FICHE I 1 Le langage des ensembles Opérations sur les ensembles – Réunion. La réunion des deux ensembles A et B est notée A ∪ B et est définie par : x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A ou x ∈ B). – Intersection. L'intersection des deux ensembles A et B est notée A ∩ B et est définie par : x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A et x ∈ B). Deux ensembles A et B sont disjoints si A ∩ B = ∅. – Partition. Une famille (Ai )i∈I de parties d'un ensemble est une partition de si Ai = i∈I ∀(i, j) ∈ I 2 ,(i = / j ⇒ Ai ∩ A j = ∅). – Complémentaire. Soit A une partie d'un ensemble E, le complémentaire de A dans E est noté Ac et est défini par : / A). x ∈ Ac ⇔ (x ∈ E et x ∈ – Différence. Soit A et B deux parties de E, nous notons A \ B l'ensemble défini par : x ∈ A \ B ⇔ (x ∈ A et x ∈ / B). Par conséquent, nous avons l'égalité A \ B = A ∩ B c . – Différence symétrique. Soit A et B deux parties de E, nous notons AB l'ensemble défini par : x ∈ AB ⇔ [x ∈ (A ou B)] et [x ∈ / (A et B)] . Par conséquent, nous avons l'égalité AB = (A ∪ B) \ (A ∩ B) . 4 Mathématiques L1/L2 : statistiques et probabilités en 30 fiches 1 – Produit cartésien. Le produit cartésien des deux ensembles E et F est noté E × F. Il est défini par : E × F = {(x,y)/x ∈ E et y ∈ F} . – Ensemble des parties. L'ensemble des parties d'un ensemble E, noté P (E), est l'ensemble de tous les sous-ensembles de E. P (E) = {F|F ⊂ E} . – Règles de calcul. Soit A, B et C trois parties de E. 1. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) . 2. (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) . 3. (Ac )c = A. 4. (A ∪ B)c = Ac ∩ B c . 5. (A ∩ B)c = Ac ∪ B c . II Ensembles et fonctions • Images et images réciproques L'ensemble des applications d'un ensemble E vers un ensemble F est noté F (E,F) ou F E . Soit f de F E , A une partie de E et B une partie de F. – L’image de A par f est l'ensemble : © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. f (A) = {y ∈ F/∃x ∈ A tel que y = f (x)} . – L’image réciproque de B par f est l'ensemble : f −1 (B) = {x ∈ E/ f (x) ∈ B} . – Règles de calcul. Soit f une application de E dans F et A et B deux parties de F. 1. f (∅) = ∅, f −1 (∅) = ∅. 2. f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B) . −1 3. f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) . c ∩ f (B) −1 c −1 c A f (A ) = f (A) où est le complémentaire de A dans F et 4. −1 c f (A) est le complémentaire de f −1 (A) dans E. FICHE 1 – Le langage des ensembles 5 • Fonction caractéristique d'une partie Soit A une partie d'un ensemble E. La fonction caractéristique de A, ou fonction indicatrice de A, notée 1 A, est une fonction définie sur E et à valeurs dans {0,1} par : 1 A (x) = 1 si x ∈ A et 1 A (x) = 0 si x ∈ / A. Soit A et B deux parties d'un ensemble E et Ac le complémentaire de Adans E. – Inclusion. A⊆B ⇔ ∀x ∈ E, 1 A (x) 1 B (x). – Complémentaire. ∀x ∈ E, 1 Ac (x) = 1 − 1 A (x). – Différence A \ B. ∀x ∈ E, 1 A\B (x) = 1 A (x) − 1 A (x)1 B (x). – Intersection. ∀x ∈ E, 1 A∩B (x) = min (1 A (x),1 B (x)) = 1 A (x) · 1 B (x). En particulier ∀x ∈ E, 1 A (x) = 1 A∩A (x) = 1 A (x) · 1 A (x) = 1 A (x)2 . – Réunion. ∀x ∈ E, 1 A∪B (x) = max(1 A (x),1 B (x)) = 1 A (x) + 1 B (x) − 1 A (x) · 1 B (x) . – Différence symétrique. ∀x ∈ E, 1 AB (x) = 1 A (x) + 1 B (x) − 2 · 1 A (x) · 1 B (x). Proposition : L'ensemble des parties de E, P (E) est en bijection avec l'ensemble des fonctions de E dans {0,1}, F (E,{0,1}). 6 Mathématiques L1/L2 : statistiques et probabilités en 30 fiches