solutionnaire

GEL10280 Communications Numériques – Hiver 2006
Devoir #3
#3 Solutionnaire
Travail
ISI et Impulsions RC
Question 3.6
Nyquist a établit que, si la forme temporel d’un symbole à la réception correspondait à
sinc(t/T), on pouvait éviter toute interférence intersymboles (IIS) lors de la détection.
La figure qui suit illustre parfaitement ceci :
Figure: (a) Système avec une fonction de transfert rectangulaire H(f). (b) Forme temporal du pulse reçu
h(t) = sinc(t/T).
Pour deux symboles successifs, ayant les formes temporelles h(t) et h(t - T), on voit que
h(t) passe par zéro lors des instants d’échantillonnage T, 2T, …
En particulier, à l’instant T où h(t -T) sera échantillonnée, h(t) (qui est la forme
temporelle du symbole précédent) sera identiquement nulle. Il est évident que de tels
filtres rectangulaires sont pratiquement irréalisables (la réponse impulsionnelle
correspondante est infinie). C’est pour cette raison que les filtres de Nyquist ou les
« pulses » de Nyquist font référence à une classe de filtres qui permettent d’éliminer l’IIS
aux instants d’échantillonnage. Ainsi, un filtre de Nyquist sera un filtre dont la fonction
de transfert est un carré convolué avec une fonction réelle symétrique, c’est à dire un
filtre dont la réponse impulsionnelle est la multiplication de la fonction sinc(t/T) avec
n’importe quelle autre fonction temporelle. En conclusion, il y a une infinité de filtres de
Nyquist. Cependant, ceux qui sont le plus souvent utilisés sont les filtres en cosinus
surélevé ou en racine de cosinus surélevé.
Figure: Nyquist Channel for Zero ISI. (a) Rectangular system transfer function H(f). (b) Received pulse
shape h(t) = sinc(t/T).
Question 3.8
En communications numériques, il y a deux types de dégradation des performances en
taux d’erreur : La dégradation du rapport signal à bruit et la distorsion (interférence
intersymbole, par exemple). Pour le premier type de dégradation, il y a toujours la
possibilité d’atteindre les performances désirées en augmentant la puissance du signal
(ceci représentera un sérieux problème pour les systèmes limités en puissance). Par
contre, le deuxième type de dégradation représente une limite incontournable pour le
système. Dans ce cas, la courbe de la probabilité d’erreur sur bit en fonction du rapport
Eb/N0 affichera un seuil que l’on ne pourra jamais dépasser. Ceci représente un sérieux
problème pour le design du système de communication, vu que même en augmentant la
puissance du signal, le taux d’erreur reste figé.
Problèmes
3.8a
PAM : 16 niveaux, Rb=10 Mbits/s
16=Mk, donc k=4
Rs=Rb/k=2.5 Msymboles/s
Wmin=Rs/2 = 1.25 MHz
3.8b
1.375=1.25×(1+r), donc r=10%
3.11a r=100%, donc Wmin=Rs/2×(1+r) = 8000/2×(1+1) = 8 kHz
3.11b PAM : 8 niveaux, Rs=8000 symboles/s
8=Mk, donc k=3
kRs=Rb=24 k symboles/s
Wmin=Rb/2 = 12 kHz pour PCM
3.11c PAM : 128 niveaux, Rs=8000 symboles/s
128=Mk, donc k=7
kRs=Rb=56 k symboles/s
Wmin=Rb/2 = 28 kHz pour PCM