SETIT 2009 th 5 International Conference: Sciences of Electronic, Technologies of Information and Telecommunications March 22-26, 2009 – TUNISIA Effet de la Dispersion Modale d’une Fibre Optique Multimode dans le Contexte d’un Réseau Local Hichem MRABET*, Iyad DAYOUB** et Rabah ATTIA* * Ecole Polytechnique de Tunisie EPT, BP 743-2078, La Marsa, Tunis Tunisie [email protected] [email protected] ** UHVC-IEMN/DOAE (CNRS UMR 8520), Le Mont Houy 59313 Valenciennes Cedex 9, France [email protected] Résumé: On se propose, dans cet article, d’étudier le phénomène de la dispersion modale d’une fibre multimode à gradient d’indice à base de silice en fonction des paramètres de la fibre et des conditions d’injection dans le contexte d’un réseau local. Nous avons montré que le profile d’indice de la fibre a un impact sur la fonction du transfert modal. Toutefois, on peut trouver de bons résultats, en choisissant une valeur appropriée du profil d’indice et en réalisant des conditions d’injection optimales d’un signal en bande de base à l’entrée de la fibre multimode à base de silice. Mots-clés: Fibre optique multimode, dispersion modale, réseau local. utiliser grâce à leurs larges dimensions qui offrent une souplesse dans le câblage et la connexion par rapport aux fibres SMF. INTRODUCTION Aujourd’hui, les fibres optiques sont devenues un support de transmission très fiable et qui offrent une large bande passante à exploiter pour le transfert des données multimédia. Cependant, les fibres multimodes permettent la propagation de plusieurs groupes de modes. Chaque groupe de mode se propage avec une constante de propagation, entraînant le phénomène de la dispersion modale, dû aux différentes vitesses de propagation de ces groupes de mode. On distingue deux types de fibres optiques à savoir les fibres monomodes (SMF) caractérisées par une faible fenêtre de perte pour les longueurs d’onde au voisinage de 850, 1300 et 1550nm, utilisées pour les connexions à longue distance pouvant atteindre une dizaine de kilomètres et les fibres multimodes (MMF) qui possèdent une bande passante de l’ordre de 5.2 GHZ pour le standard 802.11a et qui opèrent dans un rayon de quelques centaines de mètres [5]. L’objectif de cet article est l’étude de l’effet de la dispersion modale des fibres multimodes à gradient d’indice à base de silice dans le contexte d’un réseau local LAN, à partir d’un modèle mathématique approuvé [1,2]. Les paramètres du modèle de la dispersion modale d’une fibre MMF dépendent de plusieurs facteurs, notamment la dispersion du matériel, la source utilisée, les conditions d’injection et les paramètres relatifs aux modes. En pratique, les fibres optiques multimodes sont utilisées pour les réseaux de courtes distances, tels que les réseaux locaux (LAN) et les réseaux de stockage (SAN). Dans ce travail, on va focaliser notre attention sur les paramètres qui dépendent des modes, en l’occurrence, le délai de propagation modale, l’atténuation modale et le coefficient de couplage ainsi que les conditions d’injection de la lumière dans la fibre. On distingue deux types de fibres multimodes standard opérant à 850nm et à 1300nm, à savoir les fibres MMF de diamètre 62.5/125mm de portée typique 300m et les fibres MMF de diamètre 50/125mm de portée typique 550m. Dans ce développement, on va s’intéresser aux fibres MMF de diamètre 50/125mm utilisées dans les réseaux optiques qui s’appuient sur le protocole Ethernet, Fibre Channel, FDDI, ATM, et le protocole Token Ring. Cet article est organisé comme suit : tout d’abord on va présenter le modèle de la dispersion modale qui se base sur la résolution de l’équation de la puissance modale ainsi que la définition de ces différents Les fibres optiques MMF sont plus faciles à -1- SETIT2009 nombre de mode radial µ et un nombre de mode azimutal ϑ et donc peut s’écrire sous forme [7] : paramètres. Dans une seconde partie, on va présenter les résultats de simulation de la réponse impulsionnelle de la fibre optique MMF en prenant en considération la dispersion modale, ainsi on va discuter les résultas obtenus. m = 2µ + ϑ Le nombre total de groupes de modes qui se propagent dans une fibre MMF est donné par [1] : 1. Modèle de dispersion 1.1. Puissance modale M(λ) = 2πa On considère une fibre MMF à gradient d’indice de profil a et d’indice de réfraction décrit par: r α 1/ 2 ⎧ ⎫ ⎪n 1 (λ)[1 − 2∆ (λ)( ) ] 0 ≤ r ≤ a ⎪ n (r, λ) = ⎨ a ⎬ ⎪n (λ)[1 − 2∆ (λ)]1 / 2 ⎪ ≥ r a ⎩ 1 ⎭ (4) n 1 ( λ ) ⎡ α∆ ( λ ) ⎤ λ ⎢⎣ α + 2 ⎥⎦ 1/ 2 La fonction du transfert d’une fibre MMF peut être modélisée comme étant le produit de deux fonctions de filtre [2] : (1) H MMF (λ, z, w ) = H chromatiquee (λ, z, w )H mod ale (λ, z, w ) Avec r est la distance à partir du centre du cœur de la fibre, n 1 (λ ) est le pic de l’indice de réfraction du cœur, λ est la longueur d’onde centrale dans l’espace, a est le rayon du cœur de la fibre et ∆(λ) est la différence d’indice normalisée. Avec H chromatiqu e (λ, z, w ) et H mod ale (λ, z, w ) représente La fonction du transfert modal de la fibre MMF peut être décrite par l’équation suivante [1] : (2) 1 H mod ale (λ, z, w ) = ∫ 2 xℜ( x , λ, z, w )dx x étant le nombre de groupes de modes normalisés m défini par [1] : x = M (λ ) Les fibres optiques multimode supportent un nombre fini de modes qui sont les solutions particulières de l’équation de Maxwell. Les modes guidés qui se propagent dans la fibre sont groupés en familles, les modes d’une famille se propagent avec la même constante de propagation. ℜ( x , λ, z, w ) est défini comme étant la distribution de puissance modale, en fonction du nombre de groupes de modes normalisés(x), la longueur d’onde centrale ( λ ), la longueur de la fibre (z) et la fréquence angulaire (w). A partir de l’analyse WKB, la constante de propagation modale peut être approximativement dérivé par l’expression suivante [6] : n 1 (λ ) ⎡ m α2+α2 ⎤ − ∆ λ 1 2 ( )( ) ⎥ ⎢ λ ⎣ M (λ ) ⎦ (7) x0 Avec A0, A1, A2, λ 0 , λ 1 et λ 2 sont les paramètres de l’équation de Selleimer. β( m , λ ) = 2 π (6) respectivement la dispersion chromatique et la dispersion modale de la fibre MMF, z est la longueur de la fibre et w est la fréquence angulaire. Dans ce travail on s’intéresse uniquement à la dispersion modale. L’indice de réfraction des fibres à base de silice est décrit par l’équation de Selleimer: ⎡ A λ2 A λ2 A λ2 ⎤ 2 n 1 (λ ) = ⎢1 + 2 0 2 + 2 1 2 + 2 2 2 ⎥ ⎣ (λ − λ 0 ) (λ − λ 1 ) (λ − λ 2 ) ⎦ (5) La distribution de puissance modale dans le domaine de Fourier est décrite par l’équation différentielle suivante [1]: 1/ 2 (3) ∂ℜ( x, λ, z, w ) = −[iwτ( x, λ) + γ ( x , λ)ℜ( x, λ, z, w )] ∂z ∂ℜ( x, λ, z, w ) ⎤ 1 ∂ ⎡ + xd ( x , λ) ⎥ ∂x x ∂x ⎢⎣ ⎦ Avec m est le nombre de mode principal et M (λ ) est le nombre de groupes de modes qui peut être potentiellement guidés dans la fibre. Le paramètre m est appelé le nombre de mode principal, c’est un paramètre entier discret qui varie de l’unité au nombre total de groupes de modes. Le nombre de mode principal peut être caractérisé par un (8) La résolution de l’équation de la puissance modale passe par la définition des paramètres qui dépendent des modes à savoir τ( x, λ) qui est le délai modale, -2- SETIT2009 γ ( x , λ) est l’atténuation modale et d( x, λ) est défini comme étant le coefficient de couplage ainsi que des conditions d’injection de la lumière dans la fibre. Par la suite, on va étudier ces différents paramètres : N 1 (λ) = n 1 (λ) + λ2 [ 1.2. Délai modal e( λ ) = 2 Le délai modal est défini comme étant la différence de temps de propagation des différents modes qui se propagent dans une fibre optique multimode. −λ β ′(λ) 2π C 2 −2λn ′1 (λ) [1 − (1 − 2∆)1 / 4 − 2∆n 1 (λ)] N1 (λ)(n 1 (λ) + 1) (15) (16) L’équation du délai modal est déduite en remplaçant les valeurs de l’index du groupe de mode et le paramètre du profil de dispersion dans l’équation (10). Le délai modal peut dériver à partir de la définition suivante [1]: τ( x , λ ) = A 0 λ20 A 1λ1 A 2λ 2 + + ][n 1 (λ)] −1 (λ − λ2 0 ) 2 (λ2 − λ2 1 ) 2 (λ2 − λ2 2 ) 2 2 La figure suivante représente la variation du délai modal en fonction du nombre de mode principal(x) pour 3 valeurs de profil d’indice et lorsque la longueur d’onde utilisée est égale à 850nm : 2 (9) Avec β ' (λ ) est le dérivé de la constante de propagation par rapport à la longueur d’onde et C est la vitesse de la lumière dans le vide. Le calcul donne la valeur suivante [1] : τ( x, λ) = 2α ⎤ N1 (λ) ⎡ ∆(λ)[4 + e(λ)] α2+α2 ⎤ ⎡ x ⎥ ⎢1 − 2∆(λ) x α + 2 ⎥ ⎢1 − c ⎣ α+2 ⎦⎣ ⎦ −1 / 2 (10) N1(λ) est l’index du groupe de modes et e(λ) est défini comme étant le paramètre du profil de dispersion. Ils ont pour expression [2]: N 1 (λ) = n 1 (λ) − λn 1′ (λ) −2n 1 (λ) λ ∆ ′(λ) e( λ ) = N 1 (λ ) ∆ ( λ ) (11) Figure 1 : Délai modal en fonction du nombre de mode principal pour λ = 850nm . (12) On constate d’après la figure 1 que lorsque le profil d’indice de la fibre α augmente, le délai modal augmente. On peut conclure que ce dernier est un facteur déterminant pour le calcul du délai modal. Pour le cas de la fibre à base de silice pure, en connaissant les paramètres A0, A1, A2, λ 0 , λ 1 et λ 2 de l’équation de Selleimer, le calcul du dérivé de n 1 (λ ) et de ∆(λ) par rapport à λ a donné les expressions suivantes : A 0 λ20 A 1λ 1 A 2λ 2 + + ].[ n 1 (λ )]−1 (λ − λ2 0 ) 2 (λ2 − λ21 ) 2 (λ2 − λ2 2 ) 2 2 n ′1 (λ ) = −λ[ ∆′(λ) = 1.3. Atténuation modale L’atténuation modale est due à l’absorption, les pertes à travers les réflexions au niveau de l’interface cœur gaine de la fibre multimode. En effet, les mesures montrent que l’atténuation modale est en fonction du numéro du mode normalisé x, sauf un minimum de numéro qui sont près de l’origine. Cependant, lorsque l’ouverture numérique est petite ou la longueur d’onde utilisée est élevée, l’atténuation modale croit d’une façon graduelle. Pour cette raison, on va utiliser une longueur d’onde relativement faible afin de réduire l’atténuation modale. 2 2 n1′ (λ) [1 − (1 − 2∆ )1/ 4 − 2∆n1 (λ)] n1 (λ )(n1 (λ) − 1) (13) (14) Depuis que les fibres de verre à base de silice sont utilisées autour des longueurs d’ondes 850, 1300 et 1550nm pour lesquelles l’atténuation modale doit grandir avec l’ordre de mode, l’atténuation modale peut s’exprimer par la relation suivante [1] : D’où, en injectant les équations (13) et (14) dans (11) et (12), on trouve les expressions de l’index du groupe de modes et le paramètre du profil de dispersion respectivement comme suit : -3- SETIT2009 2α γ ( x, λ) = γ 0 (λ) + γ 0 (λ)I ρ [η( x − x 0 ) α+2 ] de la longueur de déformation rms h [1] : (17) 3 h a ⎡ α + 2 ⎤ − 2[ 2 ( α − 3) /( α + 2 )] d(x, λ) = C s ( ) 2 ( ) 4 ⎢ ⎥ x b b ⎣ α ∆ (λ ) ⎦ Avec γ 0 (λ ) : L’atténuation des modes d’ordre inférieure qui traduit l’atténuation intrinsèque de la fibre pour la longueur d’onde λ , I p est définit comme étant la fonction de Bessel modifiée d’ordre ρ et η est une Constante de poids, elle est égale à 7.35. (18) Cs est défini comme étant la constante de couplage de mode, cette constante a une valeur mesurée de l’ordre de 6.510-5km-1, ainsi h est pris égal à 1µm . D’après la formule (17), on remarque que les modes d’ordre supérieur subissent l’atténuation modale plus que les modes d’ordres inférieures. La figure suivante représente la variation du couplage de mode (d) en fonction du nombre de mode principal(x) pour une longueur d’onde égale à 850 nm : La figure suivante représente la variation de l’atténuation modale en fonction du nombre de mode principal(x) pour une longueur d’onde égale à 850 nm : Figure 3 : Coefficient de couplage en fonction du nombre de mode principal pour λ = 850nm Figure 2 : Atténuation modale en fonction du nombre de mode principal pour λ = 850nm . On constate, d’après la figure 3 qu’il y a un point commun pour les différentes valeurs du profil d’indice lorsque x est égal à 0.54 qui donne une valeur de coefficient de couplage égal à 4.610-7. On remarque, d’après la figure 2, que le profil d’indice de la fibre n’a pas d’incidence sur la variation de l’atténuation modale et l’allure de la courbe est celle de la fonction de Bessel modifiée d’ordre 9. Pour les valeurs du nombre de mode principal inférieure à 0.54, on remarque que le coefficient de couplage est proportionnel au profil d’indice. Par contre, lorsque le nombre de mode principal est supérieur à 0.54 le coefficient de couplage est inversement proportionnel au profil d’indice. L’atténuation modale a atteint une valeur de 4 dB/km lorsque Mr Yabre[1] a utilisé une longueur d’onde égale à 1300nm, par contre dans notre cas avec une longueur d’onde égale à 850nm cette valeur est égale à 0.55 dB/km même lorsque x atteint son maximum. 2. Condition d’injection 1.4. Coefficient de couplage On considère ici une excitation axiale des fibres multimodes avec un spot gaussien, dans l’approximation que l’axe de la fibre est aliéné avec l’axe du spot et que la surface est bien positionnée dans le plan focal. Le couplage entre les modes guidés dans une fibre optique MMF est le résultat des causes internes et externes. Dans ce développement, on considère les perturbations externes comme une source dominante du couplage modal. L’ouverture numérique (O.N) des fibres de verre est comprise entre (0.16-0.65), l’ouverture numérique du spot gaussien est donnée par l’expression suivante [2]: Le couplage modal est causé par les forces extérieures qui peuvent provoquer de petites déformations. Ceci peut se produire lors du câblage, transport et stockage des fibres optiques. O.N(SG ) = Le coefficient de couplage de mode peut varier en fonction des diamètres de la fibre a et b et en fonction -4- λ πw (19) SETIT2009 Dans notre contexte, pour une longueur d’onde égale à 850nm utilisée dans un réseau de type LAN et un rayon du spot gaussien de 10µm et d’après la formule (19) on obtient une O.N du rayon gaussien de l’ordre de 0.27 qui est incluse dans l’ouverture numérique des fibres multimode (0.16-0.65). Avec w est le rayon du spot gaussien. La distribution modale initiale joue un rôle important dans la détermination de la réponse de la fibre, même si le nombre de groupes de mode initialement excités n’est pas pris en compte dans le modèle mais il est inclus dans les paramètres du spot. L’excitation de la fibre multimode peut être réalisée avec une source contenant un module de fibre optique monomode et employant un laser classique de type « Fabry–Perot » qui émet à une longueur d’onde de 850nm [3,11]. On peut assuré que lorsque le rayon du spot gaussien est assez large, l’ouverture numérique du rayon gaussien est petite devant l’ouverture numérique locale au rayon w. Dans ce dernier cas, le nombre de groupes de modes excités par le rayon gaussien est [2]: 2 ⎧⎪⎛ w ⎞ 2 −1 ⎛ λ ⎞ ⎫ ⎪ 2 M SG (λ) = M (λ)⎨⎜ ⎟ + 2π2 n1 (λ) ∆(λ) ⎜ ⎟ ⎬ ⎪⎩⎝ a ⎠ ⎝ w ⎠ ⎪⎭ [ ] 3. Résultats de simulation Nous considérons que la fibre est excitée par un spot gaussien de rayon 10µm et d’une longueur d’onde centrale égale à 850 nm pour trois valeurs de profil d’indice égales à 1.8, 2 et 2.2. ( α + 2 ) /( 2 α ) (20) Un rayon optimal du spot existe pour exciter un petit nombre de groupe de mode est calculé en fonction du dérivé du nombre de groupes de modes excités par rapport au rayon du spot gaussien ( ∂M SG (λ ) w opt = 0 ). ∂w Le calcul de la puissance modale a été effectué en traduisant l’équation différentielle en un format matriciel en utilisant un schéma de « CrankNicholson » qui nous donne une solution convergente comparée à d’autres méthodes différentielles ordinaires. Ainsi, la puissance modale est obtenue en utilisant une intégration numérique, basée sur la discrétisation des variables x et z. Le rayon optimal est donné par l’expression suivante [2]: w opt ⎡ λa α / 2 ⎤ 1 = ⎥ 1 /( α + 2 ) ⎢ [α∆ (λ)] ⎣ πn 1 (λ) ⎦ Considérons hx et hz des pas de segmentation des variables x et z respectivement, l’équation de puissance modale ℜ( x, λ, z, w ) peut être remplacée par ℜ j, k = ℜ( x j , λ, z k , w ) avec x j = x 0 + jh x et 2 /( α + 2 ) (21) z k = kh z . La valeur de ℜ j, k peut être calculée pour déduire la fonction de transfert modal de la fibre MMF en faisant une approximation de la formule (5) par une méthode d’intégration numérique. Dans notre développement, nous avons utilisé une intégration de type « adaptive Simpson quadrature » pour la simulation de la réponse fréquentielle. La figure suivante représente l’évolution du nombre de groupe de mode excité en fonction du rayon du spot gaussien utilisé (w) pour la longueur d’onde 850nm et en variant α de 1.8 à 2.2: Pour ce calcul, les conditions initiales et conditions aux limites doivent être spécifiées. On se limite dans le cas où l’énergie est couplée d’une manière uniforme à tous les modes dans le point d’entrée de la fibre. Avec cette considération, la distribution initiale de la puissance modale peut être prise égale à l’unité pour chaque mode. La valeur de la différence d’indice normalisée dans notre simulateur est pris égale à 0.01 p 1 , la fréquence utilisée par kilomètre est égale à 500 MHZ/Km, ainsi la longueur de la fibre est pris égale à 500 mètres dans une première étape et 2 Km dans une deuxième étape. Figure 4 : Nombre de groupes de modes excités en fonction du rayon du spot pour λ =850nm. Le simulateur qu’on a développé avec Matlab® nous montre la fonction de transfert modal (10*log(Hmodale)) en fonction de la fréquence(de plage [0, 5 GHZ]) pour la fibre multimode à gradient d’indice. D’après la figure 5, le profil d’indice n’a pas d’incidence sur le nombre de groupes de modes excités. On constate aussi que lorsque le rayon du spot gaussien augmente le nombre de groupe de mode excités devient important. -5- SETIT2009 le coefficient de couplage ont été étudiés de prés en fonction du profil d’indice et en prenant une longueur d’onde égale à 850nm. Pour les conditions d’injections, un rayon de spot optimal a été trouvé en fonction du nombre de groupes de modes qui se propagent dans la fibre. D’autres part, nous pouvons constater que les résultats de simulation de la fonction de transfert modal de la fibre multimode à base de silice ont abouti à de bons résultats puisque pour α compris entre 2 et 2.2 on a une perte inférieure à 10 dBo pour le signal en bande de base en sortie de la fibre de longueur 500 mètres et en choisissant un rayon de spot gaussien de rayon 10 µm . Figure 5 : Fonction de transfert modal en fonction de la fréquence d’une fibre MMF de longueur 500m. Enfin, on peut utiliser une fibre multimode à gradient d’indice de longueur allant jusqu’à 2000 mètres pour donner une perte inférieure à 15 dBo pour les mêmes conditions d’injection. La figure 6 nous montre que le choix de la valeur du profil d’indice est un facteur déterminant pour les performances des fibres MMF à base de silice. Dans un futur travail, on s’intéresse à l’effet de la dispersion modale dans une fibre multimode à gradient d’indice, lorsqu’on utilise un signal CDMA à la place d’un signal gaussien. Lorsqu’on augmente la valeur du profil d’indice α , on a une meilleure réponse impulsionnelle de la fibre qui se traduit par une petite perte du signal optique en sortie de la fibre. Pour α égale à 2, l’effet de la dispersion modale génère une perte inférieure à 4 dBo pour le signal en bande de base en entrée de la fibre MMF. REFERENCES [1] G. Yabre, "Comprehensive theory of dispersion in graded-index optical fibers", J. Lightwave Technol., vol. 18, pp. 166-177, Feb. 2000. [2] G. Yabre, "Influence of core diameter on the 3-dB bandwidth of graded-index optical fibers", J. Lightwave Technol., vol. 18, pp. 668-676, May 2000. [3] I. Gasulla and J. Capmany, “Transfer function of multimode fiber links using an electric field propagation model:Application to Radio over Fibre 14, No. 20 / OPTICS Systems”, Vol. EXPRESS,Optical Society of America, 2006. [4] Jerzy SIUZDAK, Grzegorz STEPNIAK, “Influence of modal filtering on the bandwidth of multimode optical fibers” Optica Applicata (Vol.37), No.1-2, pp. 31-39, 2007. [5] Michael Sauer, Andrey Kobyakov, Lenwood Fields, Frank Annunziata, Jason Hurley, Jacob George ,“Experimental investigation of multimode fiber bandwidth requirements for 5.2 GHz WLAN signal transmission”, Optical Fiber Communication Conference IEEE, 2006. Figure 6 : Fonction de transfert modal en fonction de la fréquence d’une fibre MMF de longueur 2Km. Lorsqu’on utilise une fibre de longueur 2Km (figure 7), la fonction de transfert modal devient plus importante. Ceci est dû à une augmentation du délai modal et à une atténuation modale plus forte, se traduisant par une perte compris entre 8 et 34 dBo. [6] Robert Olshansky, “Mode Coupling Effects in Graded-index Optical Fibers “,Appl. Opt. 14, 935, 1975. 4. Conclusion [7] Robert Olshansky and D. A. Nolan, “Modedependent attenuation of optical fibers: excess loss”, APPLIED OPTICS / Vol. 15, No. 4, April 1976. Dans ce travail, un modèle de dispersion modale des fibres multimodes à gradient d’indice et à base de silice a été exploré en se focalisant sur les paramètres qui dépendent des modes et des conditions d’injection de la lumière dans la fibre et se plaçant dans le contexte d’un réseau local LAN. [8] R.W. Smink, C.P. Tsekrekos, B.P. de Hon, A.M.J. Koonen and A.G. Tijhuis, “Near Field Pattern Simulations of Graded-Index Multimode Fibres“, Proceedings Symposium IEEE/LEOS Benelux Chapter, Eindhoven., 2006. D’une part, les paramètres qui dépendent des modes à savoir le délai modal, l’atténuation modale et -6-