Intro à la logique mathématique

Mathématiques discrètes :
Chapitre 1 : Introduction à la logique mathématique
(Discrètes≠Continues, ce qu'on voit jusqu'en terminale)
Énoncés :
Propositions ou Assertions :
Une proposition (=assertion) est un énoncé complet, une affirmation, qu'elle soit vraie ou fausse.
Exemple : 1+1=3
Jean est grand
3 est un nombre premier ou 4 est un nombre premier
Définitions :
Une définition sert à introduire et nommer un nouvel objet mathématique ou un nouveau concept.
Une définition est ce qu'elle est, et on doit la respecter.
Exemple : Un triangle est un polygone à trois cotés
Si x est un réel, le plus grand des nombres x et -x s'appelle valeur absolue de x
Notations :
Une notation permet de remplacer un objet ou un concept par une lettre ou un symbole.
A ne pas confondre avec les définitions, bien que souvent on fait suivre une définition par une
notation.
Exemple : Notons I l'intervalle [0,1]
Si x est un nombre réel, la valeur absolue de x se note [x]
Affectation :
Une affectation permet de donner un nom temporaire non défini car il est sujet à varier.
A ne pas confondre avec les notations où les objets sont bien définis, et le lien entre le nom et
l'objet a plus de durée.
Exemple : Soit x un nombre strictement positif → x représente une variable, x peut-être n'importe
quel nombre réel.
Prédicat :
Un prédicat est un énoncé incomplet car il contient des variables non spécifiées (dites libres).
Exemple : x2+2x+1=0 ← on ne connaît pas la valeur de x on ne peut donc dire si l'expression est vraie
Connecteurs logiques :
Négation :
Si P est une proposition alors la négation de P, notée non(P) :
P
non(P)
FALSE
TRUE
TRUE
FALSE
Disjonction :
Si P et Q sont deux propositions alors la disjonction de P et Q, notée P ou Q.
P
Q
P ou Q
FALSE
FALSE
FALSE
FALSE
TRUE
TRUE
TRUE
FALSE
TRUE
TRUE
TRUE
TRUE
Tiers exclu :
Fait qu'il n'y a pas d'autres possibilités pour une assertion que d'être vraie ou fausse (c'est à dire que
ça négation est vraie). L'assertion P ou non(P) est toujours vraie. On parle de tautologie.
Exemple : « Je vais à la mer ou pas »
Conjonction :
Si P et Q sont deux propositions alors la conjonction de P et Q, notée P et Q.
P
Q
P et Q
FALSE
FALSE
FALSE
FALSE
TRUE
FALSE
TRUE
FALSE
FALSE
TRUE
TRUE
TRUE
Principe de non contradiction :
Affirmer qu'une chose ne peut être vraie et fausse à la fois, soit qu'une assertion et sa négation ne
peuvent être vraie simultanément. On a donc P et non(P) est toujours fausse.
Implication :
L'implication de P vers Q, notée P => Q. Elle se lit « Si P alors Q »
P
Q
P => Q
FALSE
FALSE
TRUE
FALSE
TRUE
TRUE
TRUE
FALSE
FALSE
TRUE
TRUE
TRUE
Exemple : S'il fait beau alors je vais à la plage
Si 1=3 alors Paul est gentil
Si 0=0 alors Pierre n'est pas blond
Implications comme disjonction :
P
Q
non(P) non(P) ou Q
P => Q
FALSE FALSE
TRUE
TRUE
TRUE
FALSE
TRUE
TRUE
TRUE
TRUE
TRUE
FALSE FALSE
FALSE
FALSE
TRUE
TRUE
TRUE
TRUE
FALSE
Négation d'une implication :
non(P => Q)=non(non(P) ou Q) <=> non(P => Q)= P et non(Q)
Exemple : La négation de « S'il pleut alors le sol est mouillé » est « Il pleut et le sol n'est pas mouillé »
Contraposée et Réciproque :
Contraposée d'une implication : P=>Q est non(Q)=>non(P) ← ces deux propositions sont logiquement équivalentes
Réciproque d'une implication : P=>Q est Q=>P ← ces deux propositions ont des sens différents
Quantificateurs :
Instanciation :
On instancie une variable libre d'un prédicat en lui affectant une valeur, la variable instanciée devient liée.
Exemple : Si P(x,y) est le prédicat x ≥ y2 alors : - P(-1,y) est le prédicat -1 ≥ y2
- P(x,3) est le prédicat x ≥ 9
- P(-1,3) est l'assertion -1 ≥ 9
Quantification :
Les quantificateurs permettent de préciser le type de variabilité permise aux variables libres d'un
prédicat, ainsi que l'espace de variation. Il en existe deux :
• Le quantificateur universel : « Pour tout » noté « ∀ »
Il dit que la variable peut prendre toutes les valeurs dans un ensemble donné.
Exemple : « Tout les hommes sont mortels. »
•
Le quantificateur existentiel : « Il existe (au moins un) » noté « ∃ »
Il dit que la variable peut prendre une valeur dans l'ensemble donné.
Exemple : « Certains hommes meurent jeunes. »
Soit P(x) est un prédicat, avec x variable libre :
-Alors la proposition ∀x∈E,P(x) , qui se lit « Pour tout x appartenant à E on a P(x) », est
vraie si et seulement si toutes les instanciations de x dans E donnent des assertions vraies.
Il suffit qu'il existe une valeur a ∈ E telle que P(a) est fausse pour que la proposition quantifiée
soit fausse, on appelle ceci un contre-exemple.
-Alors la proposition ∃x∈E,P(x) , qui se lit « Il existe x appartenant à E tel que P(x) », est
vraie si au moins une instanciation de x parmi les valeurs de l'ensemble E obtient une assertion vraie.
Négation d'un quantificateur :
Théorème : - non(∀x∈E,P(x)) = ∃x∈E,nonP(x)
- non(∃x∈E,P(x)) = ∀x∈E,nonP(x)
Exemple : La négation de « Je suis toujours la » est « Parfois je suis absent »
La négation de ∀x∈ ,x2 +2x+1=0 est ∃x∈ ,x2 +2x+1≠0