Applications linéaires Révisions algèbre 4 Les définitions Application linéaire Endomorphisme Isomorphisme Automorphisme Forme linéaire Noyau Image Une application f d’un IK-ev E vers un IK-ev F est linéaire si et seulement si u,v E, , IK, f( u + v) = f(u) + f(v) Un endomorphisme est une application linéaire d’un IK-ev E dans lui-même Un isomorphisme est une application linéaire bijective Un automorphisme est une application linéaire bijective d’un IK-ev E dans lui-même Une forme linéaire est une application linéaire d’un IK-ev E dans IK Le noyau d’une application linéaire f de E dans F est l’ensemble Ker f = { u E / f(u)=OF } L’image d’une application linéaire f de E dans F est l’ensemble Im f = f(E) = { v F / u E , f(u) = v } Les opérations Espace vectoriel L(E,F) L(E,F) est un sev de FE Dimension et base Si E et F sont de dimensions finies alors dim L(E,F) = dim(E) . dim (F) Soit (e1 , ... , en) une base de E et (f1,...,fp) une base de F Une base de L(E,F) est formée des applications de L(E,F) (i,j / (i,j) ⟦1,n⟧ X ⟦1,p⟧ ) telles que : k ⟦1,n⟧, i,j (ek) = Composition Isomorphisme réciproque - Cas général : la composée de deux applications linéaires est linéaire - Cas des isomorphismes : la composée de deux isomorphismes est un isomorphisme La bijection réciproque d’un isomorphisme est linéaire, c’est donc un isomorphisme Les applications linéaires importantes Identité Homothéties Projecteurs Projections L’identité d’un IK-ev E est l’application : E E , x idE(x) = x, idE est un automorphisme de E On appelle homothétie, toute application f de E dans E telle qu’il existe IK vérifiant : f : E E , x f(x) = x f est un endomorphisme de E, bijectif si 0 - Définition : un projecteur est un endomorphisme p tel que p o p = p une projection de E est une application de E dans E telle qu’il existe deux sev F et G supplémentaires de E vérifiant : u E, ! x F , ! y G / u=x+y et p(u) = x p est alors la projection sur F parallèlement à G - Caractérisation : p est une projection si et seulement p est un projecteur. Dans ce cas, p est la projection sur Im p parallèlement à Ker p ainsi : Im p Ker p = E Il faut savoir aussi que : Im p = { u E / p(u) = u } = Ker (p – idE ) Symétries - Définition : une symétrie est une application s de E dans E telle qu’il existe deux sev F et G supplémentaires de E vérifiant : u E , ! x F , ! y G / u = x+y et s(u) = x – y s est alors la symétrie par rapport à F parallèlement à G. - Caractérisation : s est une symétrie si et seulement si s est un endomorphisme de E tel que s o s = idE. Dans ce cas, s est la symétrie par rapport à Ker ( s – idE ) = { u E / s(u) = u } parallèlement à Ker (s + idE) = { u E / s(u) = -u } Le rang d’une application linéaire Définition Formule du rang Forme linéaire et hyperplan La rang d’une application linéaire f d’un IK-ev E de dimension finie dans un IK-ev F est la dimension de son image Im f si f L(E,F) où E est de dimension finie alors : dim Ker f + dim Im f = dim E Soit E un IK-ev de dimension finie n2 On appelle hyperplan de E tout sev de E, de dimension (n-1) H est un hyperplan de E si et seulement si H est le noyau d’une forme linéaire non nulle de E