Trigonométrie Cercle trigonométrique J Définition : Le cercle trigonométrique est un cercle dont le rayon OI vaut 1 unité, parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Sens direct ou trigonométrique I O Sens indirect ou rétrograde Activité : • Soit C un cercle trigonométrique de centre O d' unité de longueur la longueur OI. • (OJ) est parallèle à OI. • (d) est la droite tangente au cercle en I. • (d) est forme une droite graduées d'origine I et d'unité IK = OI ̂ , IOA ̂ et IOB ̂ ? 1. Quelles sont les mesures en degré des angles au centre IOJ Dans chaque cas, cette mesure est elle unique ? "Enroulons" (d) sur le cercle. Les points de (d) viennent en coïncidence avec les points du cercle. π 3 2 J A 1 I O B -1 -2 2. Quels sont les abscisse de J, A et B ? On faire correspondre l'abscisse d'un point à l'angle au centre qu'il décrit. -3 -π ̂ , IOA ̂ et IOB ̂ ? 3. Quelles sont les abscisses correspondantes aux angles au centre IOJ Définition : Le radian est une autre unité d’angle. Sur un cercle trigonométrique, un angle au centre de mesure 1 radian intercepte un arc dont la longueur est égale à une unité de mesure. (Le mot radian vient du latin Radius qui signifie le rayon.) π/2 1 1 radian π -π 0 O -π/2 -1 -1 radian K Sinus, Cosinus et Tangente Définition : ̂ = x rad Soit M un point du cercle trigonométrique tel que IOM • Le cosinus de x, noté cos(x), est l’abscisse de M. • Le sinus de x, noté sin(x), est l’ordonnée de M. • La tangente de x, noté tan(x), est donné par l'abscisse de T sur l'axe ( IT ) tan(x) = sin( x ) π pour tout x ≠ + k2π, k ∈ Z cos(x ) 2 Propriétés : Pour tout x ∈ Z : • -1 ≤ cos(x) ≤ 1 et • cos ² (x) + sin ² (x) = 1 -1 ≤ sin(x) ≤ 1 Valeurs remarquables de la trigonométrie x en radian x en degré cos(x) sin(x) tan(x)