MP Janson Formulaire de trigonométrie Formulaire de trigonométrie 1. Identités fondamentales : D’après la formule d’Euler, pour tout t P R, eit “ cosptq ` i sinptq et cosptq “ eit ` e´it eit ´ e´it “ <peit q et sinptq “ “ =peit q 2 2i De plus, @ t P R, cos2 ptq ` sin2 ptq “ 1. Réciproquement, pour tout pa, bq P R2 vérifiant a2 ` b2 “ 1, il existe un unique réel t P r0, 2πr tel que a “ cosptq et b “ sinptq. 2. Valeurs particulières t 0 cosptq 1 sinptq 0 tanptq 0 π 6 ? 3 2 1 2 ? 3 3 3. Périodicité et invariance Pour tout x P R, cospx ` πq “ ´ cospxq cospx ` kπq “ p´1qk cospxq cospπ ´ ´ xqπ ¯ “ ´ cospxq “ ´ sinpxq cos x ` ´π 2 ¯ cos ´x “ sinpxq 2 !π Pour tout x P D “ R ´ ` kπ, k 2 π 4 ? 2 2 ? 2 2 1 π 3 1 2 ? 3 2 ? 3 π 2 π 0 ´1 1 0 2016/2017 tanpx ` kπq “ tanpxq, k P Z, tanpπ ´ xq “ ´ tanpxq ´π ¯ 1 tan ´x “ 2 tanpxq On peut “retrouver” ces relations sur le cercle trigonométrique. Elles permettent de compléter le tableau de valeurs particulières ci-dessus (avec les 2π ¨ ¨ ¨ ). valeurs en 3 4. Dérivabilité Les fonctions sinus et cosinus sont infiniment dérivables sur R et elles vérifient : sin1 “ cos et cos1 “ ´ sin. ´ $ π¯ ’ cos1 pxq “ cos x ` ’ & 2 Ainsi pour tout x P R, ´ ¯. ’ ’ %sin1 pxq “ sin x ` π 2 On en déduit donc que pour tout k P N, pour tout x P R, ´ ¯ $ π pkq ’ cos pxq “ cos x ` k ’ & 2 . ´ ’ π¯ ’ pkq % sin pxq “ sin x ` k 2 1 La fonction tan est infiniment dérivable sur D et tan1 “ 1 ` tan2 “ . cos2 5. Formules d’addition et produit n.d. sinpx ` πq sinpx ` kπq sinpπ ´ ´ xqπ ¯ sin x ` ´π 2 ¯ sin ´x )2 PZ , 0 “ ´ sinpxq “ p´1qk sinpxq, k P Z “ sinpxq “ cospxq “ cospxq (a) Sinus, Cosinus et Tangente d’une somme @pa, bq P R2 , cospa ` bq “ cospaq cospbq ´ sinpaq sinpbq, sinpa ` bq “ sinpaq cospbq ` sinpbq cospaq, cospa ´ bq “ cospaq cospbq ` sinpaq sinpbq, sinpa ´ bq “ sinpaq cospbq ´ sinpbq cospaq @pa, bq P R2 { ta, b, a ` bu Ă D, tanpa ` bq “ tanpaq ` tanpbq . 1 ´ tanpaq tanpbq tanpaq ´ tanpbq . 1 ` tanpaq tanpbq En particulier on en déduit les formules de l’angle double : @pa, bq P R2 { ta, b, a ´ bu Ă D, tanpa ´ bq “ MP Janson Formulaire de trigonométrie sinp2aq “ 2 cospaq sinpaq cosp2aq “ cos2 paq ´ sin2 paq cosp2aq “ 2 cos2 paq ´ 1 cosp2aq “ 1 ´ 2 sin2 paq. 2 tanpaq tanp2aq “ 1 ´ tan2 paq 2016/2017 x Soit x P R, tel que P D, i.e. x P R ´ tπ ` 2kπ, k P Zu. En posant 2 ´x¯ , on a les expressions : t “ tan 2 cospxq “ 1 ´ t2 2t et sinpxq “ 2 1`t 1 ` t2 Si de plus, x P D, alors, On utilisera souvent les conséquences suivantes : tanpxq “ cos2 paq “ sin2 paq “ cosp2aq ` 1 2 1 ´ cosp2aq 2 (b) Sommes et Produits de Sinus et Cosinus Les formules précédentes permettent d’établir, pour a et b réels quelconques : cospaq cospbq “ 1 pcospa ` bq ` cospa ´ bqq 2 sinpaq sinpbq “ 1 pcospa ´ bq ´ cospa ` bqq 2 sinpaq cospbq “ 1 psinpa ` bq ` sinpa ´ bqq 2 En conséquence : ˆ ˙ ˆ ˙ a`b a´b cos ˆ2 ˙ ˆ 2 ˙ a`b a´b cospaq ´ cospbq “ ´2 sin sin 2˙ 2˙ ˆ ˆ a´b a`b cos sinpaq ` sinpbq “ 2 sin ˆ 2 ˙ ˆ 2 ˙ a`b a´b sinpaq ´ sinpbq “ 2 cos sin 2 2 ´x¯ 6. Transformation t “ tan 2 cospaq ` cospbq “ 2 cos 2t 1 ´ t2 7. Équations trigonométriques Soient x et y des réels. — sinpxq “ sinpyq si et seulement si x ” y r2πs ou x ” π ´ y r2πs — cospxq “ cospyq si et seulement si x ” y r2πs ou x ” ´y r2πs π π — cospxq “ sinpyq si et seulement si x ” ´ y r2πs ou x ” y ´ r2πs 2 2 — tanpxq “ tanpyq si et seulement si x ” y rπs