Licence de Mathématiques L3 Examen de Topologie Responsable : Anne Pichon janvier 2005 durée: 3 heures (sans documents ni calculatrices) I (sur 4 points) (question de cours) 1) Donner la définition d’un espace topologique compact 2) Image d’un compact par une application continue : énoncé et démonstration détaillée II (sur 4 points) Soit E l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de R dans R. Pour tout P ∈ E, on pose ||P ||1 = sup |P (t)| ||P ||2 = sup(e−|t| |P (t)|) et t∈R t∈[0,1] 1) Montrer que ||.||1 et ||.||2 sont des normes sur E. 2) Montrer qu’il existe C > 0 tel que pour tout P ∈ E, ||P ||1 ≤ C||P ||2 . 3) Soit n ≥ 0 un entier. Calculer ||P ||1 et ||P ||2 pour P (t) = tn . En déduire que les deux normes ||.||1 et ||.||2 ne sont pas équivalentes. III (sur 4 points) 1) Parmi les trois lettres suivantes, vues comme des sous-espaces (dessins) dans R2 , quels sont celles qui sont homéomorphes (2 à 2) ? non homéomorphes? Justifier soigneusement. 2) Les deux dessins suivants, vus comme des sous-espaces dans R2 , sont-ils homéomorphes ? Justifier soigneusement. 1 IV (sur 4 points) Démontrer que l’équation fonctionnelle d’inconnue f : [0, 1] −→ R 1Z 1 f (x) = sin(x2 + t2 ) f (t) dt 2 0 admet une unique solution f continue sur [0, 1]. (Remarque : on ne demande pas de trouver la solution) V (sur 4 points) On note l l’espace vectoriel des suites de réels bornées. On munit l∞ de la norme ||.||∞ définie par : pour tout x = (xn )n∈N ∈ l∞ , ∞ ||x||∞ = sup(|xn |; n ∈ N) Démontrer que (l∞ , ||.||∞ ) est complet. 2