De la modélisation du trafic

De la modélisation du trafic dans les réseaux de
télécommunications
Michel Marot
Institut National des Télécommunications
Chapitre 12. De la modélisation du trafic dans les réseaux de télécommu-
nication ........................................ 7
12.1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
12.2.Le processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
12.2.1.Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
12.2.2.Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
12.2.3.Loi hyperexponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12.2.4.Loi hypoexponentielle et loi d’Erlang . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12.3.Les modèles à base de processus d’arrivées markovien (M.A.P., B.M.A.P.,
D.-M.A.P. et D.-B.M.A.P.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
12.3.1.Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
12.3.2.Densité de la classe des processus B.M.A.P. dans celle des pro-
cessus ponctuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
12.3.3.Cas discret : D.-B.M.A.P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
12.3.4.Application du modèle D.-B.M.A.P. : une approximation de la
superposition de sources sporadiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
12.4.Les modèles modulés par un processus de Poisson . . . . . . . . . . . . 41
12.4.1.Définition et propriétés du modèle M.M.P.P. . . . . . . . . . . . . 42
12.4.2.Fonction de comptage associée au processus M.M.P.P. . . . . . . 46
12.4.3.Matrice des probabilités de transition du processus de renouvel-
lement markovien M.M.P.P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
12.4.4.Temps entre deux arrivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
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6
12.4.5.Applications du modèle M.M.P.P. : trafic de débordement, et ap-
proximation de trafic par un processus M.M.P.P. . . . . . . . . . . 52
12.5.Le modèle fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
12.6.Les modèles fractaux ou autosimilaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
12.6.1.Définitions de l’autosimilarité exacte et propriétés . . . . . . . . . 60
12.6.2.Définitions de l’autosimilarité asymptotique et propriétés . . . . . 63
12.6.3.Dépendances à long-terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
12.6.4.Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
12.6.5.Application : effet des dépendances à long-terme sur les perfor-
mances d’une file d’attente, lien entre autosimilarité et distribu-
tions barycerques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
12.7.Un modèle de trafic modulable, prenant en compte les caractéristiques
importantes du trafic, et adapté à la simulation . . . . . . . . . . . . . . 82
12.7.1.Modèle à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
12.7.2.Modèle à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
12.8.Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Chapitre 13. Bibliographie ............................. 95

Chapitre 12
De la modélisation du trafic dans les réseaux
de télécommunications
Michel MAROT
Institut National des Télécommunications
12.1. Introduction
Il serait vain de prétendre exposer en quelques dizaines de pages un état de l’art ex-
haustif sur la modélisation du trafic dans les réseaux de télécommunications. Ce sujet
à fait l’objet de nombreux travaux scientifiques, plusieurs approches ont été propo-
sées. C’est pourquoi nous avons choisi de ne détailler que quelques modèles, les plus
utiles pour la simulation, plutôt que de présenter un survol de tous ceux qui existent.
Le lecteur peut se référer à [12] pout un recensement très complet des modèles de
trafic.
La théorie des files d’attente est l’arsenal classique utilisé pour s’attaquer aux
problèmes de performances de réseaux. Elle repose sur l’hypothèse que le trafic est
poissonnien, aussi présentons-nous en premier lieu le trafic de Poisson. Cependant,
il y a quelques années, on a montré que le trafic paraissait autosimilaire. Fallait-il
alors revoir la théorie des files d’attente? Pouvait-on continuer à l’appliquer même si
ses fondements ne sont pas vérifiés? Entre ces deux extrêmes, certains ont cherché
à l’adapter en proposant des modèles markoviens rendant compte de certaines carac-
téristiques des trafics à dépendances à long-terme. C’est dans la dernière partie de
ce chapitre que deux de ces modèles sont traités. Auparavant, dans les deuxième et
troisième parties les modèles markoviens B.M.A.P. et M.M.P.P. sont présentés, suivis
d’un paragraphe sur les trafics autosimilaires.
12.2. Le processus de Poisson
12.2.1. Définition
Le processus de Poisson peut être défini de trois façons différentes, toutes équiva-
lentes :
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Définition 1 (Processus de Poisson) Un processus de Poisson de taux λest un pro-
cessus tel que :
– la probabilité d’avoir une arrivée pendant un intervalle de temps dt est λdt+
o(dt);
– la probabilité d’avoir k >1arrivées pendant dt est o (dt);
– la probabilité de ne pas avoir d’arrivée pendant dt est 1−λdt+o(dt).
Définition 2 (Processus de Poisson) Un processus de Poisson de taux λest un pro-
cessus d’arrivées vérifiant :
– la loi du nombre d’arrivées pendant un intervalle de temps de longueur τsuit
une loi de Poisson : P(k)=(λτ)k
k!e−λτ ;
– les nombres d’arrivées N(t1,t2)et N(t3,t4)dans deux intervalles de temps dis-
joints (t1≤t2≤t3≤t4)sont indépendants.
Définition 3 (Processus de Poisson) Un processus de Poisson de taux λest un pro-
cessus d’arrivées tel que les temps entre arrivées Ansont indépendants et suivent une
loi exponentielle de taux λP(An≤t)=1−e−λt.
Nous allons démontrer que la définition 1 implique 2 qui, elle-même, implique 3,
laquelle implique enfin 1.
Soit N(0,t) le nombre d’arrivées pendant l’intervalle de temps [0;t]. Notons Pk(t) la
probabilité que N(0,t)=k. Pour avoir N(0,t)=k>0 à l’instant t+dt, il faut soit
en avoir eu kà l’instant tet ne pas avoir d’arrivée au cours de l’intervalle de temps
[t;t+dt], soit en avoir eu k−1 à tet avoir eu exactement une arrivée entre tet t+dt,
d’où
Pk(t+dt)=Pk−1(t)λdt+(1−λdt)Pk(t)
⇔Pk(t+dt)−Pk(t)
dt=λ[Pk−1(t)−Pk(t)]
⇔dPk(t)
dt=λ[Pk−1(t)−Pk(t)](12.1)
ns le cas où k=0, pour avoir N(0,t)=0 à l’instant t+dt, il faut avoir eu k=0 à
l’instant tet ne pas avoir d’arrivée pendant [t;t+dt], donc
P0(t+dt)=(1−λdt)P0(t)
⇔P0(t+dt)−P0(t)
dt=−λP0(t)
⇔dP0(t)
dt=−λP0(t) (12.2)

De la modélisation du trafic dans les réseaux de télécommunication 9
Pour déterminer la loi de N(0,t), il faut résoudre le système différentiel
dPk(t)
dt=λpk−1(t)−λPk(t) (12.3)
dP0(t)
dt=−λP0(t) (12.4)
Montrons par récurrence que la solution est Pk(t)=(λt)k
k!e−λt. Pour k=0, la solution
de l’équation (12.4) est P0(t)=Ae−λt, où Aest une constante. Comme N(0,0)=0 et
donc P0(0) =1, A=1 d’où P0(t)=e−λt.
Supposons maintenant que Pk(t)=(λt)k
k!e−λt, montrons alors que Pk+1(t)=(λt)k+1 (k+1)! e−λt.
Compte tenu de l’hypothèse de récurrence, l’équation (12.3) devient :
d
dtPk+1(t)=(λt)k k!e−λtλ−λPk+1(t).(12.5)
La solution de l’équation homogène associée
d
dtPk+1(t)=−λPk+1(t) (12.6)
est
Pk+1(t)=Ae−λt,(12.7)
où Aest une constante. Pour trouver la constante, utilisons la méthode de variation des
constantes. Posons
Pk+1(t)=A(t)e−λt.(12.8)
On a alors
d
dtPk+1(t)=dA(t) dte−λt−λA(t)e−λt(12.9)