Chapitre I: Introduction à la thermodynamique: les outils

Chapitre I:
Introduction à la thermodynamique:lesoutils
mathématiques et historique
Ahmed Aamouche
CP1, Semestre 2, Module Thermodynamique
ENSA Marrakech
Université Cadi Ayyad
Avril 2017
Ahmed Aamouche (ENSA, UCA)Chapitre I: Introduction à la thermodynamique: les outils mathématiques et historiqueAvril 2017 1 / 23
Outline
1Différentielle ?
2I. Différentielle d’une fonction d’une variable
3II. Fonction de plusieurs variables
4III. Formes différentielles
5IV. Historique
6Bibliographie
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Différentielle ?
Définition : Dérivée simple
La dérivée au point (f(x0),x0)de la fonction f(x)qui est "continue et
dérivable"est définie par :
f0(x)= lim
x0!0
f(x+x0)f(x)
x+x0x=lim
x0!0
f(x+x0)f(x)
x0
(1)
La dérivée en un point d’une fonction est un nombre. C’est le rapport de la
hauteur f(a+h)f(a)sur la largeur h. C’est donc la tangente de l’angle que fait
la tangente à la fonction f(x)au point (f(a),a)avec l’horizontale.
Définition : Différentielle
La différentielle au point (f(a),a)de la fonction fest définie par :
df (a)=f0(a)dx (2)
où la notation "d" de Leibniz signifie différentielle ou petite différence.
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I. Différentielle d’une fonction d’une variable
Exemple 1.
Fonction f+g a.f f(g) f.g 1
f
f
g
Dérivée f0+g0a.f0g0f0(g)f0.g+f.g0f0
f2
f0gf.g0
f2
de même :
Fonction f↵pf efln(f)
Dérivée ↵f↵1f0f0
2pff0eff0
f
Dans un plan (x,y) ou (x,f(x)), les valeurs de f(x)décrivent une courbe (C)à
une dimension. Dans ce cas la dérivée de f(x)par rapport à xau point P,s’écrit:
f0(x)|P=df
dx P⌘f xP
(3)
C’est la pente de la courbe Cen ce point P (tangente à la courbe (C) au point
P).
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I. Différentielle d’une fonction d’une variable
Dans un plan (x,y) ou (x,f(x)), les valeurs de f(x)décrivent une courbe (C)à
une dimension. Dans ce cas la dérivée de f(x)par rapport à xau point P,s’écrit:
f0(x)|P=df
dx P⌘f xP
(4)
C’est la pente de la courbe Cen ce point P (tangente à la courbe (C) au point P).
Physiquement :
La dérivée de f(x) par rapport à x mesure le taux de variation de f(x) sous un
changement de x. Ce taux est instantané ou local.
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II. Fonction de plusieurs variables
1. Définition
Soient nvariables réelles indépendantes x1,x2,x3, ..., xn.
ffonction des nvariables réelles associé à (x1,x2,x3, ..., xn)dans <nun nombre
réel f(x1,x2,x3, ..., xn)dans <.
Cas le plus simple : n=2
f : fonction de 2 variables réelles x et y
(x,y)2<
2! f(x,y)=z2< (5)
Exemple.1
f(x,y)=4x+3y,f(x,y)=sin(xy),f(x,y)=log(x
y)(6)
Cas de 3 variables : n=3
f(x,y,z)=x+yz,f(x,y,z)=sin(xy)⇥ez(7)
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II. Fonction de plusieurs variables
2. Dérivées partielles
On appelle dérivée partielle d’une fonction par rapport à l’une des variables x, la
nouvelle fonction obtenue en dérivant par rapport à x et on considèrant toutes les
autres variables comme des constantes.Soit:
f0(x,y)= lim
x0!0
f(x+x0,y)f(x,y)
x+x0x(8)
Ou bien :
f0
x(x,y)= lim
x0!0
f(x+x0,y)f(x,y)
x+x0x(9)
C’est la dérivée partielle de fpar rapport à xau point (x,y) on la note :
F0(x)=✓@f(x,y)
@x◆y=conts
(10)
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II. Fonction de plusieurs variables
2. Dérivées partielles premières
f0
x(x,y)= lim
x0!0
f(x+x0,y)f(x,y)
x+x0x(11)
C’est la dérivée partielle de fpar rapport à xau point (x,y) on la note :
F0(x)=✓@f(x,y)
@x◆y=conts
(12)
Exemple.2
f(x,y)=x2sin(y)y(13)
Comme x et y sont indépendants :
✓@f(x,y)
@x◆y=conts
=2xsin(y)(14)
✓@f(x,y)
@y◆x=conts
=x2cos(y)1(15)
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II. Fonction de plusieurs variables
3. Dérivées partielles secondes
Remarque : D’après l’exemple 2. on peut noter :
g(x,y)=2xsin(y),et h(x,y)=x2cos(y)1
On peut dériver à nouveau ces fonctions par rapport à x et y.
@g
@xy
=@
@x✓@f @x◆=@2f @x2=2sin(y)
De même :
@h
@yx
=@
@y✓@f @y◆=@2f @y2=x2sin(y)
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II. Fonction de plusieurs variables
3. Dérivées partielles secondes
Remarque : D’après l’exemple 2. on peut noter :
g(x,y)=2xsin(y),et h(x,y)=x2cos(y)1
On peut dériver à nouveau ces fonctions par rapport à x et y.
@g
@xy
=@
@x✓@f @x◆=@2f @x2=2sin(y)
De même :
@h
@yx
=@
@y✓@f @y◆=@2f @y2=x2sin(y)
Ahmed Aamouche (ENSA, UCA)Chapitre I: Introduction à la thermodynamique: les outils mathématiques et historiqueAvril 2017 9 / 23