Exercice 1 Soit X un espace topologique muni d`une relat

UNIVERSIT´ E D’ARTOIS
FACULT ´ E JEAN PERRIN
DS1 Octobre Ann´ee 2005/06
MATRISE DE MATH´ EMATIQUES-INFORMATIQUE - TOPOLOGIE
(1 heure et demie)
Exercice 1
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Soit Xun espace topologique muni d’une relation d’´equivalence ∼. Montrer que si la projection
canonique π:X→X/∼est ouverte et le graphe Γ est ferm´e, alors l’espace quotient X/∼est
s´epar´e.
Exercice 2
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Sur l’espace topologique X=Ron consid`ere la relation d’´equivalence R1d´efinie par
xR1y⇐⇒ x−y∈Z.
(a) Calculer le graphe.
(b) Calculer l’espace quotient R/R1.
(c) La projection canonique π:R→R/R1est-elle ouverte?
(d) La projection canonique π:R→R/R1est-elle ferm´ee?
Exercice 3
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Sur l’espace topologique X=Ron consid`ere la relation d’´equivalence R2engendr´ee par la relation
xE2y⇐⇒ x2+y2≤1/4.
(a) Calculer le graphe.
(b) D´ecrire l’espace quotient R/R2.
(c) La projection canonique π:R→R/R2est-elle ouverte?
(d) La projection canonique π:→R/R2est-elle ferm´ee?
Exercice 4
♣♣♣♣♣
Sur l’espace topologique X=Ron consid`ere la relation d’´equivalence R3engendr´ee par la relation
xE3y⇐⇒ x2+y2≤1/4 ou x−y∈Z.
(a) Calculer le graphe.
(b) D´ecrire l’espace quotient R/R3.
(c) La projection canonique π:R→R/R3est-elle ouverte?
(d) La projection canonique π:R→R/R3est-elle ferm´ee?