Exercice 1 Exercice 2

Corrigé du devoir à la maison no5
Exercice 1
1. Après avoir quitté le dixième ermite, Michel Stro-
gonoff est en possession d’un rouble.
Val. n12345678910
Val. S1 3 0 4 9 3 10 2 11 1
2. Algorithme complété :
Variables
n,S,p
Entrées
Saisir p
Traitement
Affecter la valeur 0àS
Pour nallant de 1àp
Si S>n
Alors
Sprend la valeur S−n
Sinon
Sprend la valeur S+n
Fin Si
Fin Pour
Afficher S
3. Algorithme en langage T.I. :
Input "P?",P
0−→ S
For(N, 1, P )
If S>N
Then
S−N−→ S
Else
S+N−→ S
End
End
Disp "S=",S
En exécutant cet algorithme avec p= 2013, on ob-
tient S= 633 , ce qui signifie qu’après avoir quitté
le 2013-ième ermite, Michel Strogonoff est en pos-
session de 633 roubles.
4. Algorithme en langage naturel :
Variables
n,S,p
Entrées
Saisir p
Traitement
Affecter la valeur 0àS
Affecter la valeur 0àn
Tant que S < p
nprend la valeur n+ 1
Si S>n
Alors
Sprend la valeur S−n
Sinon
Sprend la valeur S+n
Fin Si
Fin Tant que
Afficher n
5. Algorithme en langage T.I. :
Input "P?",P
0−→ S
0−→ N
While S < P
N+ 1 −→ N
If S>N
Then
S−N−→ S
Else
S+N−→ S
End
End
Disp "N=",N
En exécutant cet algorithme avec p= 2013, on ob-
tient n= 1094 , ce qui signifie que Michel Strogo-
noff devra parcourir 1094 verstes pour détenir pour
la première fois la somme de 2013 roubles.
Remarque : En ajoutant une ligne correspondant à
l’affichage de la valeur de S, on peut même affirmer
qu’au bout de 1094 verstes, Michel Strogonoff est
en possession de 2187 roubles.
Exercice 2
1. Cet algorithme permet de savoir si mest multiple
ou non de n, où met nsont deux entiers naturels
choisis.
2. Méthode 1 : Si mest un entier à six chiffres s’écri-
vant ababab alors :
m= 100000×a+ 10000×b+ 1000×a+ 100×b
+10×a+b
= (100000 + 1000 + 10)a+ (10000 + 100 + 1)b
= 101010a+ 10101b
= 37 ×2730a+ 37 ×273b
= 37 ×(2730a+ 273b)
Or, 2730a+ 273best un entier donc mest un mul-
tiple de n= 37, ce qui justifie l’affichage « Oui ».
Méthode 2 : Plaçons-nous dans le cas où a=b= 0.
mest alors égal à 0donc mest un multiple de 37
et l’algorithme nous renvoie le résultat « Oui ».
À chaque fois que l’on ajoute 1à la valeur de a, on
ajoute 101010 àm.
Or, 101010÷37 = 2730 donc on ajoute un multiple
de 37 àmet mdemeure un multiple de 37 (en tant
que somme de multiples de 37).
De même, à chaque fois que l’on ajoute 1à la valeur
de b, on ajoute 10101 àm.
Or, 10101 ÷37 = 273 donc on ajoute un multiple
de 37 àmet mdemeure un multiple de 37 (en tant
que somme de multiples de 37).
Conclusion : En exécutant l’algorithme avec men-
tier à six chiffres s’écrivant ababab et n= 37, on
obtient toujours le résultat « Oui ».