La Deuxième feuille d`exercices

Université Paul Sabatier
Année 2016-2017
L1 SFA - S2 - UE Analyse - Feuille de TD 2
Chapitre 3 - Les nombres réels
Exercice 1. Montrer que :
ln2
ln3
∈
/ Q.
1
Exercice 2. Soient m, n deux entiers strictement positifs. Montrer que m n est soit entier, soit irrationnel.
Exercice 3. Soit P(X) = ∑ni=0 αi X i un polynôme à coefficients entiers.
1. Montrer que si P a une racine rationnelle ba (avec a, b premiers entre eux), alors a divise α0 et b divise
αn .
√
√
2
+
3 et montrer que ce carré est racine d’un polynôme de degré deux. En
2. Calculer le carré
de
√
√
déduire que 2 + 3 n’est pas rationnel.
Exercice 4. Donner, lorsqu’ils existent, un minorant, un majorant, la borne supérieure, la borne inférieure,
le maximum, le minimum des ensembles suivants :
1. ]0, 1[∪{2, 4},
2. [0, 1] ∩ Q,
3. ]0, 1[∩Q,
n
4. { n+1
/n ∈ N},
1
/n ∈ N},
5. {(−1)n + n+1
6. {x2 + y2 /x, y ∈ R, xy = 1}.
Exercice 5. Soient A, B deux parties bornées non vides de R. Montrer que :
1. si A ⊂ B, alors supA ≤ supB et in f A ≥ in f B,
2. sup(A ∪ B) = max(supA, supB) et in f (A ∪ B) = min(in f A, in f B),
3. si A ∩ B 6= 0,
/ sup(A ∩ B) ≤ min(supA, supB) et in f (A ∩ B) ≥ max(in f A, in f B),
4. sup(A + B) = supA + supB et in f (A + B) = in f A + in f B, où A + B = {a + b/a ∈ A, b ∈ B}.
Exercice 6. Montrer que {r ∈ Q/r2 < 2} n’admet pas de borne supérieure dans Q.
Exercice 7. Soient I = [0, 1] et f une fonction croissante de I dans I. Notons A = {x ∈ I/ f (x) ≥ x}.
1. Montrer que supA existe,
2. Montrer que A est majoré par f (supA) et que supA ∈ A.
3. Montrer que f (supA) ∈ A et conclure.
Exercice 8. Soit f : R −→ R une application non nulle telle que :
∀(x, y) ∈ R2 , f (x + y) = f (x) + f (y)
∀(x, y) ∈ R2 , f (xy) = f (x) f (y)
1. Calculer f (0), f (1), f (−1).
2. Déterminer f (x), ∀x ∈ Z.
1
3. Déterminer f (x), ∀x ∈ Q.
4. Démontrer que ∀x ≥ 0, f (x) ≥ 0. En déduire que f est croissante.
5. Conclure que f = IdR (on utilisera les inégalités
entière).
E(nx)
n
≤x≤
E(nx)+1
n
où E(.) désigne la partie
Exercice 9. Soit (un )n∈N une suite de nombres réels bornée, on définit les suites (vn )n∈N et (wn )n∈N par :
vn = sup{um /m ≥ n}
wn = in f {um /m ≥ n}
1. Montrer que (vn )n∈N est décroissante et que (wn )n∈N est croissante.
2. Montrer que (vn )n∈N et (wn )n∈N sont convergentes et que lim vn ≥ lim wn .
n→+∞
n→+∞
3. On note lim sup un = lim vn et lim inf un = lim wn . Montrer que si lim sup un = lim inf un alors
n→+∞
n→+∞
(un )n∈N est convergente et lim un = lim sup un = lim inf un .
n→+∞
2