UNE NOTE SUR DES MODULES ELASTIQUES

UNE NOTE SUR DES MODULES
par
J. VARELA
ELASTIQUES·
B.
Dans [2] on a introduit la notion de structure elastique
que voila: Etant donne un ensemble
ture, on dira que
sur
X
X
X
muni d'une struc-
est elastique (ou que la structure
est elastique) si
X
est isomorphe
a
un de ses
sous-ensembles propres muni de la structure induite sur
lui par celIe de X. II est clair que pour
q'une struc-
ture sur un ensemble donne Eoit elastique il est nece
ssaire que
soit infini. Dans [21 on a montre, par e-
X
xemple , que l'espace
topologique
usuelle) est elastique
R (avec sa topologie
mais que
R
avec sa structure
uniforme additive n'est pas elastique. On y trouvera d'autres exemples.
On se propose dans cette note de montrer la proposition suivante:
PROPOSICION.- Soient
A
un domaine d'integrite et
son corps de fractions. Si
tout element ·x E E,
elastique si
E
x!o,
E
soit libre, alors
est nastique,
l'espace vectoriel associe
a
K
est un A-module tel.que
ou
E(K)
E(K) = K ~\E
est
est
E.
Preuve: On peut supposer que
A
I
Z/(2), car dans ce
cas la proposition est evidente. Ceci dit, comme est elastique, il existe un A-isomorphisme
f(E)
I
E. Soit
suivant:
26
f:E ~ E
tel que
E'= feE) I et considerons Ie diagramme
"
ou
n
et
f
sont des
fagon suivante:
n(x)
element unite de
A)
A-representations definies de la
e e x,
et
g
f(x) = e ~f(x)
est
la K-representation
qui laisse commutatif le diagramme
que tout element de
plique que
n
trons que
fest
si
E
est un
n·:E·....
E )
CK
(1). L'hypothese de
different de
0
soit libre, i~
A-isomorphisme (rl],~2,no.3).Mon-
aussi un
A-isomorphisme: en effet,
est d~finie par
f(x) = e@f(x)
n'(x') = eex;
f(x) = 0, et par consequent, que
car
aussi
E' different de
0
tive. Mais alors
11 nous reste
un
a
est un
f
est done bien injec-
K-isomorphisme.
demontrer que
g
n'est pas surjecti
ve. Mais pour cela, il Buffit de voir que
sous-espace propre de
x = 0,
A-isomorphisme (Tout element de
est libre);
g
alors
= n'(f(x)) = 0
entra1ne que
nest
(e est l'
ECK)
est un
E(K). En effet, l'application ca
nonique A ex' -4 A. x"
de E ) dans E(K) est un
CK
K-isomorphisme qui n'est pas surjectif, car si A~x'=MO
entratne que
n(x') = A ~x"= 0
alors
n(x') = 0,
et
x'= 0; d'autre part, si x E E - E' et 0 f A
n
pour tout A. E
E K, on aura que Aex f Li=l A.(e@x~)
1
1
1
K at tout x~ E E', car sinon on aurait
done que
1
eez
et en prennant
que
PA-1A. = u.
1
rl
PEA
L~=l (A-l\)(e~x~),
(
f
Z/(2)),
appart1enne
a
0
A
f
P
f
pour
1
et tel
i = l,•••,n;
27
et, par consequent,
d'ou
ce qui
est contradictoire.
C.Q.F.D.
[1] BOURBAKI,
[21
VARELA,
J.:
N.: Algebre MU1ti1ineaire,
Tesis, Bogota,1965.
Departamento de Matem~ticas
Universidad Nacional de Colombia.
Recibido: febrero,1967.
28
Paris,1958.