Formulaire de trigonométrie

M. Molin - Lycée Marcelin Berthelot
BCPST 1A
Cours de Mathématiques
Année 2016-2017
F ORMULAIRE DE TRIGONOMÉTRIE
Cosinus
∀θ ∈ R,
Sinus
∀θ ∈ R,
ei θ + e−i θ
cos θ = Re ( ei θ ) =
2
ei θ − e−i θ
sin θ = Im ( ei θ ) =
2i
(Euler)
Tangente
ª
©
∀θ 6∈ π2 + kπ, k ∈ Z ,
tan θ =
(Euler)
sin θ 1 ei θ − e−i θ
=
cos θ i ei θ + e−i θ
1 + tan2 θ =
1
cos2 θ
Formule de Moivre :
(cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)
Propriétés trigonométriques élémentaires
R
[0, π]
cos
−−−−→
←−−−−
arccos
£ π πR¤
−2, 2
[−1, 1]
[−1, 1]
−1 ≤ cos θ ≤ 1
sin
[−1, 1]
[−1, 1]
−−−→
←−−−−
arcsin
R\
©π
ª
+ kπ,¤ k ∈ Z £
− π2 , π2
2
−1 ≤ sin θ ≤ 1
cos est 2π-périodique :
tan
−−−−→
←−−−−
arctan
tan est π périodique :
sin est 2π-périodique :
cos (θ + 2π) = cos θ
sin (θ + 2π) = sin θ
∀k ∈ Z, cos (θ + 2kπ) = cos θ
tan (θ + π) = tan θ
∀k ∈ Z, sin (θ + 2kπ) = sin θ
∀k ∈ Z, tan (θ + kπ) = tan θ
cos est pair : cos (−θ) = cos θ
sin est impair : sin (−θ) = − sin θ
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
cos(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
cos(2a) = 2 cos2 a − 1
R
R
tan est impaire : tan (−θ) = − tan θ
tan (θ − π) = − tan θ
tan (θ + π) = tan θ
sin(2a) = 2 sin a cos a
= 1 − 2 sin2 a
cos (π − θ) = − cos θ
sin (π − θ) = sin θ
cos (π + θ) = − cos θ
´
³π
− θ = sin θ
cos
2
³π
´
cos
+ θ = − sin θ
2
sin (π + θ) = − sin θ
³π
´
sin
− θ = cos θ
2
³π
´
sin
+ θ = cos θ
2
π
2 +θ
θ
π−θ
π+θ
−θ
− π2 − θ
∀θ ∈ R,
Pythagore :
π
2 −θ
− π2 + θ
cos2 θ + sin2 θ = 1
Formules de linéarisation :
cos a cos b =
1
(cos(a + b) + cos(a − b))
2
sin a sin b =
1
(cos(a − b) − cos(a + b))
2
Angles remarquables :
θ
0
π
6
π
4
π
3
π
2
cos θ
1
p
3
2
p
2
2
1
2
0
sin θ
0
1
2
p
2
2
p
3
2
1
tan θ
0
p1
3
1
p
3
×
sin a cos b =
π
2π
2
p
3π 3
3
p 2
4
2
5π
2 1
6
2
π
3
π
4
π
6
π
0
− 21
− 5π
6
− 3π
4
− 2π
3
1
2
p p
2 3
2 2
− 21
− π6
− π2
− π3
− π4
1
(sin(a + b) + sin(a − b))
2