Chapitre I: Introduction à la thermodynamique: les outils

Chapitre I:
Introduction à la thermodynamique: les outils
mathématiques et historique
Ahmed Aamouche
CP1, Semestre 2, Module Thermodynamique
ENSA Marrakech
Université Cadi Ayyad
Avril 2017
Ahmed Aamouche (ENSA, UCA)
Chapitre I: Introduction à la thermodynamique: les outils mathématiques
Avril 2017
et historique
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Outline
1
Différentielle ?
2
I. Différentielle d’une fonction d’une variable
3
II. Fonction de plusieurs variables
4
III. Formes différentielles
5
IV. Historique
6
Bibliographie
Ahmed Aamouche (ENSA, UCA)
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et historique
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Différentielle ?
Définition : Dérivée simple
La dérivée au point (f (x0 ), x0 ) de la fonction f (x) qui est "continue et
dérivable"est définie par :
f (x + x0 )
x0 !0
x + x0
f 0 (x) = lim
f (x)
f (x + x0 )
= lim
x0 !0
x
x0
f (x)
(1)
La dérivée en un point d’une fonction est un nombre. C’est le rapport de la
hauteur f (a + h) f (a) sur la largeur h. C’est donc la tangente de l’angle que fait
la tangente à la fonction f (x) au point (f (a), a) avec l’horizontale.
Définition : Différentielle
La différentielle au point (f (a), a) de la fonction f est définie par :
df (a) = f 0 (a) dx
(2)
où la notation "d" de Leibniz signifie différentielle ou petite différence.
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I. Différentielle d’une fonction d’une variable
Exemple 1.
Fonction
f+g
a.f
f(g)
f.g
Dérivée
f 0 + g0
a.f 0
g 0 f 0 (g )
f 0 .g + f .g 0
de même :
Fonction
Dérivée
p
f↵
↵f
↵ 1 0
f
f
0
fp
2 f
ef
f 0e f
1
f
f0
f2
f 0g
f
g
f .g 0
f2
ln(f )
f0
f
Dans un plan (x,y) ou (x, f (x)), les valeurs de f (x) décrivent une courbe (C ) à
une dimension. Dans ce cas la dérivée de f (x) par rapport à x au point P, s’écrit :


df
f
0
f (x)|P =
⌘
(3)
dx P
x P
C’est la pente de la courbe C en ce point P (tangente à la courbe (C) au point
P).
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I. Différentielle d’une fonction d’une variable
Dans un plan (x,y) ou (x, f (x)), les valeurs de f (x) décrivent une courbe (C ) à
une dimension. Dans ce cas la dérivée de f (x) par rapport à x au point P, s’écrit :


df
f
0
f (x)|P =
⌘
(4)
dx P
x P
C’est la pente de la courbe C en ce point P (tangente à la courbe (C) au point P).
Physiquement :
La dérivée de f(x) par rapport à x mesure le taux de variation de f(x) sous un
changement de x. Ce taux est instantané ou local.
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II. Fonction de plusieurs variables
1. Définition
Soient n variables réelles indépendantes x1 , x2 , x3 , ..., xn .
f fonction des n variables réelles associé à (x1 , x2 , x3 , ..., xn ) dans <n un nombre
réel f (x1 , x2 , x3 , ..., xn ) dans <.
Cas le plus simple : n = 2
f : fonction de 2 variables réelles x et y
(x, y ) 2 <2 ! f (x, y ) = z 2 <
(5)
x
f (x, y ) = 4x + 3y , f (x, y ) = sin(xy ), f (x, y ) = log( )
y
(6)
Exemple.1
Cas de 3 variables : n = 3
f (x, y , z) = x + y
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z, f (x, y , z) = sin(xy ) ⇥ e
z
(7)
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II. Fonction de plusieurs variables
2. Dérivées partielles
On appelle dérivée partielle d’une fonction par rapport à l’une des variables x, la
nouvelle fonction obtenue en dérivant par rapport à x et on considèrant toutes les
autres variables comme des constantes. Soit :
f (x + x0 , y )
x0 !0
x + x0
f (x, y )
x
(8)
f (x + x0 , y )
x0 !0
x + x0
f (x, y )
x
(9)
f 0 (x, y ) = lim
Ou bien :
fx0 (x, y ) = lim
C’est la dérivée partielle de f par rapport à x au point (x,y) on la note :
✓
◆
@f (x, y )
0
F (x) =
@x
y =conts
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(10)
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II. Fonction de plusieurs variables
2. Dérivées partielles premières
f (x + x0 , y )
x0 !0
x + x0
f (x, y )
x
fx0 (x, y ) = lim
C’est la dérivée partielle de f par rapport à x au point (x,y) on la note :
✓
◆
@f
(x,
y
)
F 0 (x) =
@x
y =conts
(11)
(12)
Exemple.2
f (x, y ) = x 2 sin(y )
Comme x et y sont indépendants :
✓
◆
@f (x, y )
@x
y =conts
✓
◆
@f (x, y )
@y
x=conts
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(13)
y
= 2x sin(y )
= x 2 cos(y )
(14)
1
(15)
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II. Fonction de plusieurs variables
3. Dérivées partielles secondes
Remarque : D’après l’exemple 2. on peut noter :
g (x, y ) = 2x sin(y ),
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et
h(x, y ) = x 2 cos(y )
1
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II. Fonction de plusieurs variables
3. Dérivées partielles secondes
Remarque : D’après l’exemple 2. on peut noter :
g (x, y ) = 2x sin(y ),
et
h(x, y ) = x 2 cos(y )
1
On peut dériver à nouveau ces fonctions par rapport à x et y.

✓ ◆
@g
@ @f
@2f
=
=
= 2 sin(y )
@x y
@x @x
@x 2
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II. Fonction de plusieurs variables
3. Dérivées partielles secondes
Remarque : D’après l’exemple 2. on peut noter :
g (x, y ) = 2x sin(y ),
et
h(x, y ) = x 2 cos(y )
1
On peut dériver à nouveau ces fonctions par rapport à x et y.

✓ ◆
@g
@ @f
@2f
=
=
= 2 sin(y )
@x y
@x @x
@x 2
De même :

@h
@y
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x
@
=
@y
✓
@f
@y
◆
@2f
=
=
@y 2
x 2 sin(y )
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II. Fonction de plusieurs variables
4. Dérivées partielles mixtes
Dérivons maintenant g (x, y ) par rapport à y et h(x, y ) par rapport à x on aura
donc :
✓ ◆
@ @f
@x @y
✓ ◆
@ @f
@y @x
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=
=
@2f
= 2x cos(y )
@x@y
@2f
= 2x cos(y )
@y @x
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II. Fonction de plusieurs variables
4. Dérivées partielles mixtes
Dérivons maintenant g (x, y ) par rapport à y et h(x, y ) par rapport à x on aura
donc :
✓ ◆
@ @f
@x @y
✓ ◆
@ @f
@y @x
=
=
@2f
= 2x cos(y )
@x@y
@2f
= 2x cos(y )
@y @x
Exercice.1 : Calculer les dérivées partielles secondes et mixtes de la fonction
suivante :
f (x, y ) = x 3 e y + sin2 (y ) + 3x.
@2f
@2f
@2f
@2f
,
,
,
@x 2
@y 2
@x@y
@y @x
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II. Fonction de plusieurs variables
5. Théorème de SCHWARTZ
Si les dérivées partielles secondes mixtes fxy” et fyx” sont
continues
au voisinage de M0 (x0 , y0 )
on a :
fxy” (x0 , y0 ) = fyx” (x0 , y0 )
(16)
Ceci est donc une condition nécessaire d’exactitude de la forme différentielle. Une
forme différentielle vérifiant cette condition nécessaire est dite fermée.
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II. Fonction de plusieurs variables
Exemple.3
f (x, y ) = e xy
Calculer les dérivées partielles premières et secondes
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II. Fonction de plusieurs variables
Exemple.3
f (x, y ) = e xy
Calculer les dérivées partielles premières et secondes
dérivées partielles premières :
@f
= ye xy ,
@x
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@f
= xe xy
@y
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II. Fonction de plusieurs variables
Exemple.3
f (x, y ) = e xy
Calculer les dérivées partielles premières et secondes
dérivées partielles premières :
@f
= ye xy ,
@x
@f
= xe xy
@y
dérivées partielles secondes :
@2f
@x 2
@2f
@y 2
@2f
@y @x
@2f
@x@y
Ahmed Aamouche (ENSA, UCA)
=
=
=
=

@ @f
@x @x

@ @f
@y @y

@ @f
@y @x

@ @f
@x @y
@
@x
@
=
@y
@
=
@y
@
=
@x
=
[ye xy ] = y 2 e xy
[xe xy ] = x 2 e xy
[ye xy ] = e xy + yxe xy
[xe xy ] = e xy + xye xy
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II. Fonction de plusieurs variables
Exemple.3
f (x, y ) = e xy
Calculer les dérivées partielles premières et secondes
dérivées partielles premières :
@f
= ye xy ,
@x
@f
= xe xy
@y
dérivées partielles secondes :
@2f
@x 2
@2f
@y 2
@2f
@y @x
@2f
@x@y
=
=
=
=

@ @f
@x @x

@ @f
@y @y

@ @f
@y @x

@ @f
@x @y
@
@x
@
=
@y
@
=
@y
@
=
@x
=
[ye xy ] = y 2 e xy
[xe xy ] = x 2 e xy
[ye xy ] = e xy + yxe xy
[xe xy ] = e xy + xye xy
Théorème de Schwartz vérifié
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II. Fonction de plusieurs variables
6. Fonctions composées :
Cas d’une seule variable : f (x) = g (h(x)) = goh(x)
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II. Fonction de plusieurs variables
6. Fonctions composées :
Cas d’une seule variable : f (x) = g (h(x)) = goh(x)
Dérivée :
df
dg dh
=
.
= g 0 (h(x))h0 (x)
dx
dh dx
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II. Fonction de plusieurs variables
6. Fonctions composées :
Cas d’une seule variable : f (x) = g (h(x)) = goh(x)
Dérivée :
df
dg dh
=
.
= g 0 (h(x))h0 (x)
dx
dh dx
Exemple.4
f (x)
0
f (x)
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=
=
e cos(x) ,
sin(x)e
g (x) = e x ,
h(x) = cos(x)
cos(x)
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II. Fonction de plusieurs variables
6. Fonctions composées :
Cas de deux variables : f (x, y ) = g (h(x, y ), k(x, y ))
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II. Fonction de plusieurs variables
6. Fonctions composées :
Cas de deux variables : f (x, y ) = g (h(x, y ), k(x, y ))
Dérivée selon x :
@f
@g @h @g @k
=
.
+
.
@x
@h @x
@k @x
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II. Fonction de plusieurs variables
6. Fonctions composées :
Cas de deux variables : f (x, y ) = g (h(x, y ), k(x, y ))
Dérivée selon x :
@f
@g @h @g @k
=
.
+
.
@x
@h @x
@k @x
Dérivée selon y :
@f
@g @h @g @k
=
.
+
.
@y
@h @y
@k @y
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II. Fonction de plusieurs variables
6. Fonctions composées :
Cas de deux variables : f (x, y ) = g (h(x, y ), k(x, y ))
Dérivée selon x :
@f
@g @h @g @k
=
.
+
.
@x
@h @x
@k @x
Dérivée selon y :
@f
@g @h @g @k
=
.
+
.
@y
@h @y
@k @y
Exemple.5 voir TD1
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III. Formes différentielles
1. Différentielles et fonctions à plusieurs variables :
On appelle forme différentielle à deux variables indépendantes x et y toute
expression de la forme :
f = P(x, y )dx + Q(x, y )dy
(17)
De même on appelle forme différentielle à trois variables indépedantes x, y et z
toute expression de la forme :
f = P(x, y , z)dx + Q(x, y , z)dy + R(x, y , z)dz
(18)
avec P, Q et R sont des fonctions quelconques.
2.Forme différentielle totale exacte
On dit que la forme différentielle f est une forme différentielle totale exacte si et
seulement si :
@P
@Q
=
@y
@x
df = P(x, y )dx + Q(x, y )dy
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(19)
! f = df
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III. Formes différentielles
1. Différentielles et fonctions à plusieurs variables :
@f
= P(x, y )
@x
df = P(x, y )dx + Q(x, y )dy
Donc on peut écrire :
@f
= Q(x, y )
@y
@P
@Q
=
@y
@x
et
(20)
(21)
! f = df
df =
@f
@f
dx +
dy
@x
@y
(22)
Exercice.2 Calculer la différentielle totale de :
f (x, y ) =
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x2 y2
x2 + y2
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III. Formes différentielles
1. Différentielles et fonctions à plusieurs variables :
@f
= P(x, y )
@x
df = P(x, y )dx + Q(x, y )dy
Donc on peut écrire :
@f
= Q(x, y )
@y
@P
@Q
=
@y
@x
et
(20)
(21)
! f = df
df =
@f
@f
dx +
dy
@x
@y
(22)
Exercice.2 Calculer la différentielle totale de :
f (x, y ) =
x2 y2
x2 + y2
Rép :
df =
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(x 2
4xy
(ydx
+ y 2 )2
xdy )
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III. Formes différentielles
2. Intégration d’une forme différentielle exacte :
On considère une forme différentielle :
df = P(x, y )dx + Q(x, y )dy
et on se demande si on peut "l’intégrer", c’est-à-dire s’il existe et si on peut
déterminer une fonction f dont la différentielle coïncidera avec celle étudiée.
df
est
exacte
,
@P(x, y )
@Q(x, y )
=
@y
@x
(23)
La forme différentielle df est dite exacte s’il existe une fonction f telle que df soit
sa différentielle, On peut naïvement écrire
Z
Z
Z
df = f = P(x, y )dx + Q(x, y )dy
(24)
x
y
Cela n’est vrai que si P(x, y ) n’est fonction que de x et Q(x, y ) que de y.
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III. Formes différentielles
2. Intégration d’une forme différentielle exacte :
Z
df = f =
Z
P(x, y )dx +
x
Z
Q(x, y )dy + C te
(25)
y
Cela n’est vrai que si P(x, y ) n’est fonction que de x et Q(x, y ) que de y.
Example.6 : Soit la forme diff. suivante :
df = 2xdx
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dy
y
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III. Formes différentielles
2. Intégration d’une forme différentielle exacte :
Z
df = f =
Z
P(x, y )dx +
x
Z
Q(x, y )dy + C te
(25)
y
Cela n’est vrai que si P(x, y ) n’est fonction que de x et Q(x, y ) que de y.
Example.6 : Soit la forme diff. suivante :
dy
y
df = 2xdx
Cette forme est une diff. totale exacte puisque :
@(2x)
@( 1/y )
=0=
@y
@x
L’intégration donne :
f (x, y ) =
Z
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df =
Z
2xdx
Z
dy
= x2
y
ln(y ) + C te
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III. Formes différentielles
2. Intégration d’une forme différentielle exacte :
Z
df = f =
Z
P(x, y )dx +
Z
Q(x, y )dy + C te
(26)
Cas général
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2. Intégration d’une forme différentielle exacte :
Z
df = f =
Z
P(x, y )dx +
Z
Q(x, y )dy + C te
(26)
Cas général
il y a une méthode, qu’on peut illustrer sur l’exemple de la forme différentielle
df =
dx
+ (1
y
x
)dy
y2
On vérifie tout d’abord que la forme est bien une D.T. E.,en effet :
@(1/y )
=
@y
1
@(1 x/y 2 )
=
y2
@x
Méthode ?
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2. Intégration d’une forme différentielle exacte :
Méthode
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III. Formes différentielles
2. Intégration d’une forme différentielle exacte :
Méthode
1. On commence à intégrér P(x, y ) par rapport à x. On obtient alors f (x, y ) à une
constante près QUI DÉPEND de y et uniquement de y ! Ici
x
f (x, y ) = + g (y )
y
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III. Formes différentielles
2. Intégration d’une forme différentielle exacte :
Méthode
1. On commence à intégrér P(x, y ) par rapport à x. On obtient alors f (x, y ) à une
constante près QUI DÉPEND de y et uniquement de y ! Ici
x
f (x, y ) = + g (y )
y
2. On différentie cette fonction par rapport à l’autre variable, puis on l’identifie
avec Q(x, y ). Ici on obtient :
@f (x, y )
=
@y
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x
+ g 0 (y ) = Q(x, y ) = 1
2
y
x
y2
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III. Formes différentielles
2. Intégration d’une forme différentielle exacte :
Méthode
1. On commence à intégrér P(x, y ) par rapport à x. On obtient alors f (x, y ) à une
constante près QUI DÉPEND de y et uniquement de y ! Ici
x
f (x, y ) = + g (y )
y
2. On différentie cette fonction par rapport à l’autre variable, puis on l’identifie
avec Q(x, y ). Ici on obtient :
@f (x, y )
=
@y
x
+ g 0 (y ) = Q(x, y ) = 1
2
y
x
y2
3. On peut alors intégrer la fonction constante en fonction de y. Ici, on a
g 0 (y ) = 1 soit
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g (y ) = y + C te
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III. Formes différentielles
2. Intégration d’une forme différentielle exacte :
Méthode
1. On commence à intégrér P(x, y ) par rapport à x. On obtient alors f (x, y ) à une
constante près QUI DÉPEND de y et uniquement de y ! Ici
x
f (x, y ) = + g (y )
y
2. On différentie cette fonction par rapport à l’autre variable, puis on l’identifie
avec Q(x, y ). Ici on obtient :
@f (x, y )
=
@y
x
+ g 0 (y ) = Q(x, y ) = 1
2
y
x
y2
3. On peut alors intégrer la fonction constante en fonction de y. Ici, on a
g 0 (y ) = 1 soit
g (y ) = y + C te
4. En général la C te se détermine avec les conditions initiales
x
Soit : f (x, y ) = + y + C te
y
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Avril 2017
et historique
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IV. Historique
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IV. Historique
La thermodynamique est l’étude de la conversion de l’énergie entre deux
formes, chaleur et travail. Que veut dire "chaud" exactement ? Peut-on le
mesurer ?
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IV. Historique
La thermodynamique est l’étude de la conversion de l’énergie entre deux
formes, chaleur et travail. Que veut dire "chaud" exactement ? Peut-on le
mesurer ?
Réfexions Gréce Antique : la nature du Feu ? ? ?
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Avril 2017
et historique
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IV. Historique
La thermodynamique est l’étude de la conversion de l’énergie entre deux
formes, chaleur et travail. Que veut dire "chaud" exactement ? Peut-on le
mesurer ?
Réfexions Gréce Antique : la nature du Feu ? ? ?
Au XVII ieme siècle :
I
C’est la température, dont on se fait plus facilement une idée que de la
chaleur, qui est d’abord le centre d’intérêt.
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La thermodynamique est l’étude de la conversion de l’énergie entre deux
formes, chaleur et travail. Que veut dire "chaud" exactement ? Peut-on le
mesurer ?
Réfexions Gréce Antique : la nature du Feu ? ? ?
Au XVII ieme siècle :
I
I
C’est la température, dont on se fait plus facilement une idée que de la
chaleur, qui est d’abord le centre d’intérêt.
La conception du thermomètre soulève en effet de nombreux problèmes
d’ingénierie et de physique : comment lier cette idée de "température" à un
phénomène observable directement, de façon prévisible et reproductible ?
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La thermodynamique est l’étude de la conversion de l’énergie entre deux
formes, chaleur et travail. Que veut dire "chaud" exactement ? Peut-on le
mesurer ?
Réfexions Gréce Antique : la nature du Feu ? ? ?
Au XVII ieme siècle :
I
I
C’est la température, dont on se fait plus facilement une idée que de la
chaleur, qui est d’abord le centre d’intérêt.
La conception du thermomètre soulève en effet de nombreux problèmes
d’ingénierie et de physique : comment lier cette idée de "température" à un
phénomène observable directement, de façon prévisible et reproductible ?
Le grand essor des machines thermiques, au début du XIX ieme siècle, prend la
science de court. Il faudra attendre une trentaine d’années avant que la
théorie ne rattrape la pratique et que l’on établisse une vision cohérente de la
thermodynamique permettant, par exemple, de prévoir le rendement d’un
moteur.
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IV. Historique
En 1865, le physicien allemand Rudolf Clausius explicita les grandes bases de
ce que l’on commence à appeler "thermodynamique" : c’est ce que nous
connaissons aujourd’hui sous le nom des deux principes.
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IV. Historique
En 1865, le physicien allemand Rudolf Clausius explicita les grandes bases de
ce que l’on commence à appeler "thermodynamique" : c’est ce que nous
connaissons aujourd’hui sous le nom des deux principes.
L’écossais James Clerk Maxwell et l’autrichien Ludwig Boltzmann
réconcilieront la thermodynamique avec la physique des particules en
travaillant au niveau microscopique et traitant les systèmes en désordre.
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IV. Historique
En 1865, le physicien allemand Rudolf Clausius explicita les grandes bases de
ce que l’on commence à appeler "thermodynamique" : c’est ce que nous
connaissons aujourd’hui sous le nom des deux principes.
L’écossais James Clerk Maxwell et l’autrichien Ludwig Boltzmann
réconcilieront la thermodynamique avec la physique des particules en
travaillant au niveau microscopique et traitant les systèmes en désordre.
Figure – Type de Systèmes
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Appareil de Joule
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Bibliographie
Thermodynamique : Fondements et applications, avec exercices et problèmes
résolus ; Auteur : Pérez, Romulus ; Edition Masson (1997) ; Paris ; Reédité par
Dunod (2001) ; ISBN : 9782100055548.
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Thermodynamique : Fondements et applications, avec exercices et problèmes
résolus ; Auteur : Pérez, Romulus ; Edition Masson (1997) ; Paris ; Reédité par
Dunod (2001) ; ISBN : 9782100055548.
Thermodynamique, exercices et problèmes de physique ; Auteur : Grécias,
Pierre ; Edition Tec&Doc, Paris (1997) ; ISBN : 2743003227.
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Bibliographie
Thermodynamique : Fondements et applications, avec exercices et problèmes
résolus ; Auteur : Pérez, Romulus ; Edition Masson (1997) ; Paris ; Reédité par
Dunod (2001) ; ISBN : 9782100055548.
Thermodynamique, exercices et problèmes de physique ; Auteur : Grécias,
Pierre ; Edition Tec&Doc, Paris (1997) ; ISBN : 2743003227.
Les bases de la thermodynamique, cours et exercices corrigés ; Auteurs :
Jean-Noël Foussard, Edmond Julien, Stéphane Mathé, Hubert
Debellefontaine ; Collection : Sciences Sup, Dunod (2015) ; ISBN :
9782100721313.
Thermodynamics : An Engineering Approach ; Auteurs : Yunus A. Cengel et
Michael A. Boles ; Editeur : McGraw-Hill Professional (2014) ; ISBN :
9780073398174.
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Bibliographie
Thermodynamique : Fondements et applications, avec exercices et problèmes
résolus ; Auteur : Pérez, Romulus ; Edition Masson (1997) ; Paris ; Reédité par
Dunod (2001) ; ISBN : 9782100055548.
Thermodynamique, exercices et problèmes de physique ; Auteur : Grécias,
Pierre ; Edition Tec&Doc, Paris (1997) ; ISBN : 2743003227.
Les bases de la thermodynamique, cours et exercices corrigés ; Auteurs :
Jean-Noël Foussard, Edmond Julien, Stéphane Mathé, Hubert
Debellefontaine ; Collection : Sciences Sup, Dunod (2015) ; ISBN :
9782100721313.
Thermodynamics : An Engineering Approach ; Auteurs : Yunus A. Cengel et
Michael A. Boles ; Editeur : McGraw-Hill Professional (2014) ; ISBN :
9780073398174.
Polycopie Cours de Thermodynamique FSSM, Auteurs : L. Alimoussa, B.
Benhamou, H. Bellakhder, L. Bchir, A. Lahrouni (2004).
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Thermodynamique : Fondements et applications, avec exercices et problèmes
résolus ; Auteur : Pérez, Romulus ; Edition Masson (1997) ; Paris ; Reédité par
Dunod (2001) ; ISBN : 9782100055548.
Thermodynamique, exercices et problèmes de physique ; Auteur : Grécias,
Pierre ; Edition Tec&Doc, Paris (1997) ; ISBN : 2743003227.
Les bases de la thermodynamique, cours et exercices corrigés ; Auteurs :
Jean-Noël Foussard, Edmond Julien, Stéphane Mathé, Hubert
Debellefontaine ; Collection : Sciences Sup, Dunod (2015) ; ISBN :
9782100721313.
Thermodynamics : An Engineering Approach ; Auteurs : Yunus A. Cengel et
Michael A. Boles ; Editeur : McGraw-Hill Professional (2014) ; ISBN :
9780073398174.
Polycopie Cours de Thermodynamique FSSM, Auteurs : L. Alimoussa, B.
Benhamou, H. Bellakhder, L. Bchir, A. Lahrouni (2004).
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