Problème à deux corps - Jean

Problème à deux corps
I24.
Problème à deux corps, page 1
)
Un véhicule spatial N de masse M capture avec un lasso de longueur un satellite S de masse m. Dans un
référentiel galiléen
(
lié à un repère cartésien
(
L
)
R,,,
xyz
Ou u u
G
GG , à cet instant, N est à l’origine O et a la vitesse
00x
vvu=
G
G
, tandis que S est immobile à y OS Lu=
J
JJG
G
.
1) Précisez le mouvement du centre de masse G de N et S après que la liaison soit établie.
2) Soit
(
le référentiel dont l’origine G est le centre de masse de N et S et qui est en translation par rapport à
. Précisez les mouvements de N et S dans
(
après que la liaison soit établie.
)
R′
()
R
)
R′
3) Calculez la tension du lasso.
II68. Modèle de la molécule CO.
Deux points matériels A et B de masses m1 et m2 sont sur une droite aux abscisses x1 et x2 distantes de r = x2 - x1 (on
supposera x2 > x1). Ils forment un système isolé. La force exercée par A sur B est : 71
() ab Fr rr =−+3 (où a et b sont
des constantes positives)
1) Ecrire les deux équations différentielles auxquelles obéissent les fonction x1 et x2 du temps t.
2) En déduire l'équation différentielle qui régit la fonction r de t. Cette équation est formellement identique à
l'équation du mouvement d'une particule fictive de masse µ située à la distance r d'une origine fixe O et soumise à la
force F(r). Donner l'expression de µ en fonction de m1 et m2 .
3) Montrer que la force F(r) dérive d'une énergie potentielle Ep (r). Donner l'expression de Ep en fonction de r telle
que Ep (r) tende vers zéro quand r tend vers l'infini.
4) Exprimer la valeur r0 de r à l'équilibre et la valeur correspondante de l'énergie potentielle Ep (r0 ).
5) A l'aide des résultats précédents et des expressions limites de Ep (r) quand r tend vers zéro ou l'infini, donner
l'allure du graphe Ep (r).
6) L'équilibre en r0 est-il stable (justifier votre réponse).
7) Un développement limité de E p(r) au voisinage de r0 donne : Ep (r) = Ep (r0 ) + 3a(r - r0 )2 /r08 +...
En déduire une expression de la pulsation ω des petites oscillations autour de la position d'équilibre.
8) On applique ce modèle à une molécule CO. Quelle est l'expression de l'énergie de liaison de la molécule ?
9) Cette molécule présente un pic d’absorption du rayonnement pour la pulsation ω = 5,5.1014 rad/s. La vitesse de la
lumière est c = 3.108 m/s. Calculer la longueur d'onde du rayonnement correspondant. Dans quel domaine se situe-t-
elle ?
III73. Généralités sur le problème à deux corps.
Soit un système S isolé constitué de deux particules A et B de masses respectives m et m. On étudie ce système
dans un référentiel R supposé galiléen. On se donne également un point O fixe dans ce référentiel. On appelle F
a b
a
G
et
b
F
G
les forces exercées par B sur A et A sur B. On suppose que leur module ne dépend que de la distance r entre
les deux particules.
1) Soit C le centre de masse du système . Déterminer, en le démontrant, le mouvement de C dans R. S
2) Soit rAB=
J
JJG
G
. Montrer que l’étude du mouvement relatif se réduit à l’étude plus simple du mouvement d’une
seule particule (que l’on nommera mobile fictif) de masse et de vecteur position rµ
G
soumise à la force F
b
G
. On
donnera l’expression de . µ
3) Dans le cas particulier où m, que vaut et où se trouve le centre de masse C ?
ba
m
−
=
R===
µ
4) Montrer que la variation de l’énergie cinétique du système est égale à celle du mobile fictif.
IV21. Limite de collision d’étoiles.
Constante de la gravitation G
11
6, 67.10 SI
Deux étoiles semblables au Soleil (rayons RR , masses
) ont dans un référentiel galiléen une vitesse relative
8
12 7.10 m
30
12 2.10 kgmmm=== 1 2150 km .svv
v∞
G
b
v−
∞=−=
G
G
OP
′
=
lorsqu’elles sont loin l’une de l’autre. Quel doit être leur paramètre d’impact b pour qu’elles se frôlent ?
V38. Positions de Lagrange.
On suppose qu’il existe un référentiel galiléen (R) et on se place dans ce référentiel dont on note l’origine O'. Deux
astres sphériques de masses m et m y sont seuls dans l’espace. Ils interagissent comme deux points matériels P
1 2 1 et P2
de vecteurs position r
11
J
JJJG
G
et r
22
OP
′
=
J
JJJG
G
. On pose 2
12
m
mm
λ=+.

1) Montrer que le centre de masse O de ces deux astres est immobile ou a un mouvement rectiligne uniforme.
Problème à deux corps, page 2
1
2) On se place dorénavant dans le référentiel galiléen (G) d’origine O et en translation par rapport à (R). On appelle
mouvement relatif celui d’une particule P de rayon vecteur 2
rOPr r==−
J
JJG
G
GG
. Montrer le mouvement de P est celui
d’une particule dont on définira la masse et la force qu’elle subit. µ
3) Montrer que le mouvement de P a lieu dans un plan (PL) fixe.
4) Exprimer 1
r
G
et 2 r
G
en fonction de r
G
et de . λ
Les mouvement des deux astres s’effectuent dans le plan (PL). On suppose désormais les deux astres en équilibre
relatif, c’est-à-dire que leur distance mutuelle D reste constante.
5) Les deux astres décrivent des mouvements circulaires de centre O. Exprimer leurs rayons r1 et r2 en fonction de D
et λ. Précisez l’ordre dans lesquels se trouvent P1, P2, P et O sur la droite suivant laquelle ils sont alignés.
6) Exprimer la vitesse angulaire ω commune aux mouvements de P, P1 et P2 en fonction de la constante de Cavendish
G, de m1, m2 et de D.
7) On cherche les positions d’équilibre relatif par rapport à P1 et P2 d’un troisième corps P3 de masse m3 très petite
par rapport aux deux autres. Ce corps ne perturbe que très peu les deux autres. Montrer que les positions d’équilibre
éventuelles sont nécessairement dans le plan (PL).
8) On suppose d’abord ce troisième corps situé sur la droite joignant les deux autres. Soit x son abscisse si l’on
oriente cette droite de P1 vers P2 et si l’on prend P1 comme origine. Montrer que est solution de : /zxD=
()
()
()
()
22
1signe()signe(1)
,0
1
zz
fz gz z
zz
−λ λ −
=λ=−−+−λ =
−.
9) Déterminer le sens de variation de la fonction
()
2
signe z
z
−dans les intervalles où elle est définie. Donner le tableau
de variation de
()
f
z ; combien l’équation
()
0
f
z= a-t-elle de racines ? Préciser les intervalles où se trouvent ces
racines.
10) A présent, on cherche les positions d’équilibre qui ne sont pas sur la droite joignant les deux astres. On ne
suppose pas négligeable devant les autres masses. On suppose qu’il existe un référentiel galiléen d’origine O' où
l’on se place. On note
3
m
123
,,rrr
G
GG
les vecteurs joignant O' aux trois mobiles. Montrer que le centre de masse O des trois
mobiles est immobile ou a un mouvement rectiligne uniforme.
11) On se place dans le référentiel, dit barycentrique, d’origine O et en translation par rapport au précédent. Ce
référentiel est galiléen. Les trois mobiles y sont dans un plan (PL) passant par O. Nous admettrons que ce plan est fixe.
Exprimer l’accélération 23
2
dr
dt
G
du mobile P3 en fonction de G, des masses, des rayons positions 123 ,,rrr
G
GG
et des distances
r31 et r32 qui le séparent des deux autres mobiles. Pour obtenir une équation vectorielle, on utilisera l’idée que /rr
G
est
un vecteur unitaire.
12) On suppose les trois mobiles en équilibre relatif. Quelles sont leurs trajectoires ? Faire un croquis d’une
disposition possible de O, des trois points à un instant donné et de leurs trajectoires.
13) Exprimer 23
2
dr
dt
G
en fonction de 3 r
G
et de la vitesse angulaire ω de P3.
14) Montrer que 11 22 33 0mr mr mr++=
G
GG
.
15) Ecrire l’égalité des expressions de l’accélération de P3 trouvées précédemment. Y remplacer
G
r2 par son
expression tirée de la question précédente. En déduire que, si les trois mobiles ne sont pas alignés, r31 = r32.
16) Montrer que les trois mobiles forment un triangle équilatéral.
VI22. Ondes gravitationnelles émises par un système de deux étoiles à neutrons (inspiré de
E3A 2006 PC).
La théorie d'Einstein de la relativité générale prévoit la propagation des déformations de l’espace-temps par les
masses sous forme d’ondes gravitationnelles. Depuis leur prédiction, en 1916 par Einstein, aucune expérience n'a
permis de détecter directement ces ondes. Les effets attendus sont en effet extrêmement faibles.
Parmi les sources d'ondes gravitationnelles, l'effondrement d'un système de deux étoiles à neutrons est un
phénomène que l'on pense détecter. Nous calculerons ce phénomène dans le cadre simplifié de la dynamique
newtonienne. Le référentiel d'étude
()
R
est supposé galiléen.
1. Système de deux étoiles.
Soit deux étoiles, de centres et , de distance , de masses égales M, de vitesses
1
A2 A12 rAA=1 v
G
et 2 v
G
, en
interaction gravitationnelle et seules dans l’espace. On les observe dans un référentiel galiléen
()
R
où elles
tournent l’une autour de l’autre ; on néglige leur rotation sur elles mêmes. On note la constante
de la gravitation.
11
6,67.10 SI
−
=G
1.a) Dans quelle mesure peut-on assimiler ces étoiles à des points matériels ? On fera cette hypothèse dans la suite.

1.b) Que peut-on dire du mouvement du centre de masse G des deux étoiles ? A partir de la question 1.d), nous
ferons l’hypothèse que ce centre de masse est immobile.
1.c) Appliquer le théorème de l’énergie cinétique à chaque étoile. En déduire que
()
2
22
12
1
2
M
EMvv r
=+−G
est constant au cours du temps.
1.d) On suppose à présent que les deux étoiles décrivent un même cercle de centre O et de rayon . Que
représente le point O ? Préciser la disposition des étoiles sur le cercle. R
1.e) Exprimer la vitesse angulaire de ce mouvement en fonction de ω
G
, M et R.
1.f) Montrer que 2
4
M
ER
=−G. Commenter son signe.
1.g) Le mouvement quasi circulaire de deux étoiles à neutrons, de masses , a, peu de temps avant
l'effondrement, une période très faible . Calculer le rayon R de l’orbite commune.
30
2, 8.10 kgM=
0, 1 sT=
2. Effondrement de ce système.
Le système binaire des deux étoiles ,
1
A2 A est une source d'ondes gravitationnelles ; ces ondes transportent une
certaine énergie. Un calcul de relativité générale montre que la puissance ainsi « rayonnée » dans le référentiel
()
R
s'écrit 246
5
10
og
MR
Pc
ω
=G, où est la vitesse de la lumière dans le vide.
8
3.10 m. sc− =1
L'émission des ondes gravitationnelles peut être modélisée par des forces non conservatives agissant sur le système
des deux étoiles. L'évolution étant lente, les trajectoires ne sont modifiées que très progressivement et on admet que les
formules précédentes sont encore largement applicables.
2.a) Qu'est ce qu'une force non conservative ?
2.b) Quelle relation existe-t-il entre dE
dt et og
P ?
Le rayon R de la trajectoire est désormais fonction du temps.
2.c) Montrer que R varie selon la loi 3
dR
dt R
α
=− et exprimer en fonction de c, G et M. α
2.d) Al’instant , .0t=0
RR= Déterminer R (t) en fonction de , t et α.
0
R
2.e) Représenter l'allure de la trajectoire de l'une des deux étoiles.
Les deux étoiles à neutrons sont des boules de rayon . 10 kmρ=
2.f) Déterminer, en fonction de , et α le temps au bout duquel les deux étoiles entrent en contact.
0
Rρc t
2.g) Exprimer en fonction de G, M et , la vitesse angulaire de rotation atteinte par le système à l'instant . ρc
ωc t
2.h) Application numérique : calculer et sachant que et .
c
tc ω5
02, 3.10 mR=30
2, 8.10 kgM=
2.i) Justifier que le modèle précédent n'est valable que si la condition /dR dt Rω est réalisée.
2.j) Cette condition est-elle vérifiée jusqu'à l'instant de contact ?
2.k) L’hypothèse de 1.a) est-elle valable jusqu'à l'instant de contact ?
3. Aspect énergétique.
3.a) Déterminer la puissance gravitationnelle rayonnée, , en fonction de t, , , c, M et
()
og
Pt α0 R
G
.
3.b) Représenter schématiquement le graphe
()
og
Pt
.
Une fois le contact réalisé, l'émission de l'onde gravitationnelle cesse.
3.c) Calculer la puissance maximale, notée rayonnée par le système sous forme d'onde gravitationnelle.
,maxog
P
3.d) Calculer l'énergie totale og
E rayonnée sous forme gravitationnelle entre les instants et . Commenter les
résultats de 3.c) et 3.d).
0t=c t
Réponses
I. 1) mouvement rectiligne uniforme de vitesse
()
0
Mv
vG Mm
=+
G
G
; 2) N et S décrivent des cercles de centre G et de
rayons mL
Mm
+ et mL
Mm
+ avec la vitesse angulaire commune ; 3)
0/vLω=
()
2
0
mMv
TmML =+.
II. 1)
() ()
22
12
12
22
dx dx
mFrmF
dt dt
=−=r
; 2)
()
2
212
11dr Fr
mm
dt
⎛⎞
⎟
⎜
=+
⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
; 12
12
mm
mm
µ= + ; 3)
61
612
p
ab
Err =−+2
; 4) ()
()
2
1/6
00
/12
p
a
rba Er b ==− ; 5)
Problème à deux corps, page 3

6) oui ; 7) 8
0
6a
r
ω=µ ; 8) 2
12
a
Db = ; 9) 6
23, 43.10 m c− π
λ==
ω (infrarouge).
III. 1) mouvement rectiligne uniforme ; 2) 11 1
ab
mm
=+
µ ; 3) ; le centre de masse est voisin de B.
a
mµ
IV. 21
2
8
4 1, 73.10 m
GmR 0
v∞
=+ =
bR .
V. 2) Particule fictive soumise à la force F2
G
et de masse telle que µ
12
11 1
mm
=+
µ ; 4) rr
1=−λ
G
G ;
()
21rr=−λ
G
G ; 5) rD ; r ; ordre P
1=λD=−λ
)
()
211, O, P2, P ; 6)
(
12
3
Gm m
D
+
ω= ; 9) fonctions
croissantes ; la fonction
()
f
z a trois zéros, l'un dans
]
[
,0−∞ , le second dans
]
[
0, 1 et le troisième dans
]
[
0, +∞ ;
11)
() ()
211 3 22 3
3
23 3
13 23
Gm r r Gm r r
dr
dt r r
−−
=+
G
GGG
G
; 12) mouvements circulaires uniformes de centre O : 13) 2323
2
dr r
dt =−ω
G
G
.
VI. 1.a) Etoiles à symétrie sphérique ; b) mouvement rectiligne uniforme ; d) le centre de masse e) 3
4
M
R
ω ;
f) état lié ; g)
=G
33
5
160
M
c
α ; d) RR ; e) spirale dont le rayon décroît d’abord très lentement, puis très
rapidement à la fin ; f)
=G
)
t=−α
(
1/4
4
04
44
042 000 s
4
c
R
t ; g)
−ρ
==
α1
36830 rad.s
4
c
M−
ω==
ρ
G ; j) oui ; k) non ;
3.a)
()
45
5/4
54
0
640 4
og
M
P ; c)
cR t
=−α
G45 46
,max 55 2, 19.10 W
640
og
M
P ;
d)
c
==
ρ
G
246
0
11 1, 25.10 J
4
og
M
EE ; rayonné essentiellement pendant la seconde qui précède le contact.
R
⎛⎞
⎟
⎜
=∆=−=
⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
ρ
G
Problème à deux corps, page 4

Corrigés
I.
1) Le centre de masse G a un mouvement rectiligne uniforme. Comme MON mOS
OG Mm
+
=+
J
JJG JJJG
J
JJG ,
() () ()
dOG Mv N mv S
vG dt M m
+
== +
J
JJG
G
G
G qui s’évalue par sa valeur initiale
()
0
Mv
vG Mm =+
G
G
.
2) Le mouvement relatif est un mouvement circulaire de rayon L. Il est uniforme, puisque la force est radiale. Sa
vitesse initiale est
() ( )
0
vS vN v−=
G
G, donc sa vitesse angulaire est .
0/vLω=
Les mouvements de N et S dans le référentiel barycentrique sont des mouvements homothétiques de ce mouvement.
Initialement mL
NG Mm =+ et ML SG Mm =+. N décrit un cercle de centre G et de rayon mL
Mm+ et S décrit un
cercle de centre G et de rayon mL
Mm+. Les trois points N, G et S restent alignés dans cet ordre et leur vitesse angulaire
est .
0/vLω=
3) Appliquée au mouvement relatif, la loi fondamentale de la dynamique s’écrit
()
2
0
mMv
TmML =+
II. Modèle de la molécule CO.
1)
() ()
22
12
12
22
dx dx
mFrmF
dt dt
=−=r
.
2) Divisons la première équation par m, la seconde par m et retranchons les :
1 2
()
2
212
11dr , d’où
l’expression de la masse réduite
Fr
mm
dt
⎛⎞
⎟
⎜
=+
⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
12
12
mm
mm
µ= .
+
3)
() ()
()
()
21 6
612
p
ab
12
p
F r dx F r dx F r dr E rr =−− =−⇒=−+dE en prenant une constante d’intégration
nulle de sorte que lim . 0
rp
E
→∞ =
4) A l’équilibre,
()
()
()
2
1/6
00 0
0/ 12
p
a
Fr . r ba E r b =⇒==−
5)
6) L’équilibre est stable, car Fr est décroissant en r ; autre démonstration : est minimum en r.
()
0
()
p
Er 0
7) D’après la conservation de l’énergie,
()
2
1
2, soit en dérivant par rapport au temps
p
rErcsteµ+ =
0
p
dE
rr r dr µ+ =
  ; en éliminant la solution parasite r, on obtient 0=
()
0
88
00
116
00
p
dE ar r a
rr
dr rr
−
+=⇒+=⇒ω=
µµ µ
  6
8)
()
()
2
012
pp
a
DE . Er b =∞− =
9) 86
14
223.10
3, 43.10 m
5, 5.10
c− ππ×
λ qui fait partie du domaine de l’infrarouge. == =
ω
Problème à deux corps, page 5