Bords de l`Effet Hall Quantique Fractionnaire dans la

Thèse de doctorat
Université Paris 11 – Orsay
École Doctorale de Physique en Ile de France
Présentée par
Paul Soulé
Pour obtenir le titre de docteur en sciences
Spécialité : Physique
Bords des Phases de l’Effet Hall
Quantique Fractionnaire dans la Géométrie
d’un Contact Ponctuel Quantique
À soutenir le 19 Septembre 2014 devant la commission d’examen
composée de
M. Malte HENKEL Rapporteur
M. Edmond ORIGNAC Rapporteur
M. Steven H. SIMON Examinateur
M. Mark Oliver GOERBIG Examinateur
M. Thierry JOLICŒUR Directeur de thèse

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Table des matières
1 Introduction 5
2 L’effet Hall quantique fractionnaire et ses géométries d’étude 9
2.1 Effet Hall à un corps .............................. 10
2.1.1 Trajectoire cyclotron .......................... 10
2.1.2 Niveaux de Landau ........................... 11
2.1.3 Jauge Symétrique et orbitales circulaires ............... 13
2.1.4 Jauge de Landau et Cylindre ..................... 16
2.1.5 Tore ................................... 19
2.1.6 Sphère .................................. 21
2.2 L’effet Hall fractionnaire, un problème à N corps fortement corrélés . . . . 23
2.2.1 Effet Hall dans les gaz d’électrons à deux dimension ......... 23
2.2.2 L’effet Hall entier ............................ 26
2.2.3 Modélisation des 2DEGs ........................ 28
2.2.4 Fonction d’onde de Laughlin ...................... 31
2.2.5 Pseudopotentiels de Haldane et interactions de cœur dur ...... 34
2.2.6 Excitations élémentaires neutres et de charge e/q .......... 38
2.3 L’effet Hall quantique fractionnaire sur le cylindre .............. 40
2.3.1 Hamiltonien d’interaction dans le plus bas niveau de Landau . . . . 41
2.3.2 Potentiel de confinement ........................ 46
2.3.3 Fonction d’onde de Laughlin sur le cylindre ............. 49
2.3.4 Diagonalisations numériques exactes ................. 52
3 États produit de matrice dans la limite du cylindre fin 55
3.1 Limite Tao-Thouless .............................. 57
3.2 Modèle tronqué ................................. 60
3.2.1 Développement limité de e H(λ)..................... 60
3.2.2 États fondamentaux exacts de e H9
F................... 63
3.2.3 Représentation en terme de Produits de Matrice (PM) ....... 65
3.2.4 Propriétés des états propres du modèle tronqué ........... 66
3.2.5 Quasi-électron et excitations collectives ................ 68
3.3 Gap du Hamiltonien de cœur dur et limites en orbitales ........... 69
3.3.1 Étude du gap du Hamiltonien de cœur dur. ............. 69
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TABLE DES MATIÈRES
3.3.2 Nature des états sans gap ....................... 71
4 États de bord d’une bande d’EHQF à ν= 1/q 75
4.1 Introduction : Contacts Ponctuels Quantiques (QPC) et géométrie cylin-
drique ...................................... 75
4.2 Spectre des quasitrous et États de bord à ν= 1/q .............. 77
4.2.1 Espace des Quasi-trous dans la géométrie cylindrique ........ 77
4.2.2 Potentiel de confinement u(x)..................... 82
4.2.3 Spectre des états de bord dans la géométrie cylindrique ....... 84
4.3 Liquide de Luttinger chiraux aux bords des phases ν= 1/q ......... 87
4.3.1 Théorie effective des états de bord à ν= 1/q ............. 87
4.3.2 Vérification microscopique dans la géométrie du disque ....... 92
4.4 Liquide de Luttinger aux bords d’une bande de Hall fractionnaire ..... 94
4.4.1 Théorie effective des excitations de bord. ............... 94
4.4.2 Spectre d’un liquide de Luttinger non-chiral ............. 96
4.4.3 Mesure numérique du paramètre de Luttinger ............ 99
4.4.4 Recombinaison des bords ........................101
5 États de bord du Pfaffien à ν= 5/2107
5.1 ν= 5/2et la fonction d’onde de Moore-Read .................107
5.1.1 Le mystère de l’EHQF à ν= 5/2...................107
5.1.2 La fonction d’onde de Moore-Read et ses quasi-trous non-Abéliens . 110
5.2 Théorie effective aux bords du Pfaffien ....................113
5.2.1 Théorie chirale d’un boson et d’un fermion de Majorana ......113
5.2.2 Théorie conforme Ising×U(1) aux bords dans la géométrie du cylindre116
5.3 Mesure numérique des dimensions conformes .................124
6 Quantum Spin Hall phase in Graphene via adatoms deposition 129
Conclusion 135
Appendices 137
A États propres du Hamiltonien tronqué 137
A.1 État fondamental ................................137
A.2 Espace des états d’énergie zéro .........................138
A.3 Calcul de la distribution d’impulsion : hˆnmi.................139
Remerciements 141
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Chapitre 1
Introduction
L’effet Hall quantique fractionnaire (EHQF) découvert au début des années 80 est un
thème de recherche majeur de la physique de la matière condensée. Son intérêt est fon-
damental et va bien au delà d’un simple effet complexe impliquant des interactions entre
électrons. En effet, il met en jeu des quasi-particules de charge fractionnaire dont la sta-
tistique elle-même est fractionnaire. Ce phénomène remarquable nécessite par lui-même
une extension de la mécanique quantique ordinaire. Dans sa formulation par l’intégrale
de chemin il a été montré par Laidlaw & DeWitt (1971) puis par Leinaas & Myrheim
(1977) que lorsque la dimension de l’espace est seulement deux alors l’échange de deux
particules peut faire intervenir une phase quelconque, pas seulement ±1comme c’est le cas
à trois dimensions et plus. C’est ce que l’on appelle désormais une statistique anyonique.
Compris plus récemment encore, l’effet Hall quantique fractionnaire peut impliquer des
statistiques quantiques plus générales dites non-Abéliennes où la phase d’échange devient
une matrice agissant dans un espace d’états qui n’est plus unidimensionnel. La descrip-
tion de ce nouvel état de la matière nécessite l’introduction de nouveaux outils comme
les théories de Chern-Simons qui décrivent la correspondance entre le volume et le bord
de ces phases. L’étude de ce phénomène mobilise de nombreux domaines différents de la
physique théorique : problème a N corps en interactions, théories des champs de Chern-
Simons, théories des champs invariantes conformes à deux dimensions. L’EHQF fait aussi
appel à des aspects mathématiques très riches : groupe des tresses pour le “braiding” des
anyons, théories des polynômes symétriques de Jack, entropie ou spectre d’intrication de
la matrice densité.
L’effet Hall quantique fractionnaire a été observé dans divers systèmes bidimension-
nels. Au départ il s’agissait surtout de gaz d’électrons dans des hétérostructures ou puits
quantiques à base de GaAs. Ont suivi de nombreux autres semi-conducteurs comme des
puits quantiques de silicium, des hétérostructures Si/SiGe. Enfin plus récemment, l’EHQF
a été observé dans le graphène. Ces nouveaux matériaux font intervenir un degré de li-
berté supplémentaire, la dégénérescence de vallée. Ceci conduit à une richesse encore plus
grande des états fondamentaux du système ainsi que de leurs excitations, qui mettent en
jeu des quasi-particules dites “skyrmions” où les degrés de liberté de spin ou de vallée sont
intriqués avec la position spatiale. À nouveau ceci montre le lien avec d’autres domaines
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