DS3 Diffusion électrique \(2006.II.A\)Electrostatique \(2009.I.A

Université Montpellier II 2013-2014
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DEVOIR SURVEILLE 3
Les trois parties sont indépendantes.
Partie A : Diffusion électrique : câble coaxial en régime continu (2006.II.A)
Un câble est constitué de deux armatures métalliques coaxiales (axe Ox commun), séparées par un matériau isolant
imparfait (figure 1) :
• l’armature interne (A
1
), ou âme, est un conducteur cylindrique (plein), de conductivité σ et de rayon r
1
;
• l'armature externe (A
2
) est une enveloppe cylindrique pleine, conductrice, de conductivité σ et comprise entre deux
surfaces cylindriques coaxiales, de rayons r
2
et r
3
(avec r
2
< r
3
);
• la gaine d'isolant imparfait (G), de conductivité σ
g
, compris entre les surfaces cylindriques de rayons r
1
et r
2
,
sépare l'âme de l’armature externe.
I. Loi d’Ohm locale
Les charges mobiles (électrons de charge -e) d’un conducteur métallique cylindrique, d'axe Ox, orienté par le vecteur
unitaire  , sont animées d’une vitesse  , sous l’action d’un champ électrique uniforme  =  , appliqué à l'instant
initial t=0 (avec  = 0= 0 ). Les électrons sont en outre soumis à une force de freinage 
= −
, avec τ constante
physique positive et m la masse de l'électron. L’action du champ de pesanteur est négligée.
1. Quelles peuvent être les causes de l'existence de la force de freinage ?
2. La vitesse  est colinéaire au vecteur  . En appliquant la relation fondamentale de la dynamique, exprimer l’équation
différentielle qui relie le vecteur  au temps t.
3. En déduire l'expression vectorielle du vecteur vitesse .
4. Montrer que la vitesse  de l’électron tend vers une valeur limite  qui dépend des grandeurs e, m, τ et  .
5. Application numérique : e=1,6×10
-19
C ; m=9,1×10
-31
kg ; τ=2,5×10
-14
s ; E=0,5 Vm
-1
.
5.1. Calculer  .
5.2. Comparer v(t=5τ) et v
lim
. Conclure sur la durée d’établissement du régime permanent.
6. Le régime permanent est maintenant établi: l’égalité  =  =  est vérifiée (avec µ mobilité algébrique constante
des électrons).  est le vecteur densité de courant électrique, et N* est la densité particulaire des électrons (nombre
d’électrons par unité de volume) dans le métal.
6.1. En rappelant la relation qui existe entre , N*, e et , montrer que le conducteur métallique satisfait à la loi d’Ohm
locale  =  , avec σ conductivité électrique du milieu.
6.2. Application numérique : N*=6,0× 10
28
m
-3
. Calculer la valeur de la conductivité σ.
II. Résistance d'un conducteur cylindrique d'axe Ox
Un conducteur cylindrique d’axe Ox, de section constante S, est parcouru par un courant d’intensité I constante, et obéit à la
loi d’Ohm locale. Le régime est permanent : les vecteurs  et  sont uniformes, et le phénomène de transport est
unidirectionnel.
La section (disque) d’abscisse x=0 est maintenue au potentiel V
0
constant. Soit V(x), le potentiel de la section d’abscisse x
(figure 2).

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1. Rappeler la relation entre I et .
2. Le champ électrique dérive du potentiel V (relation  =  − ) : écrire l`équation qui lie le vecteur densité de
courant  à la dérivée .
3. Exprimer, en fonction des grandeurs V
0
, I, σ, S et x, le potentiel V(x) du conducteur, dans le plan d'abscisse x.
4. En déduire la résistance R(x) du conducteur cylindrique compris entre les sections d’abscisses x=0 et x.
5. Les propriétés et résultats précédents sont applicables aux armatures (A
1
) et (A
2
) du câble coaxial.
5.1. Exprimer, en fonction de σ et r
1
, la résistance linéique λ
1
du conducteur (A
1
) (résistance par unité de longueur).
5.2. Déterminer, en fonction de σ, r
2
et r
3
, la résistance linéique λ
2
du conducteur (A
2
).
III. Résistance de la gaine d’isolant imparfait comprise entre les deux armatures
Les armatures (A
1
) et (A
2
) sont considérées, uniquement dans ce paragraphe (§.III), comme des conducteurs parfaits portés
aux potentiels respectifs V
1
et V
2
(avec V
1
>V
2
) uniformes et constants.
La gaine « d'isolant » homogène (G), comprise entre les armatures, se comporte comme un conducteur ohmique de faible
conductivité σ
g
. Il est parcouru par un courant électrique de fuite I
f
. Le phénomène est à symétrie cylindrique et les effets de
bord sont négligés: les lignes de courant dans « l'isolant » sont radiales (donc orthogonales à l'axe Ox) sur toute la longueur
l du câble et le vecteur densité de courant ne dépend que du rayon r figure 3).
1. Le phénomène de transport étant unidimensionnel, écrire l'équation qui lie la densité de courant  à la dérivée .
2. En choisissant une surface cylindrique d’axe Ox, de longueur l et de rayon r (r
1
<r<r
2
) , relier l’intensité I
f
du courant de
fuite à la densité de courant .
3. Sachant que la différence de potentiel V
1
-V
2
s’écrit sous la forme V
1
-V
2
= RI
f
, déterminer, en fonction des grandeurs σ
g
,
l, r
1
et r
2
, la résistance R de la gaine d’isolant, de longueur l.

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Partie B : Electrostatique : modèle des plans infinis (2009.I.A)
Il est proposé, dans cet exercice, un modèle d’étude du champ et du potentiel électrostatiques créés par un ensemble de
deux plans parallèles chargés dans le vide.
L’espace est rapporté, en coordonnées cartésiennes, à un repère orthonormé direct (Ox, Oy, Oz) de base  ,  , 
!
.
I. Plan infini
Soit un plan infini, noté (P
1
), orthogonal à l’axe Ox,
d’équation x=+a (avec a>0) et chargé positivement avec
une densité surfacique uniforme de charge +σ. En tout
point M(x,y,z) de l’espace pour lequel x>+a [demi-espace
noté (I)], le champ électrostatique  ", créé par le plan
(P
1
), s’écrit : 
"=
#
$%
&
, avec ε
0
permittivité absolue
du vide (figure 1).
Donner, sans calcul, mais en la justifiant, l’expression
vectorielle du champ électrostatique  " en tout point
du demi-espace noté (II), pour lequel x<+a (figure 1).
II. Deux plans infinis parallèles
Un second plan infini, noté (P
2
), symétrique du plan (P
1
) par rapport au plan yOz, et donc d’équation x=-a, est chargé
négativement avec une densité surfacique de charge -σ (figure 2).
1. Déterminer l'expression vectorielle du champ résultant 
'('
" dans les trois domaines de l’espace (I) (+a<x),
(II) (-a<x<+a) et (III) (x<-a).
2. Tracer l’allure de la courbe représentative de la fonction 
'('
).
3. En tout point M de l’espace, le champ électrostatique 
'('
" et le potentiel électrostatique 
'('
" créés par
l’ensemble des deux plans, sont liés par la relation 
'('
" =  −
'('
", ce qui se traduit, ici, compte tenu des
considérations de symétrie, par la relation 
'('
) =  −
'('
). Sachant que, par convention, le potentiel 
'('
est
choisi nul dans le plan yOz et que le potentiel est continu en tout point de l’espace, déterminer l’expression du potentiel
'('
) dans chacun des domaines (I), (II) et (III).
4. Tracer l’allure de la courbe représentative de la fonction 
'('
).

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Partie C : Magnétostatique : Moment magnétique de spin de l’électron (2013.I.B)
Aucune connaissance spécifique au chapitre de mécanique n’est requise pour traiter cette partie : les quelques formules
nécessaires sont rappelées.
L’espace est rapporté, en coordonnées cartésiennes, à un repère orthonormé direct (Ox, Oy, Oz) de base  ,  , 
!
.
Tous les dispositifs décrits dans ce problème sont envisagés dans le vide, milieu de perméabilité magnétique µ
0
.
La loi de Biot et Savart, qui permet un calcul direct du champ magnétique * créé par un courant filiforme d'intensité i, est
rappelée ci-dessous.
L’élément infinitésimal + , centré au point P d'un circuit filiforme (F) parcouru par un courant d’intensité i, engendre, en
tout point M de l'espace, le champ magnétique élémentaire *
"
(figure B.l) : 
Pour faciliter les calculs, quelques outils sont rappelés :
1. Une charge q positive est animée, dans un plan, d'un mouvement circulaire uniforme, de rayon r et de centre C. Sa
vitesse angulaire de rotation est ω (rad.s
-1
) et la période de son mouvement s’écrit T=2π/ ω , avec une vitesse associée
v=r ω . Ce dispositif est assimilable à une spire, de même rayon r et de centre C, parcourue par un courant d'intensité
moyenne i (figure B.2).
Exprimer, en fonction des grandeurs q et ω , l’intensité moyenne i du courant ainsi établi.

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2. Une spire d'axe z'z, de centre C(0,0,z) et de rayon r, est parcourue par un courant d'intensité i constante et positive. Ce
courant crée, sur l’axe z'z et au point origine O(0,0,0), un champ magnétique *
3.
a) Recopier sommairement la figure B.3 en y dessinant le vecteur champ magnétique élémentaire *
3 créé, au
point 0, par l’élément infinitésimal + centré au point P, puis le champ magnétique résultant *
3 créé par la spire
toute entière en ce même point O.
b) Comment expliquer simplement, en quatre lignes maximum, la direction de ce champ résultant *
3?
c) Déterminer, en fonction des grandeurs µ
0
, i, r et θ (= angle 
), la norme B(O) du champ magnétique résultant
.
3. Une sphère métallique creuse, notée (S), de rayon R et de centre O, portant une répartition surfacique de charge
uniforme, constante et positive σ (unité: C.m
-2
), tourne, ainsi que les charges, autour de l’axe Oz avec une même vitesse
de rotation ω . Il est supposé que la rotation ne perturbe pas la distribution de ces charges. La surface sphérique est
décomposée en éléments de surface dS : couronnes d'axe Oz délimitées par les angles au centre θ et θ+dθ (figure B.4).
a) Exprimer la surface élémentaire dS en fonction des grandeurs R, r et dθ.
b) Du fait de la rotation de la sphère, le mouvement de la charge dq, portée par l’élément de surface dS, est
assimilable à une spire parcourue par le courant d'intensité élémentaire di. Ecrire, en fonction de σ,
ω , r, R et dθ,
l’expression de l’intensité di.