Le microscope à contraste de phase

1
DEVOIR SURVEILLE DE PHYSIQUE N°6
PC*1 / PC*2 / PC
14 janvier 2017
APPLICATIONS DE L’OPTIQUE A L’IMAGERIE MEDICALE
Le microscope à contraste de phase
Dans le cadre d’observation en médecine ou en biologie cellulaire, de nombreuses
cellules se trouvent être quasiment invisibles du fait de leur grande transparence
en lumière visible. La solution possible qui consiste à injecter un colorant n’est
pas toujours adaptée aux cellules vivantes.
En 1934, le néerlandais Frederik « Frits » Zernike (1888-1966) proposa une
méthode optique, le microscope à contraste de phase, permettant de traduire de
très légères différences d’indice de réfraction en variations d’intensités, rendant
ainsi visibles au microscope des objets transparents. Cette invention valut à
Zernike le pris Nobel de physique en 1953.
Cette méthode d’imagerie est encore très utilisée de nos jours.
Ce document propose d’en comprendre le principe.
On raisonne sur le montage suivant :
X
objectif
Ecran
(L)
O
a
d1
d2
Une lame de microscope (L) porte les cellules que l’on souhaite observer. Par souci de simplicité, la lame (L)
nue, ie sans cellule, est supposée parfaitement transparente, et on modélisera le microscope par son seul objectif,
assimilé à une lentille mince convergente de distance focale f ' . Par ailleurs, on raisonnera à une seule
dimension et les cellules sont supposées être réparties uniformément sur la lame selon OX , les centres de deux
cellules voisines étant distants de a.
Le facteur de transmission de la lame (L) portant les cellules est de la forme : t( X ) = exp − jΔϕ( X )
(
)
Cette lame (L) est éclairée par un faisceau lumineux monochromatique de longueur d’onde dans le vide λ 0 .
Cependant, le cytoplasme qui constitue l’essentiel de la cellule possède un indice de 1,37 tandis que l’indice
du liquide physiologique dans lequel elle évolue vaut 1,34.
Ainsi, l’éclairement dans le plan (P) ne permet pas de distinguer les cellules presque transparentes.
Le principe de l’imagerie par contraste de phase est d’insérer dans le plan de Fourier une lame ( LC ) présentant
deux domaines : le domaine (N) ou neutre, et le domaine (C) occupant la partie centrale de la lame.
La traversée de la lame par une onde lumineuse ne s’accompagne d’aucun changement d’amplitude ni de
déphasage dans le domaine (N), tandis que dans le domaine (C) l’onde subit une atténuation d’amplitude d’un
facteur ε et un retard de phase algébrique ψ. On peut ainsi exprimer le facteur de transmission complexe de la
lame dans la zone (C) par tC = ε exp − jψ .
(
)
Janson de Sailly PC*1 / PC*2 / PC Devoir surveillé de physique n°6
2
Pour comprendre l’effet de l’insertion de la lame ( LC ) sur l’image formée dans le plan (P), on écrit le facteur
( (
) )
Le premier terme « 1 » correspond à la lame (L) nue. Le second terme « exp ( − jΔϕ( X )) −1 » forme tous les
de transmission de la lame (L) sous la forme t( X ) = 1+ exp − jΔϕ( X ) −1
autres points lumineux présents dans le plan de Fourier. La lame ( LC ) est placée de telle manière à ce que le
point lumineux central soit dans la zone (C) alors que les autres points lumineux se situent dans la zone (N).
La lame ( LC ) a donc pour effet de modifier le facteur de transmission de la lame (L) uniquement pour le
(
)
premier terme « 1 » et non pour le second terme « exp − jΔϕ( X ) −1 ».
Tout se passe comme si l’on visualisait dans le plan (P) l’image d’une lame fictive ayant pour facteur de
( (
) )
transmission t'( X ) = tC + exp − jΔϕ( X ) −1
En supposant que Δϕ << π , on peut alors établir que l’intensité observée sur le plan (C) prend la forme
(
approchée I'( X ) ≈ I 0 ε 2 + 2εΔϕ( X )sin ψ
)
En jouant sur la valeur de ψ , on peut optimiser la dépendance de I'( X ) avec le déphasage, et rendre les
cellules bien visibles.
Questionnaire
1) Exprimer en fonction de f ' les valeurs de d1 et d 2 qui permettent d’obtenir un grandissement ×10.
(
)
2) Justifier physiquement l’expression du facteur de transmission t( X ) = exp − jΔϕ( X ) de la lame (L)
portant les cellules, et exprimer le déphasage Δϕ( X ) au passage d’une cellule d’épaisseur e et d’indice ncyt .
3) Pourquoi « l’observation de l’éclairement dans le plan (P) ne permet pas de distinguer les cellules » ?
4) Rappeler la définition du plan de Fourier, et préciser où se situe le plan de Fourier de la lame (L).
5) Décrire la répartition d’intensité dans le plan de Fourier, et faire un schéma de ce que l’on observe dans ce
plan.
6) Si le premier terme « 1 » était le seul présent dans t( X ) , quelle serait la répartition de la lumière dans le
plan de Fourier de la lame (L) ?
7) A quelle condition non précisée dans le document la lame ( LC ) modifie le facteur de transmission de la
(
)
lame (L), uniquement pour le premier terme « 1 », et non pour le second terme « exp − jΔϕ( X ) −1 » ?
8) Justifier que « Tout se passe comme si l’on visualisait dans le plan (P) l’image d’une lame fictive ayant
( (
) )
pour facteur de transmission t'( X ) = tC + exp − jΔϕ( X ) −1 ».
Comment peut-t-on qualifier le type de filtrage effectué par la lame ( LC ) ?
9) Donner l’ordre de grandeur de Δϕ pour une cellule de 1µm de diamètre éclairée par une lumière verte.
10) Vérifier que, si Δϕ << π , ce que l’on justifiera, l’intensité I'( X ) en sortie de la lame fictive de facteur de
(
)
transmission t'( X ) s’exprime bien de façon approchée par I'( X ) ≈ I 0 ε 2 + 2εΔϕ( X )sin ψ .
11) Préciser les valeurs de ψ qui rendent les cellules le plus visibles possibles. Quel est l’intérêt d’avoir
atténué la lumière dans la lame ( LC ) ? On pourra raisonner sur le contraste, et justifier la nécessité d’un
compromis.
Janson de Sailly PC*1 / PC*2 / PC Devoir surveillé de physique n°6
3
Principe de la tomographie par cohérence optique (OCT)
La tomographie par cohérence optique (OCT : Optical Coherence Tomography) est un procédé interférométrique
non invasif permettant de réaliser des images en coupe de tissus biologiques avec une résolution de l'ordre du
micromètre. On l’utilise entre autres en ophtalmologie. On se propose d'en illustrer le principe.
A – Préliminaire
La base de l'appareil est un interféromètre de Michelson.
On raisonnera pour simplifier sur l'interféromètre « théorique »,
uniquement constitué de deux miroirs (M1) et (M2)
et d'une lame séparatrice (SP) idéale, c'est-à-dire infiniment mince
et séparant un faisceau lumineux incident en deux faisceaux d'égale
intensité. On admet qu’il n’apparaît pas de déphasage supplémentaire
lors des réflexions sur la séparatrice.
L'appareil est réglé en lame d'air, c'est-à-dire que (M2) et
l'image (M’1) du miroir (M1) par la séparatrice sont parallèles.
Les positions de (M’1) et (M2) sont repérées sur l'axe Oz
(voir figure 1). (M’1) est en z, (M2) en z0 .
La lumière se propage dans l'air dont l'indice sera pris égal à 1.
Figure 1
1) Quelle condition doivent satisfaire deux ondes lumineuses pour
produire des interférences ? Comment réaliser expérimentalement cette condition ?
2) Qu'est-ce qu'une onde monochromatique ? Une telle onde existe-elle ? Pourquoi ? Justifier qualitativement
la réponse. Décrire une onde réelle qui s’en rapproche.
Donner deux exemples de dispositifs permettant de produire une onde quasi-monochromatique.
3) L'interféromètre, réglé en configuration lame d'air, est éclairé par une source quasi-monochromatique
ponctuelle située à distance finie.
a) Comment réaliser une source (quasi) ponctuelle à distance finie 2) ? On pourra faire un ou des schéma(s).
b) On observe les franges d'interférences sur un écran parallèle à (M2). Où peut-on placer l'écran ?
Décrire en quelques mots la figure d'interférence.
c) On remplace la source ponctuelle par une source monochromatique étendue autour du point S .
Comment évolue la figure d'interférence ? Où peut-on voir des franges ? Comment les nomme-t-on ?
4) La source étant toujours étendue, on place l'écran dans le plan focal image d'une lentille convergente (L)
de distance focale f ' , dont l'axe optique est perpendiculaire à (M2).
Etablir l'expression de la différence de marche au point M en fonction de r = F'M ( F' foyer image de
(L), de f ' , et de l'épaisseur e de la lame d'air. On supposera que les rayons lumineux font des angles
faibles avec l'axe optique.
5) Comment nomme-t-on la position particulière z = z0 ? Que voit-on alors sur l'écran ?
6) Lorsqu'on translate (M1), on fait les observations suivantes :
• avec une source de lumière blanche, l'éclairement sur l'écran cesse de varier et devient uniforme après
un déplacement de quelques micromètres ;
• avec une lampe à vapeur de mercure équipée d'un filtre interférentiel sélectionnant la raie verte, le même
phénomène se produit pour un déplacement de quelques millimètres ;
• avec un laser hélium-néon, le phénomène n'est pas observé.
Définir la longueur de cohérence temporelle LC d'une source. Que nous apprennent les observations
précédentes quant aux longueurs de cohérences temporelles des sources?"
Janson de Sailly PC*1 / PC*2 / PC Devoir surveillé de physique n°6
4
7) On place au foyer image F' de (L) un photodétecteur quasi ponctuel.
La source primaire est une source monochromatique de longueur λ0. On appelle nombre d'onde la quantité
1
et donc proportionnelle à la fréquence ν de la radiation lumineuse.
λ
Donner l'expression de l'intensité lumineuse I( z ) reçue par le photodétecteur, en fonction de z, z0, σ0 et
de l'intensité lumineuse I0 qu'il recevrait si l'on masquait le miroir (M2).
σ=
8) La source primaire n'est plus monochromatique. L'intensité que produirait l'interféromètre en F' dans
l'intervalle de nombres d'onde ⎡⎣σ,σ + dσ ⎤⎦ si l'on masquait l'un des deux miroirs est G( σ ) dσ, où G( σ )
est une fonction proportionnelle à l'intensité spectrale de la source.
a) Chaque intervalle spectral élémentaire ⎡⎣σ,σ + dσ ⎤⎦ pouvant être assimilé à une source monochromatique,
que dire de deux intervalles spectraux différents ? En déduire, en la justifiant, sous forme d'une intégrale
sur σ, la nouvelle expression de l'intensité I( z ) en fonction de z, z0, et G( σ ) .
b) Calculer explicitement I( z ) dans le cas d'une source à profil spectral rectangulaire de largeur Δσ :
G( σ ) = G0 si σ ∈ ⎡⎣σ 0 − Δσ / 2,σ 0 + Δσ / 2 ⎤⎦ et G( σ ) = 0 sinon.
(
)
On exprimera le résultat sous la forme : I( z ) = C 1+V ( z ) f ( z ) et l’on déterminera les expressions de
la constante C, du facteur de visibilité ou contraste V ( z ) et de la fonction f ( z ) .
On supposera que V ( z ) varie lentement en fonction de z, comparé à f ( z ) .
c) La figure 2 donne le graphe de I( z ) / C . Déterminer z0, σ0 et Δσ en précisant la méthode utilisée.
z en mm
Figure 2
d) Préciser la relation qui lie Δσ à la longueur de cohérence temporelle.
Déduire les ordres de grandeur des largeurs spectrales Δσ des différentes sources de la question 6),
et la nature de la source utilisé pour obtenir la figure 2. Interpréter la présence des lobes secondaires.
B - OCT en domaine temporel
On reprend le principe d’un interféromètre de Michelson, mais le miroir (M2) est maintenant une lame (L) à
analyser, tandis que le miroir (M1) , appelé miroir de référence est inchangé.
La lame (L) n’est que partiellement réfléchissante, et caractérisée par un coefficient ρ réel de réflexion pour
l'amplitude. On ne tiendra pas compte d’éventuels déphasages ondulatoires liés à la réflexion de l'onde sur la
lame ou sur le miroir de référence.
Le but est de déterminer la valeur de ρ et la distance z de la lame au centre de la séparatrice.
9) On suppose la source monochromatique de nombre d'onde σ0.
a) Quelle est la nouvelle expression de l’intensité I( z ) ? Comment le contraste est modifié par rapport
au cas d’une lame parfaitement réfléchissante ?
b) Montrer que la mesure des intensités maximale I Max et minimale I min permet d’accéder à la valeur de ρ.
Janson de Sailly PC*1 / PC*2 / PC Devoir surveillé de physique n°6
5
10) On suppose maintenant la source polychromatique comme décrire à la question 8)
En exploitant le graphe de la figure 2 de façon qualitative dans la situation présente, justifier que la mesure
des variations de l’intensité permet d’accéder simplement à la distance z de la lame (L) à la séparatrice.
Pour comprendre comment l’OCT permet de sonder un échantillon
en profondeur, on remplace la lame (L) par N lames ( L1 ), ( L2 ),…( LN )
de positions z1 < z2 <... < zN et de coefficients de réflexion pour
l'amplitude ρ1, ρ2, ...ρN tous réels (figure 3).
On considère que les coefficients ρi sont tous des infiniment petits
de même ordre , ρi << 1 .
11) Etablir que dans le cas d’une source monochromatique de nombre
d'onde σ0 l’intensité prend la forme approchée :
N
⎛
⎞
I( z ) = I 0 ⎜ 1+ 2∑ ρi cos 4πσ 0 ( z − zi ) ⎟
⎝
⎠
i=1
(
)
Figure 3
12) L'appareil est maintenant éclairé avec la source de profil spectral
rectangulaire de largeur Δσ déjà définie G( σ ) = G0 si σ ∈ ⎡⎣σ 0 − Δσ / 2,σ 0 + Δσ / 2 ⎤⎦ et G( σ ) = 0 sinon.
N
⎛
⎞
Montrer que l’intensité s’exprime sous la forme I = G0 Δσ ⎜ 1+ 2∑ ρi Vi ( z )cos 4πσ 0 ( z − zi ) ⎟
⎝
⎠
i=1
(
)
et expliciter le terme Vi ( z ) .
13) En partant du graphe de la figure 2, tracer I( z ) dans le cas N = 2 avec ρ1 = 4.10-2 , ρ2 = 2.10-2, z1 = z0 ,
z2 = z0 +5/Δσ, en précisant les dimensions significatives.
14) a) Dans le cas général, montrer que la mesure de I( z ) permet de déterminer tous les couples (zi , ρi ) à
condition que les quantités zi+1 − zi soient supérieures à une certaine valeur que l'on exprimera à partir
de la largeur spectrale de la source, puis de sa longueur de cohérence.
b) Quelle source choisir pour avoir la meilleure résolution possible ?
c) Qu’est ce qui limite la profondeur sur laquelle l’échantillon est sondé ?
d) Justifier physiquement la nécessité de l’hypothèse ρi << 1.
15) Comment la connaissance des couples (zi , ρi ) permet d’accéder à une image en 3 D de l’organe ?
Proposer une explication succincte…
Janson de Sailly PC*1 / PC*2 / PC Devoir surveillé de physique n°6