La Deuxième feuille d`exercices

Universit´ e Paul Sabatier Ann´ ee 2016-2017
L1 SFA - S2 - UE Analyse - Feuille de TD 2
Chapitre 3 - Les nombres r´ eels
Exercice 1. Montrer que : ln2
ln3/∈Q.
Exercice 2. Soient m,ndeux entiers strictement positifs. Montrer que m1
nest soit entier, soit irrationnel.
Exercice 3. Soit P(X) = ∑n
i=0αiXiun polynˆ
ome ` a coefficients entiers.
1. Montrer que si Pa une racine rationnelle a
b(avec a,bpremiers entre eux), alors adivise α0et b divise
αn.
2. Calculer le carr´ e de √2+√3 et montrer que ce carr´
e est racine d’un polynˆ ome de degr´ e deux. En
d´ eduire que √2+√3 n’est pas rationnel.
Exercice 4. Donner, lorsqu’ils existent, un minorant, un majorant, la borne sup´ erieure, la borne inf´ erieure,
le maximum, le minimum des ensembles suivants :
1. ]0,1[∪{2,4},
2. [0,1]∩Q,
3. ]0,1[∩Q,
4. {n
n+1/n∈N},
5. {(−1)n+1
n+1/n∈N},
6. {x2+y2/x,y∈R,xy =1}.
Exercice 5. Soient A,Bdeux parties born´ ees non vides de R. Montrer que :
1. si A⊂B, alors supA ≤supB et in f A ≥in f B,
2. sup(A∪B) = max(supA,supB)et in f (A∪B) = min(in f A,in f B),
3. si A∩B6=/0, sup(A∩B)≤min(supA,supB)et in f (A∩B)≥max(in f A,in f B),
4. sup(A+B) = supA +supB et in f (A+B) = in f A +in f B, o` uA+B={a+b/a∈A,b∈B}.
Exercice 6. Montrer que {r∈Q/r2<2}n’admet pas de borne sup´ erieure dans Q.
Exercice 7. Soient I= [0,1]et fune fonction croissante de Idans I. Notons A={x∈I/f(x)≥x}.
1. Montrer que supA existe,
2. Montrer que Aest major´ e par f(supA)et que supA ∈A.
3. Montrer que f(supA)∈Aet conclure.
Exercice 8. Soit f:R−→ Rune application non nulle telle que :
∀(x,y)∈R2,f(x+y) = f(x) + f(y)
∀(x,y)∈R2,f(xy) = f(x)f(y)
1. Calculer f(0),f(1),f(−1).
2. D´ eterminer f(x),∀x∈Z.
1

3. D´ eterminer f(x),∀x∈Q.
4. D´ emontrer que ∀x≥0,f(x)≥0. En d´ eduire que fest croissante.
5. Conclure que f=IdR(on utilisera les in´ egalit´ es E(nx)
n≤x≤E(nx)+1 no`
uE(.)d´ esigne la partie
enti` ere).
Exercice 9. Soit (un)n∈Nune suite de nombres r´ eels born´ ee, on d´ efinit les suites (vn)n∈Net (wn)n∈Npar :
vn=sup{um/m≥n}
wn=in f {um/m≥n}
1. Montrer que (vn)n∈Nest d´ ecroissante et que (wn)n∈Nest croissante.
2. Montrer que (vn)n∈Net (wn)n∈Nsont convergentes et que lim
n→+∞vn≥lim n→+∞wn.
3. On note limsupun=lim
n→+∞vnet liminfun=lim n→+∞wn. Montrer que si limsupun=liminfunalors
(un)n∈Nest convergente et lim
n→+∞un=limsupun=liminfun.
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