Formulaire de trigonométrie

BCPST 1A Cours de Mathématiques
M. Molin - Lycée Marcelin Berthelot
Année 2016-2017
FORMULAIRE DE TRIGONOMÉTRIE
Cosinus
∀θ∈R,
cosθ=Re ( eiθ)=eiθ+e−iθ
2(Euler)
Sinus
∀θ∈R,
sinθ=Im ( eiθ)=eiθ−e−iθ
2i(Euler)
Tangente
∀θ6∈©π
2+kπ,k∈Zª,
tanθ=sin θ
cosθ=1 i
eiθ−e−iθ
eiθ+e−iθ
1+tan2θ=1
cos2θ
Formule de Moivre : (cos θ+isin θ)n=cos(nθ)+isin(nθ)
Propriétés trigonométriques élémentaires
Rcos −−−−→ [−1,1]
[0,π]←−−−−
arccos [−1,1]
−1≤cos θ≤1
cos est 2π-périodique :
cos(θ+2π)=cos θ
∀k∈Z, cos(θ+2kπ)=cos θ
cos est pair : cos(−θ)=cos θ
cos(a+b)=cos acos b−sin asin b
cos(a−b)=cos acos b+sin asin b
cos(2a)=2 cos2a−1
=1−2sin2a
Rsin −−−→ [−1,1]
£−π
2,π 2¤←−−−−
arcsin [−1,1]
−1≤sin θ≤1
sin est 2π-périodique :
sin(θ+2π)=sin θ
∀k∈Z, sin(θ+2kπ)=sin θ
sin est impair : sin(−θ)=−sin θ
sin(a+b)=sin acos b+cos asin b
cos(a−b)=sin acos b−cos asin b
sin(2a)=2 sin acos a
R\©π
2+kπ,k∈Zªtan
−−−−→ R
¤−π
2,π 2£←−−−−
arctan
R
tan est πpériodique :
tan(θ+π)=tan θ
∀k∈Z, tan(θ+kπ)=tan θ
tan est impaire : tan(−θ)=−tan θ
tan(θ−π)= −tan θ
tan(θ+π)=tan θ
cos(π−θ)= −cos θ
cos(π+θ)= −cos θ
cos³π
2−θ´=sin θ
cos³π
2+θ´=−sin θ
sin(π−θ)=sin θ
sin(π+θ)= −sin θ
sin³π
2−θ´=cos θ
sin³π
2+θ´=cos θ
θ
π
2−θ
π
2+θ
π−θ
π+θ
−π
2−θ−π
2+θ
−θ
Pythagore : ∀θ∈R, cos2θ+sin2θ=1
Formules de linéarisation :
cos acosb=1
2(cos(a+b)+cos(a−b))sin asinb=1 2(cos(a−b)−cos(a+b))sin acosb=1 2(sin(a+b)+sin(a−b))
Angles remarquables :
θ0π
6
π
4
π
3
π
2
cos θ1p3
2
p2
2
1
20
sin θ01
2
p2
2
p3
21
tan θ01
p31p3×
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
−5π
6
−3π
4
−2π
3
−π
2
−π
3
−π
4
−π
6
1
2
p2
2
p3
2
1
2
p2
2
p3
2
−1
2
−1
2