L.S.B.Amri M : Sai-Riahi rs Le 02/05/2009 Devoir de contrôle N03 MATHEMATIQUES Classes 4èmesc1&2 Durée : 2.h Exercice 1(3 points) : Pour chacun des trois questions, une seule des propositions est exacte. Une réponse exacte (avec justification) rapporte un point, une réponse inexacte enlève 0,5 point, l’absence de réponse est compté 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. 1) On considère l’équation différentielle avec condition initiale suivante −1 1 y+ y' = 4 2 (E) : y (0) = 3 1 a) (E) admet pour solution : y : x a − 2e − 4 x + 5 . 1 − x 1 b) (E) admet pour solution : y : x a k e 4 + . 2 1 c) (E) admet pour solution : y : x ae − 4 x + 2 . −x 2) lim ( x + 1 + e ) est égale à : x→ − ∞ a) − ∞ b) 0 c) + ∞ −x 3) Soit la fonction g définie sur ¡ par g ( x ) = (3 − 2 x )e . Une primitive G de g sur ¡ est définie par : −x a) G(x) = (1 − 2 x)e . −x b) G(x) = (2 x − 1)e . 2 −x c) G(x) = (− 3 x + x )e Exercice 2 (7points) : x ). Soit la fonction f définie sur ] 0,1[ par f ( x) = Log ( 1− x rr (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i, j ) . 1 1) Montrer que le point I( ,0) est un centre de symétrie de (C). 2 2) Donner une équation de (C) au point I. 3) ) Etudier les variations de f. 4) Construire (C). 5) Montrer que f réalise une bijection de ] 0,1[ sur ¡ . 6) Calculer ( f −1 )'(0) . −1 7) a) Calculer f ( x) pour tout x ∈ ¡. b) Retrouver ( f − 1 )'(0) . Exercice 3 (6 points) : Une urne contient quatre boules rouges et six boules noires. 1) On tire successivement et sans remise trois boules de l’urne. Calculer la probabilité des évènements : A : « La première boule tirée est noire et les deux autres boules tirées sont rouges ». B « Obtenir une seule boule noire » 2) Soit E l’épreuve qui consiste à tirer simultanément trois boules de l’urne. On désigne L’évènement S : « obtenir une boule noire et deux boules rouges ». 3 a) Montrer que : P(S) = . 10 b) On répète l’épreuve E cinq fois de suite en remettant les trois boules tirées dans l’urne après chaque tirage. On désigne par X l’aléa numérique qui prend pour valeur le nombre de fois où l’évènement S est réalisé. Déterminer la loi de probabilité de X c) Calculer P (1 ≤ X ≤ 2) . Exercice 4(4 points) : Soit Y une variable aléatoire dont sa fonction de répartition F est donnée par le graphe ci-dessous : 1) Déterminer la loi de probabilité de Y. 2) Calculer P( Y ≥ 0) . 3) Calculer E(Y) et σ (Y ) . 1 _ _ -1 1 3