I. Types d`ondes et leur description I.1. fonction d`onde - BFH

E2 / Physique / Ondes 1
Stefan Stankowski BFH / HES BE TI Biel / Bienne
I. Types d’ondes et leur description
I.1. fonction d’onde, paramètres de propagation
On décrit les ondes par des fonctions d’ondes (des solutions d’une équation d’onde). Ici, ces
équations et fonctions ne seront pas dérivées de façon mathématique, mais nous utilisons plutôt un
raisonnement physique. Nous nous limitons au cas le plus simple, l’onde harmonique.
L'idée fondamentale est la suivante: Lors de la propagation d'une onde
l'oscillateur individuel exécute une oscillation harmonique dans le temps (à l'endroit x donné)
l'ensemble des oscillateurs donne lieu à une oscillation harmonique dans l'espace, en considérant une
"prise flash" instantanée (à un temps t donné).
+ j ω t + j β z
à l'endroit x: y = A e au temps t: y = A e
ω = 2 π / T β = 2 π / λ
ω = période temporelle λ = période spatiale
La grandeur β est le "nombre d'onde". Elle est souvent aussi désigné « k » (surtout en
optique). Elle détermine la fréquence spatiale de la même manière que ω définit la fréquence
temporelle.
peut aussi être défini en tant que vecteur dont la direction coïncide avec celle de propaga-
tion de l'onde. Dans un référentiel dont la direction des axes ne se confond pas avec la
direction de propagation de l'onde, on écrira alors au lieu de β z .
En spectroscopie infrarouge, on a l'habitude de désigner comme "nombre d'onde" la
quantité 1/ λ , au lieu de 2π / λ . 1/ λ en cm
-1
y est l'abscisse usuelle des spectres.
Une fonction d'onde doit représenter les deux aspects: oscillation harmonique temporelle et spatiale.
On peut réaliser une telle fonction en combinant les deux fonctions exponentielles (dans l'argument,
on pourra ajouter un terme Φ
0
afin de fixer la phase par rapport à l'instant t = 0, ce qui n'est pas écrit
ici pour simplifier la notation):
+ j ω t + j β z + j (ω t + β z)
y(z , t) = A e e = A e
dont les combinaisons les plus importantes:
+ j (ω t - β z + Φ0)
y(z , t) = A e onde qui propage en direction des x positifs
+ j (ω t + β z + Φ0)
y(z , t) = A e onde qui propage en direction des x négatifs
y(z,t) = A cos (ω t + Φ1) cos (β z + Φ2 ) ou
y(z,t) = A sin (ω t + Φ
1
) sin (β z + Φ2) "onde stationnaire".
y(z)
y(t)
t z

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Quelle est la signification de ces expressions mathématiques? Considérons d'abord l'onde
progressive:
chemin parcouru pendant une vibration λ
vitesse de propagation c = ------------------------------------------------------ = ------ = λ f
temps mis pour une oscillation T
ω ω
c = λ --- = ---
2 π β
Avec cela, l'argument de l'exponentiel peut s'écrire, pour l'onde progressive:
ω t - β z = ω (t - z / c)
où z / c est le décalage temporel avec lequel l'excitation arrive au point z. Si l'oscillation se fait avec
une phase donné à l'endroit z = 0, elle se fait avec une phase décalée par le temps de propagation,
z / c, à l'endroit z .
Notez que le signe global de l'argument ne joue aucun rôle. Certains auteurs préfèrent écrire (β z - ω t)
au lieu de (ω t - β z). Puisqu’il faudra prendre la partie réelle de l'exponentiel (le cosinus), et que le
signe du cosinus ne dépend pas du signe de l'argument, cette différence n'a aucune importance.
Dans certaines applications on sépare la partie temporelle:
- j β z j ω t
y (z, t) = ( A e ) e et considère l’expression en parenthèse comme
« fonction amplitude complexe » dépendant de z
Dans le cas où l’onde subit aussi des absorptions (voir détails plus bas), l’amplitude décroît
exponentiellement et la fonction d’amplitude devient:
- α z - j β z - (α + j β) z
A (z) = A e e = A e
Onde stationnaire:
Il existe une solution particulière de l'équation d'onde, correspondant à une séparation des fonctions
réelles du temps et de l'espace. Dans ce cas, à un endroit z donné, il y a toujours la même oscillation
(décrite par cos( ωt + Φ
1
) ) avec une amplitude dépendant de la position,
A cos(β z + Φ
2
).
De telles ondes "stationnaires" se forment, pour certaines longueurs d'onde particulières, sur des
cordes tendues (violon, guitare etc.) des colonnes d'air dans des tuyaux (instruments à vent), mais
aussi avec des ondes électromagnétiques entre deux réflecteurs. Les conditions exactes pour la
formation d'ondes stationnaires seront discutées plus bas (paragraphe B5) dans le contexte des
réflexions sur les interfaces. Les propriétés de réflexion déterminent les conditions aux limites
suivantes:
• points de fixation: noeuds de l'onde stationnaire
• extrémités libres: ventres de l'onde stationnaire
Ces conditions limitent les ondes stationnaires à cer-
taines fréquences particulières. Les longueurs d'onde
correspondantes sont "adaptées" à la géométrie donnée
(cf. manip de laboratoire).
Mathématiquement parlé, les ondes stationnaires sont
les vibrations normales du système de propagation.

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I.2. Vibrations longitudinales et transversales
Une vibration excitée peut se propager dans n'importe quelle direction de l'espace. Si les particules
oscillantes se meuvent le long de l'axe de propagation, l'onde est dite longitudinale, si elles oscillent
perpendiculairement à l'axe de propagation, l'onde est dite transversale.
A l'intérieur des fluides (liquides et gaz) ne se forment que des ondes longitudinales (son). A la
surface de l'eau, la tension superficielle permet la formation d'ondes transversales (les ondes typiques
à la surface des lacs et de la mer).
Les corps solides sont capables de transmettre aussi bien des ondes longitudinales (de pression) que
transversales (de cisaillement). Lors des tremblements de terre, les deux types se produisent
simultanément. Leur vitesse de propagation étant différente, le décalage temporel de leur arrivée au
sismomètre permet de tirer des conclusions sur la distance de l'épicentre.
son - onde longitudinale
onde électromagn. - onde transversale
Les ondes électromagnétiques libres sont transversales.
Le vecteur du champ magnétique vibre perpendiculairement
au vecteur du champ électrique. La direction de ce dernier
est toujours choisie pour désigner la direction de polarisation
(direction de vibration de l'onde).
Dans les guides d'ondes (résonateur laser, cavité micro-ondes)
on peut trouver également des composantes longitudinales du
champ électromagnétique.
Les ondes longitudinales sont aussi représentées par une fonction d'onde y(z,t), les directions y et z
étant maintenant identiques. z désigne la position d'équilibre de la particule oscillante, y sa déviation
de l'équilibre lors de l'oscillation.
La table ci-jointe donne les vitesses de différents types
d'ondes dans différents milieux.
A noter particulièrement est le facteur κ qui apparaît lors de
la propagation du son dans les gaz. Il dépend de la nature du
gaz en question et vaut κ = 1.4 dans l'air et dans les autres
gaz diatomiques. (κ = 1.67 dans les gaz monoatomiques tels
que les gaz nobles; voir valeurs tabulées pour les autres gaz
sous le mot-clé d' "exposant isentropique" ou "exposant adia-
batique"). Ce facteur est lié au fait que les compressions et
dépressions dans le gaz aviennent avec une vitesse telle de
ne pas permettre l'échange de chaleur avec l'environnement
assez rapide que des états d'équilibre puissent s’établir
(processus adiabatiques ou isentropiques).
Notez que le quotient p / ρ d'un gaz ne dépend que de la
température T ! Vérifiez-le vous-même!
Toutes ces expressions comportent un numérateur
lié à la force et un dénominateur lié à la masse
(ou densité). Rappelez-vous qu’il vaut pour un
oscillateur électrique que l’inverse de la capacité,
1/C (lié à 1/ε0), représente la constante du ressort
(lié à la force) et l’inductivité, L (liée à µ0), représente
l’inertie (la masse).
onde vitesse de
propagation
onde longitudina-
le dans un gaz c
2
= κ p / ρ
onde longitudina-
le dans un liquide c
2
= K / ρ
onde longitudina-
le dans une barre c
2
= E / ρ
onde de torsion,
barre cylindrique c
2
= G / ρ
onde sur une
corde
c
2
= σ / ρ
onde électromagn.
dans le vide c
2
= 1/ε
0
µ
0
onde électromagn.
dans la matière c
2
= 1/εε
0
µµ
0
κ = exponentiel isentropique
p = pression
ρ = densité
K = module de compression
E = module d’élasticité
G = module de glissement
σ = F / A = tension

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I.3. Intensité
Les ondes transportent de l'énergie. L'énergie transportée par unité de temps et de section
(perpendiculaire à la direction de propagation) s'appelle intensité (ou densité du flux énergétique):
Ι = P / A = η c P = puissance, η = densité énergétique = énergie / volume
(quand l'onde traverse un élément de section dA, on a
η = dE / dV = dE / (dz dA) et donc
η c = (dE / (dz dA)) (dz / dt) = dE / (dA dt) = Ι ).
Ondes mécaniques: E = ½ m vmax
2 = ½ m A2 ω2
Pour l'élément de masse, dm = ρ dV, on a donc dE = ½ ρ A
2
ω
2
dV et
 η = ½ ρ A2 ω2 Ι = ½ ρ c A2 ω2
Ondes électromagnétiques: η = ε ε0 E2 = µ µ0 H2
E et H désignant les vecteurs du champ électrique et magnétique, respectivement.
L'intensité, Ι = ε ε0 E2 c
varie continuellement dans le temps et dans l'espace, sa moyenne est Ι = ½ ε ε0 Emax
2 c
La vitesse de la lumière (et des ondes électromagnétiques en général) s'écrit
________
c = 1 / √
√√
√ε ε
ε εε ε
ε ε0
00
0 µ µ
µ µ µ µ
µ µ0
00
0
et avec cela:
Il s'ensuit le résultat important et général que pour toute sorte d'onde l'intensité est
proportionnelle au carré de l'amplitude (en notation complexe: proportionnelle à y y* ):
Ι ∼ A2
Il faut remarquer que le coefficient de proportionnalité dépend encore des propriétés du milieu. Pour
les ondes électromagnétiques, on a:
Ι ∼ n E
2
(n = indice de réfraction du milieu, E = intensité du champ électrique)
• Onde plane : A constante, Ι constante, propagation rectiligne dans une direction
• Onde sphérique : A ∼ 1/r , Ι ∼ 1 / r
2
propagation dans toutes les directions.

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II. Interférence
II.1. Addition des fonctions d’onde, interféromètre
Les fonctions d'onde se superposent de la même manière qu'on avait discutée pour les vibrations. Les
ondes peuvent donc s'annuler (totalement ou partiellement) si leurs phases sont décalées l'une par
rapport à l'autre.
Détermination de la longueur d'onde en utilisant le
phénomène d'interférence:
De façon mathématique:
Lors de la superposition d’ondes, les fonctions d’onde correspondants sont additionnées.
Si l’interférence est totalement positive, l’intensité peut alors doubler :
y
1
+ y
2
= A exp j(ωt – βz) + A exp j(ωt – βz) = 2A exp j(ωt – βz)
Ι
1
∼ |y
1
|
2
= A
2
, Ι
2
∼ |y
2
|
2
= A
2
, Ι
1+2
∼ |y
1
+ y
2
|
2
= 4 A
2
= 2 (Ι
1
+ Ι
2
) !!
Dans la réalité physique, cependant, il n’existe jamais de telles ondes isolées, mais uniquement des
champs d’ondes d’une certaine étendue, tes qu’on trouve toujours interférence positive (amplification)
accompagnée d’interférence négative (élimination) à un autre endroit. En moyenne, l’énergie du
champs d’ondes reste donc conservée, malgré les fluctuations locales.
En pratique: Existent 2 types de problèmes:
a) superposition de 2 ondes y1(z,t) et y2(z,t)
à un certain endroit et à un instant défini: y(z,t) = y1(z,t) + y2(z,t)
b) Amplitude d’une superposition à l’endroit z
(à un temps quelconque): A = |y(z,t)| = |y1(z,t) + y2(z,t)|
= {A1
2 + A2 2 + 2 A1 A2 cos ∆Φ} ½
Interféromètres
Les interféromètres sont des instruments permettant des mesures extrêmement précises des
longueurs, des vitesses et des variations de l'indice de réfraction, à l'aide des interférences de la
lumière. Typiquement, un faisceau est divisé un 2 faisceaux partiels qui parcourent des trajets
différents avant d’être recombinés . En recombinant, ils intrefèrent.
L'appareil le plus fameux est l'interféromètre de Michelson à l'aide duquel on a démontré que la
vitesse de la lumière reste identique dans tous les repères en mouvement relatif uniforme
(relativité restreinte).
L'appendice vous donne des exemples d'interféromètres et d'effets qu’on mesure avec.
(L’interféromètre de Fabry-Pérot ne sera expliqué qu’au chapitre suivant)