,
l’atténuation modale et le coefficient de couplage ainsi
que les conditions d’injection de la lumière dans la
fibre.
Cet article est organisé comme suit : tout d’abord
on va présenter le modèle de la dispersion modale qui
se base sur la résolution de l’équation de la puissance
modale ainsi que la définition de ces différents
- 1 -

SETIT2009
paramètres.
Dans une seconde partie, on va présenter les
résultats de simulation de la réponse impulsionnelle de
la fibre optique MMF en prenant en considération la
dispersion modale, ainsi on va discuter les résultas
obtenus.
1. Modèle de dispersion
1.1. Puissance modale
On considère une fibre MMF à gradient d’indice
de profil a et d’indice de réfraction décrit par:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥λ∆−λ
≤≤λ∆−λ
=λ
α
ar)](21)[(n
ar0])
a
r
)((21)[(n
),r(n
2/1
1
2/1
1 (1)
Avec r est la distance à partir du centre du cœur de
la fibre, est le pic de l’indice de réfraction du
cœur, est la longueur d’onde centrale dans l’espace,
a est le rayon du cœur de la fibre et est la
différence d’indice normalisée.
)(n1λ
λ
)(λ∆
L’indice de réfraction des fibres à base de silice est
décrit par l’équation de Selleimer:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
λ−λ
λ
+
λ−λ
λ
+
λ−λ
λ
+=λ )(
A
)(
A
)(
A
1)(n
2
22
2
2
1
22
2
1
0
22
2
0
2
1 (2)
Avec A0, A1, A2, 0 λ,et sont les paramètres de
l’équation de Selleimer.
1
λ2 λ
Les fibres optiques multimode supportent un
nombre fini de modes qui sont les solutions
particulières de l’équation de Maxwell. Les modes
guidés qui se propagent dans la fibre sont groupés en
familles, les modes d’une famille se propagent avec la
même constante de propagation.
A partir de l’analyse WKB, la constante de
propagation modale peut être approximativement
dérivé par l’expression suivante [6] :
2/1
2
2
1)
)(M
m
)((21
)(n
2),m( ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
λ
λ∆−
λ
λ
π=λβ +α
α
(3)
Avec m est le nombre de mode principal et
est le nombre de groupes de modes qui peut être
potentiellement guidés dans la fibre.
)(M λ
Le paramètre m est appelé le nombre de mode
principal, c’est un paramètre entier discret qui varie de
l’unité au nombre total de groupes de modes. Le
nombre de mode principal peut être caractérisé par un
nombre de mode radial et un nombre de mode
azimutal
µ
ϑ
et donc peut s’écrire sous forme [7] :
ϑ+µ= 2m (4)
Le nombre total de groupes de modes qui se
propagent dans une fibre MMF est donné par [1] :
2/1
1
2
)(
)(n
a2)(M ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+α
λ∆α
λ
λ
π=λ (5)
La fonction du transfert d’une fibre MMF peut être
modélisée comme étant le produit de deux fonctions
de filtre [2] :
)w,z,(H)w,z,(H)w,z,(H alemodeechromatiquMMF λλ
=
λ
(6)
Avec )w,z,(H echromatiqu
λ
et représente
respectivement la dispersion chromatique et la
dispersion modale de la fibre MMF, z est la longueur
de la fibre et w est la fréquence angulaire. Dans ce
travail on s’intéresse uniquement à la dispersion
modale.
)w,z,(H alemod λ
La fonction du transfert modal de la fibre MMF
peut être décrite par l’équation suivante [1] :
∫λℜ=λ
1
0
x
alemod dx)w,z,,x(x2)w,z,(H (7)
x étant le nombre de groupes de modes normalisés
défini par [1] : )(M
m
xλ =
)w,z,,x(
λ
ℜ
est défini comme étant la distribution
de puissance modale, en fonction du nombre de
groupes de modes normalisés(x), la longueur d’onde
centrale (
λ
), la longueur de la fibre (z) et la fréquence
angulaire (w).
La distribution de puissance modale dans le
domaine de Fourier est décrite par l’équation
différentielle suivante [1]:
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
λ∂ℜ
λ
∂
∂
+
λℜλγ+λτ−=
∂
λ
∂
ℜ
x
)w,z,,x(
),x(xd
xx
1
)w,z,,x(),x(),x(iw
z
)w,z,,x(
(8)
La résolution de l’équation de la puissance modale
passe par la définition des paramètres qui dépendent
des modes à savoir ),x( λ
τ
qui est le délai modale,
- 2 -

SETIT2009
),x( λγ est l’atténuation modale et est défini
comme étant le coefficient de couplage ainsi que des
conditions d’injection de la lumière dans la fibre. Par
la suite, on va étudier ces différents paramètres :
),x(d λ
1.2. Délai modal
Le délai modal est défini comme étant la
différence de temps de propagation des différents
modes qui se propagent dans une fibre optique
multimode.
Le délai modal peut dériver à partir de la définition
suivante [1]:
)(
C2
),x(
2
λβ′
π
λ−
=λτ (9)
Avec est le dérivé de la constante de
propagation par rapport à la longueur d’onde et C est
la vitesse de la lumière dans le vide.
)(
'λβ
Le calcul donne la valeur suivante [1] :
[]
2/1
2
2
2
2
1x)(21x
2
)(e4)(
1
c
)(N
),x(
−
+α
α
+α
α
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡λ∆−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+α
λ+λ∆
−
λ
=λτ (10)
N1(λ) est l’index du groupe de modes et e(λ) est
défini comme étant le paramètre du profil de
dispersion. Ils ont pour expression [2]:
)(n)(n)(N 111 λ
′
λ−λ=λ (11)
)(
)()(N
)(n2
)(e
1
1λ∆′
λ∆
λ
λ
λ−
=λ (12)
Pour le cas de la fibre à base de silice pure, en
connaissant les paramètres A0, A1, A2, , et
0
λ1 λ2
λ
de
l’équation de Selleimer, le calcul du dérivé de )(n1
λ
et de par rapport à a donné les expressions
suivantes :
)(λ∆ λ
1
1
2
2
22
2
22
2
1
22
2
11
2
0
22
2
00
1)](n].[
)(
A
)(
A
)(
A
[)(n − λ
λ−λ
λ
+
λ−λ
λ
+
λ−λ
λ
λ−=λ
′
(13)
)](n2)21(1[
)1)(n)((n
)(n
)( 1
4/1
11
1λ∆−∆−−
−λλ
λ
′
=λ∆′ (14)
D’où, en injectant les équations (13) et (14) dans
(11) et (12), on trouve les expressions de l’index du
groupe de modes et le paramètre du profil de
dispersion respectivement comme suit :
1
1
2
2
22
2
22
2
1
22
2
11
2
0
22
2
00
2
11 )](n][
)(
A
)(
A
)(
A
[)(n)(N − λ
λ−λ
λ
+
λ−λ
λ
+
λ−λ
λ
λ+λ=λ (15)
)](n2)21(1[
)1)(n)((N
)(n2
)(e 1
4/1
11
1λ∆−∆−−
+λλ
λ
′
λ−
=λ (16)
L’équation du délai modal est déduite en
remplaçant les valeurs de l’index du groupe de mode
et le paramètre du profil de dispersion dans l’équation
(10).
La figure suivante représente la variation du délai
modal en fonction du nombre de mode principal(x)
pour 3 valeurs de profil d’indice et lorsque la longueur
d’onde utilisée est égale à 850nm :
Figure 1 : Délai modal en fonction du nombre de
mode principal pour . nm850=λ
On constate d’après la figure 1 que lorsque le
profil d’indice de la fibre α augmente, le délai modal
augmente. On peut conclure que ce dernier est un
facteur déterminant pour le calcul du délai modal.
1.3. Atténuation modale
L’atténuation modale est due à l’absorption, les
pertes à travers les réflexions au niveau de l’interface
cœur gaine de la fibre multimode.
En effet, les mesures montrent que l’atténuation
modale est en fonction du numéro du mode normalisé
x, sauf un minimum de numéro qui sont près de
l’origine. Cependant, lorsque l’ouverture numérique
est petite ou la longueur d’onde utilisée est élevée,
l’atténuation modale croit d’une façon graduelle. Pour
cette raison, on va utiliser une longueur d’onde
relativement faible afin de réduire l’atténuation
modale.
Depuis que les fibres de verre à base de silice sont
utilisées autour des longueurs d’ondes 850, 1300 et
1550nm pour lesquelles l’atténuation modale doit
grandir avec l’ordre de mode, l’atténuation modale
peut s’exprimer par la relation suivante [1] :
- 3 -

SETIT2009
])xx([I)()(),x( 2
2
000
+α
α
ρ−ηλγ+λγ=λγ (17)
Avec : L’atténuation des modes d’ordre
inférieure qui traduit l’atténuation intrinsèque de la
fibre pour la longueur d’onde
)(
0λγ
λ
, est définit comme
étant la fonction de Bessel modifiée d’ordre ρ et
p
I
η
est
une Constante de poids, elle est égale à 7.35.
D’après la formule (17), on remarque que les
modes d’ordre supérieur subissent l’atténuation
modale plus que les modes d’ordres inférieures.
La figure suivante représente la variation de
l’atténuation modale en fonction du nombre de mode
principal(x) pour une longueur d’onde égale à 850
nm :
Figure 2 : Atténuation modale en fonction du nombre
de mode principal pour . nm850=λ
On remarque, d’après la figure 2, que le profil
d’indice de la fibre n’a pas d’incidence sur la variation
de l’atténuation modale et l’allure de la courbe est
celle de la fonction de Bessel modifiée d’ordre 9.
L’atténuation modale a atteint une valeur de 4
dB/km lorsque Mr Yabre[1] a utilisé une longueur
d’onde égale à 1300nm, par contre dans notre cas avec
une longueur d’onde égale à 850nm cette valeur est
égale à 0.55 dB/km même lorsque x atteint son
maximum.
1.4. Coefficient de couplage
Le couplage entre les modes guidés dans une fibre
optique MMF est le résultat des causes internes et
externes.
Dans ce développement, on considère les
perturbations externes comme une source dominante
du couplage modal.
Le couplage modal est causé par les forces
extérieures qui peuvent provoquer de petites
déformations. Ceci peut se produire lors du câblage,
transport et stockage des fibres optiques.
Le coefficient de couplage de mode peut varier en
fonction des diamètres de la fibre a et b et en fonction
de la longueur de déformation rms h [1] :
)]2/()3(2[2
3
42
sx
)(
2
)
b
a
()
b
h
(C),x(d +α−α−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
λ∆α
+α
=λ (18)
Cs est défini comme étant la constante de couplage
de mode, cette constante a une valeur mesurée de
l’ordre de 6.510-5km-1, ainsi h est pris égal à m1
µ
.
La figure suivante représente la variation du
couplage de mode (d) en fonction du nombre de mode
principal(x) pour une longueur d’onde égale à 850
nm :
Figure 3 : Coefficient de couplage en fonction du
nombre de mode principal pour nm850=λ
On constate, d’après la figure 3 qu’il y a un point
commun pour les différentes valeurs du profil d’indice
lorsque x est égal à 0.54 qui donne une valeur de
coefficient de couplage égal à 4.610-7.
Pour les valeurs du nombre de mode principal
inférieure à 0.54, on remarque que le coefficient de
couplage est proportionnel au profil d’indice. Par
contre, lorsque le nombre de mode principal est
supérieur à 0.54 le coefficient de couplage est
inversement proportionnel au profil d’indice.
2. Condition d’injection
On considère ici une excitation axiale des fibres
multimodes avec un spot gaussien, dans
l’approximation que l’axe de la fibre est aliéné avec
l’axe du spot et que la surface est bien positionnée
dans le plan focal.
L’ouverture numérique (O.N) des fibres de verre
est comprise entre (0.16-0.65), l’ouverture numérique
du spot gaussien est donnée par l’expression suivante
[2]:
w
)SG(N.O π
λ
=
(19)
- 4 -

SETIT2009
Avec w est le rayon du spot gaussien.
La distribution modale initiale joue un rôle
important dans la détermination de la réponse de la
fibre, même si le nombre de groupes de mode
initialement excités n’est pas pris en compte dans le
modèle mais il est inclus dans les paramètres du spot.
On peut assuré que lorsque le rayon du spot
gaussien est assez large, l’ouverture numérique du
rayon gaussien est petite devant l’ouverture numérique
locale au rayon w.
Dans ce dernier cas, le nombre de groupes de
modes excités par le rayon gaussien est [2]:
[]
)2/()2(
2
1
2
1
2
2
SG w
)()(n2
a
w
)(M)(M
α+α
−
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛λ
λ∆λπ+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
λ=λ (20)
Un rayon optimal du spot existe pour exciter un
petit nombre de groupe de mode est calculé en
fonction du dérivé du nombre de groupes de modes
excités par rapport au rayon du spot gaussien (
0w
w
)(M
opt
SG =
∂
λ∂ ).
Le rayon optimal est donné par l’expression
suivante [2]:
)2/(2
1
2/
)2/(1
opt )(n
a
)]([
1
w
+α
α
+α ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
λπ
λ
λ∆α
= (21)
La figure suivante représente l’évolution du
nombre de groupe de mode excité en fonction du
rayon du spot gaussien utilisé (w) pour la longueur
d’onde 850nm et en variant αde 1.8 à 2.2:
Figure 4 : Nombre de groupes de modes excités en
fonction du rayon du spot pour λ=850nm.
D’après la figure 5, le profil d’indice n’a pas
d’incidence sur le nombre de groupes de modes
excités. On constate aussi que lorsque le rayon du
spot gaussien augmente le nombre de groupe de mode
excités devient important.
Dans notre contexte, pour une longueur d’onde
égale à 850nm utilisée dans un réseau de type LAN et
un rayon du spot gaussien de 10µm et d’après la
formule (19) on obtient une O.N du rayon gaussien de
l’ordre de 0.27 qui est incluse dans l’ouverture
numérique des fibres multimode (0.16-0.65).
L’excitation de la fibre multimode peut être
réalisée avec une source contenant un module de fibre
optique monomode et employant un laser classique de
type « Fabry–Perot » qui émet à une longueur d’onde
de 850nm [3,11].
3. Résultats de simulation
Nous considérons que la fibre est excitée par un
spot gaussien de rayon 10µm et d’une longueur
d’onde centrale égale à 850 nm pour trois valeurs de
profil d’indice égales à 1.8, 2 et 2.2.
Le calcul de la puissance modale a été effectué en
traduisant l’équation différentielle en un format
matriciel en utilisant un schéma de « Crank-
Nicholson » qui nous donne une solution convergente
comparée à d’autres méthodes différentielles
ordinaires. Ainsi, la puissance modale est obtenue en
utilisant une intégration numérique, basée sur la
discrétisation des variables x et z.
Considérons hx et hz des pas de segmentation des
variables x et z respectivement, l’équation de
puissance modale )w,z,,x(
λ
ℜ
peut être remplacée
par )w,z,,x( kjk,j
λ
ℜ
=
ℜ
avec x0j jhxx
+
=et
zk khz
=
.
La valeur de k,j
ℜ
peut être calculée pour déduire la
fonction de transfert modal de la fibre MMF en faisant
une approximation de la formule (5) par une méthode
d’intégration numérique. Dans notre développement,
nous avons utilisé une intégration de type « adaptive
Simpson quadrature » pour la simulation de la réponse
fréquentielle.
Pour ce calcul, les conditions initiales et conditions
aux limites doivent être spécifiées. On se limite dans
le cas où l’énergie est couplée d’une manière uniforme
à tous les modes dans le point d’entrée de la fibre.
Avec cette considération, la distribution initiale de la
puissance modale peut être prise égale à l’unité pour
chaque mode.
La valeur de la différence d’indice normalisée dans
notre simulateur est pris égale à , la fréquence
utilisée par kilomètre est égale à 500 MHZ/Km, ainsi
la longueur de la fibre est pris égale à 500 mètres dans
une première étape et 2 Km dans une deuxième étape.
101.0 p
Le simulateur qu’on a développé avec Matlab®
nous montre la fonction de transfert modal
(10*log(Hmodale)) en fonction de la fréquence(de plage
[0, 5 GHZ]) pour la fibre multimode à gradient
d’indice.
- 5 -